1、一、偏导数一、偏导数二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、偏导数在经济学中的应用三、偏导数在经济学中的应用第三节第三节 偏导数及其经济应用偏导数及其经济应用第三节第三节 偏导数及其经济应用偏导数及其经济应用一、偏导数 引例 在西方经济学中，柯布-道格拉斯生产函数为 ，这里 为常数，分别表示投入的劳动力数量和资本数量，Q表示产量.LcKQ,c0,0KL 当劳力投入不变时产量对资本投入的变化率KQLKcdKdQ1 当资本投入不变时产量对劳力投入的变化率LQLKcdLdQ1 该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，对另一个变量的变化率.1.偏导数概念 定义 设函数 z=f(x,y)在点(x0,
2、y0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y0,而 x 在x0 处有增量x时,相应函数有增量 如果极限).,(),(0000yxfyxxfxyxfyxxfx),(),(lim00000存在,则称其值为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.),(),(,0000),(),(0000yxzyxfxfxzxxyxyx或记为xxfxxfxfx)()(lim)(0000一元函数导数即.),(),(lim),(0000000 xyxfyxxfyxfxx类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为.),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy也可记为).,(),
3、(,0000),(),(0000yxzyxfyfyzyyyxyx或xyxfyxxfxzyxfxx),(),(lim),(0函数 z=f(x,y)在区域 D内任意点(x,y)处的偏导数yyxfyyxfyzyxfyy),(),(lim),(0000),(),(),(0),(00 xxxyxxxyxfyxfyxf000),(),(),(0),(00yyyyxyyyxfyxfyxf 由偏导数定义可知,求偏导数 ，就是在函数 中视y为常数，只对x求导数，因此有不变yxyxfdxdyxf),(),(不变xyyxfdydyxf),(),(2.偏导数的计算),(yxfx),(yxf类似地这样求偏导数实际上是一
4、元函数求导问题.对于固定点 处的导数有),(00yx例 求函数 的偏导数.yxz.ln xxyzy,1yyxxz解例 求函数 的偏导数.22eyxz.e2)(e222222yxyyxyyxyz，2222e2)(e22yxxyxxyxxz解 例 求函数 在点(1,3)处对x 和 y 的偏导数.222),(yxyxyxf解yxyxfx22),(.22),(yxyxfy将点(1,3)代入上式，得.43212)3,1(,83212)3,1(yxff或由96)3,(2xxxf221),1(yyyf可得62)3,(xxfyyf22),1(所以.4322)3,1(,8612)3,1(yxff例 设 yxyy
5、xyxfarcsin)1()2(),(22求 )1,2(xf解 因为2)2()1,(xxf24),0(yyf0)2(2)1,()1,2(22xxxxxxff所以二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算例 求函数 的偏导数.)sin(32yxeuz 解 对x求偏导数就是视y,z为常数，对x求导数)cos(232yxxexuz)cos(3322yxeyyuz)sin(32yxezuz同理3.二元函数偏导数的几何意义 二元函数 z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当 y=y0时,曲面z=f(x,y)与平面 y=y0 的交线方程为 ),(0yyyxfz在点 M0(x0,y0,z0)处由一元函数导
6、数的几何意义知：fx(x0,y0)几何意义是曲线 ),(0yyyxfz的切线关于x 轴的斜率.即zxy),(00yx ),(0yyyxfztan),(00yxfx同理tan),(00yxfy4.偏导数与连续的关系 对于二元函数偏导数与连续的关系如何？一元函数可导与连续的关系：连续 可导.)0,0(0,00,),(222222关系点的偏导数与连续性的在讨论函数yxyxyxxyyxf例解 由偏导数定义xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(0.000lim0 xxyfyffyy)0,0()0,0(lim)0,0(0.000lim0yy所以，函数在(0,0)处对变量 x，y 的偏导数存在.
7、让 沿直线 而趋于（0,0），则有),(yx)0(kkxy222202201)1(limlimkkkxkxyxxyxkxyx它将随k的不同而具有不同的值，因此极限不存在.所以函数在(0,0)处不连续.2200limyxxyyx结论：二元函数偏导数存在未必连续.结论：二元函数连续未必偏导数存在.例 说明二元函数 ，在点(0,0)处是连续的,但在(0,0)点偏导数不存在.22),(yxyxf解 因为)0,0(lim2200fyxxy所以，函数 在点处(0,0)连续.22),(yxyxf又因为xxxxxx0220lim00)(lim极限不存在，所以偏导数不存在.这是因为连续只保证当点(x,y)以任意
8、方式趋于点(x0,y0)时,函数 f(x,y)趋于 f(x0,y0).但不能保证点(x,y)沿着平行坐标轴方向趋于(x0,y0)时,变化率的极限存在.二元函数连续与偏导数之间关系：连续 偏导数 反之,偏导数存在.只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于(x0,y0)点时,函数 f(x,y)变化率极限存在,此时沿着平行坐标轴的方向 f(x,y)趋于f(x0,y0),但不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时,f(x,y)趋于f(x0,y0).),(00yx0 xx 0yy xy二、高阶偏导数),(),(22yxfyxzxzxzxxxxx 设函数 z=f(x,y)在区域 D内有
9、偏导函数 与 .且其偏导数仍存在,则称其偏导数为二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数),(yxfx),(yxfy).,(),(22yxfyxzyzyzyyyyy),(),(),(2混合偏导yxfyxzyxzxzyxyxy),(),(),(2混合偏导yxfyxzxyzyzxyxyx 同样可定义三阶、四阶以至 n 阶偏导数.一个多元函数的 n 1 阶偏导数的偏导数,称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.高阶偏导数的求导原则是逐阶求导.例 求 的二阶偏导数.3233),(yxyxyxf,66),(3yxyyxfxx2239),(yxxyxfy,63),(32xy
10、yxyxfx解,18),(2yxyxfyy,183),(22xyxyxfxy.183),(22xyxyxfyx解例 求 的二阶混合偏导数.xxyyeezxxyyeyexzxxyexeyzxxyxyexyeeyxz2xxyxyexyeexyz2 此例中两个二阶混合偏导数相等.但是由于求偏导数运算的次序不同，两个混合偏导数也未必一定相等在什么条件下两个混合偏导数相等？定理 如果函数z=f(x,y)在开区域 D上二阶混合偏导数连续,则在该区域上任一点处必有.22xyzyxz三、偏导数在经济学中的应用 二元函数 的偏导数 与 ，分别称为函数 对变量x与y的边际函数，边际函数概念也可以推广到多元函数上.
11、),(yxfz),(yxfx),(yxfy),(yxfz（1）边际产量 设某企业只生产一种产品，这种产品的生产数量取决于投资的资本数量及可获得的劳动力数量通常假定满足库柏道格拉斯生产函数 LcKQ 10,10,为常数，且其中c资本的边际产量为与劳力的边际产量函数分别为KQLKcKQ1LQLKcLQ13221200LKQ 例 某工厂的生产函数是 ，其中Q是产量(单位:件)，K是资本投入(单位:千元)，L是劳力投入(单位:千工时)求当 时的边际产量.9,8KL解 资本的边际产量 KQKLKQ211002132劳力的边际产量为 LQLKLQ3234003121产量为时当,9,8KL240043200
12、98KLQ边际产量为 340098KLKQ20098KLLQ（2）边际成本与边际利润 当厂商生产A,B两种不同的产品时，总成本、总收入和总利润均为两种产品产量 的二元函数.21,qq这些函数分别对 的偏导数就是两种不同产品的边际成本、边际收益和边际利润.21,qq总成本函数为 总收入函数为 总利润函数为),(21qqC),(21qqR),(21qqL 例 某工厂生产两种不同的产品，其数量为 ，总成本为21,qq2222112121265.173),(qqqqqqqqC(1)求两种不同产品的边际成本；(2)确定当 时，对 的边际成本；(3)当出售两种产品的单价分别为30元和20元时，求每种产品的边际利润3,521qq1q解(1)对产品 的边际成本为 1q对产品 的边际成本为 2q2115.176qqqC212465.1qqqC5.41)5.176()2(35213512121qqqqqqqC2221212121212125.131423),(2030),(qqqqqqqqCqqqqL(3)利润函数边际利润分别为2115.1623qqqL21245.114qqqL
