1、一、函数的最值一、函数的最值二、实际问题中的最值二、实际问题中的最值三、经济学中的最值问题三、经济学中的最值问题第七节第七节 多元函数优化问题多元函数优化问题第七节第七节 多元函数优化问题多元函数优化问题一、二元函数的最值 最值存在定理：若函数 z=f(x,y)在闭区域 D上连续,则一定存在最大值与最小值.闭区域D上可微函数的最值求法：(1)先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值 (2)求出函数在区域边界上的最值.(3)比较这些函数值的大小,最大的就是函数在D上的最大值,最小的就是函数在D上的最小值.驻点值最点值 例 求函数 在有界闭区域 上的最大值与最小值.)5(2yxyxz4,0,0:y
2、xyxD解 函数在D内处处可导，且)2310(231022yxxyxyyxxyxz)25(252232yxxyxxxyz解方程组 ，得D内驻点 0yzxz45,25及对应的函数值64625z在边界x=0及y=0上的函数z的值恒为零4 yxxy4 yxxy在边界 上，函数成为的一元函数 4 yx40),4(2xxxz函数求导有所以在0,4上的驻点为)38(xxdxdz38x相应的函数值为27256z所以函数在闭域D上的最大值为 ,在点 处取得；最小值为 ，它在D的边界x=0及y=0上取得64625z45,250z 二、实际问题的最值 实际问题最值的求法 (1)有实际意义建立函数模型及其定义域；(
3、2)求函数的驻点；(3)结合实际意义，利用驻点的惟一性及最值的存在性进行判断.对于实际问题中的最值，若从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得，这时，若可微函数在定义区域内有惟一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值 例 要用钢板制作一个容积为 的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?33ma 解1 设容器的长为x，宽为y，高为z，容器所需钢板的面积为 且xzyzxyA223axyzV)0,0()(23yxxyyxaxyA所以232xayxA求偏导数232yaxyA求驻点得,23ayxaz223于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为 ，高取
4、 时，所需的材料最省a322/23a解2 设拉格朗日函数为)(22),(3axyzyzxzxyzyxL)4(0)3(022)2(02)1(023axyzLxyyxLxzzxLyzzyLzyx 将方程组的第一个方程乘以x，第二个方程乘以y，02022xzxyyzxz所以有 ，代入第四个方程得可能极值点zyx2,23ayx第三个方程乘以z，再两两相减得2/23az 解 设折起来的边长为 x cm,则断面面积倾角为,Acos2224xxx224(21sin)xsincossin2sin2422xxx)2/0,120(x 例 有一宽为24cm 的长方形铁板,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,问怎
5、样折法才能使断面面积最大.x24cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603xcos24xcos22x0)sin(cos222xxAsin24sin4x0cossin2xA 由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求,0sin0 x三、经济学中的最值问题 例（最大利润）某工厂生产两种产品A和B，其销售单价分别为 (单位:元)总成本函数(单位:元)是两种产品产量 和 (单位:件)的函数，9,1021PP1q2q)33(01.03
6、2400),(2221212121qqqqqqqqC当两种产品的产量为多少时，可获利润最大？解 收益函数与利润函数分别为21221121910),(qqqPqPqqR),(),(),(212121qqCqqRqqL)33(01.032400)910(2221212121qqqqqqqq400)33(01.06822212121qqqqqq0)6(01.06),(0)6(01.08),(2121212121qqqqLqqqqLqq解得惟一驻点 ，而 400)33(01.068),(2221212121qqqqqqqqL由)80,120(320)80,120(L由题意知，生产120件产品A，80件
7、产品B利润最大，最大利润为320元 例（最小成本）某工厂生产两种商品的日产量分别为 和 (单位:件)，总成本(单位:元)函数为1q2q22212121128),(qqqqqqC商品的限额为 ，求最小成本？4221 qq解 约束条件为 ，设拉格朗日函数 04221qq)42(128),(2122212121qqqqqqqqL解方程组 042024),(016),(212121212121qqqqqqLqqqqLqq得惟一驻点(25,17)，故最小成本 元 8043)17,25(L 例(最大利润)销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费分别为x和y(单位:千元)时，销售量为SyyxxS10100
8、5200(单位:件)是x和y的函数若销售产品所得利润是销售量的1/5减去总的广告费，两种方式广告费共25(千元)应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少？解 根据题意，利润函数为251020540255),(yyxxSyxL约束条件为 ，作拉格朗日函数025 yx)25(251020540),(yxyyxxyxF求其偏导数，得方程组0250)10(2000)5(20022yxyFxFyx解得 ，因驻点惟一，所以当两种宣传方式广告费分别为15和10(千元)时利润最大,最大利润为10,15yx)(1525101010201551540)10,15(千元L.1000100/30/20
9、5103.302.2010),(22润元，求该公司的最大利元，产品固定成本为为单位，产品每单位售价元单位，乙原料单价为元已知甲原料单价为单位的产品，且单位可以生产单位和用甲和乙两种原料分别使、乙两种原料，已知某公司在生产中使用甲yxyxxyyxQQQyx例解则表示该公司的利润设,L0001500000100030002000122yxyxxy)00013020(),(100),(yxyxQyxLL)0,(yx00001000300010000200020001yxLxyLyx解方程组.)8,5(求得唯一驻点,000000012 ACB,00016)8,5()8,5(),(LyxL处取得极大值在因此,2000)8,5(xxLA由于,0001)8,5(yyLC,0001)8,5(xyLB,02000A.00016,元即该公司的最大利润为从而是最大值
