1、第九章能量方法初步在外力作用下，杆件发生变形，载荷在相应位移上在外力作用下，杆件发生变形，载荷在相应位移上作功。同时，构件因变形而具有作功的能力，即储作功。同时，构件因变形而具有作功的能力，即储存了能量（应变能存了能量（应变能Ve）。）。如果载荷是由零逐渐、缓慢地增加，以致在加载过如果载荷是由零逐渐、缓慢地增加，以致在加载过程中构件的动能与热能等的变化均可忽略不计，则程中构件的动能与热能等的变化均可忽略不计，则根据能量守恒定律，根据能量守恒定律，VWe能量原理可用于分析构件或结构的位移和应力，也能量原理可用于分析构件或结构的位移和应力，也可用于分析与变形有关的其他问题。可用于分析与变形有关的其
2、他问题。第一节杆件应变能计算9-1 9-1 杆件应变能计算杆件应变能计算一、轴向拉伸（压缩）一、轴向拉伸（压缩）0021122llWF dkdk lF l 9-1 9-1 杆件应变能计算杆件应变能计算一、轴向拉伸（压缩）一、轴向拉伸（压缩）VWe0021122llWF dkdk lF l 12F l2NNN212F lVFEFAAlEe9-1 9-1 杆件应变能计算杆件应变能计算二、扭转二、扭转VWe0021122WT dkdkT 12T2122ppxxxM lVMGIM lGIe9-1 9-1 杆件应变能计算杆件应变能计算三、弯曲三、弯曲22MEIVle9-1 9-1 杆件应变能计算杆件应变
3、能计算四、外力功的一般表达式四、外力功的一般表达式12WFF：广义力。：广义力。：广义位移。：广义位移。线弹性情况下，广义力与线弹性情况下，广义力与广义位移之间是线性关系。广义位移之间是线性关系。9-1 9-1 杆件应变能计算杆件应变能计算五、应变能的一般表达式五、应变能的一般表达式1、轴向拉伸（压缩）、轴向拉伸（压缩）2N2N2()2lF lEAFxdxEVVAee2、扭转、扭转222()2xpxlpM lGIMxdVVxGIee3、弯曲、弯曲222()2lM lEIMxxIVVdEee9-1 9-1 杆件应变能计算杆件应变能计算五、应变能的一般表达式五、应变能的一般表达式222N()()(
4、)222xlllpFxMxMxVdxdxdxEAGIEIe4、组合变形、组合变形例例1 1 已知：简支梁。试计算梁的应变能与截面已知：简支梁。试计算梁的应变能与截面C的挠度。的挠度。解：解：1、应变能计算、应变能计算11()FbM xxl梁的应变能：梁的应变能：AB,FbFaFFll弯矩方程：弯矩方程：AC段，段，22()FaM xxlCB段，段，2221212110002222220()()1()222()6ababMxMxFbVdxdxxdxEIEIEIlFaF a bxdxlEIle例例1 1 已知：简支梁。试计算梁的应变能与截面已知：简支梁。试计算梁的应变能与截面C的挠度。的挠度。22
5、26F a bVEIle2、挠度计算、挠度计算22226CFF a bWVEIle223CFa bEIl 第二节功的互等定理及位移互等定理9-2 9-2 功的互等定理及位移互等定理功的互等定理及位移互等定理?11221122WFF 9-2 9-2 功的互等定理及位移互等定理功的互等定理及位移互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理ij:由由引起的位移。引起的位移。9-2 9-2 功的互等定理及位移互等定理功的互等定理及位移互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理11112221121122WFFF 先加先加、后加、后加，22221112211122WFFF 先加先加、后加、后加，112221F
6、F9-2 9-2 功的互等定理及位移互等定理功的互等定理及位移互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理112221FF对线弹性体，对线弹性体，在在引起的引起的位移位移 上所作之功，等于上所作之功，等于在在引起的位移引起的位移 上所作之上所作之功功。此关系称为。此关系称为功的互等定功的互等定理。理。功的互等关系也存在于两组功的互等关系也存在于两组外力之间。外力之间。9-2 9-2 功的互等定理及位移互等定理功的互等定理及位移互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理112221FF当当 与与在在引起的位引起的位移移 ，等于，等于 在在引起的位移引起的位移 。此关。此关系称为系称为位移互等定理。位移
7、互等定理。若若=，1221 例例1 1 已知：简支梁已知：简支梁AB，F 作用时作用时q B=Fl 2/16EI。试求截。试求截面面B作用力偶作用力偶M 时，跨中截面时，跨中截面C的挠度。的挠度。解：解：1、由功的互等定理、由功的互等定理CBFMq BC221616MFMFlFEIMlEIq 第三节卡氏(Castigliano)第二定理9-3 9-3 卡氏第二定理卡氏第二定理一、概述一、概述:VeiiVFe i:9-3 9-3 卡氏第二定理卡氏第二定理一、概述一、概述iiii2()()()(2)llVMxdxM xM xdxEIFFEIFe iiVFe 2Nj jNj jNj1jjii1iij
8、j()2nnjjF lVFFE AF lFE AFe 例例1 1 已知：简支梁。试计算截面已知：简支梁。试计算截面C的挠度与的挠度与转角转角。解：解：1、列弯矩方程、列弯矩方程11()FbM xxl2、求、求截面截面C的挠度的挠度AB,FbFaFFll弯矩方程：弯矩方程：AC段，段，22()FaM xxlCB段，段，1122C1200i()()()()()()ablM xM xM xM xM xM xwdxdxdxEIFEIFEIF22112212003abFbxbxFaxaxFa bdxdxEIllEIllEIl 例例1 1 已知：简支梁。试计算截面已知：简支梁。试计算截面C的挠度与的挠度与
9、转角转角。解：解：1、列弯矩方程、列弯矩方程11()()FbMM xxll2、求、求截面截面C的的转角转角AB,FbMFaMFFllll弯矩方程：弯矩方程：AC段，段，22()()FaMM xxllCB段，段，1122C1200()()()()abM xM xM xM xdxdxEIEIMMq2211221200()()()()()3abFb M x xFa M xxFab a bM aab bdxdxEIllEIllEIl 例例1 1 已知：简支梁。试计算截面已知：简支梁。试计算截面C的挠度与的挠度与转角转角。2、求、求截面截面C的的转角转角22C()()3Fab a bM aab bEIl
10、q令令M=0，C()3Fab abEIlq截面截面C转角方向？转角方向？讨论：第四节莫尔定理及图乘法9-4 9-4 莫尔定理及图乘法莫尔定理及图乘法一、概述一、概述(a)(b)(c)2()2lMxVdxEIe200()2lMxVdxEIe101VVVeee 201()()2lM xMxVdxEIe0()()lM x MxdxEI 9-4 9-4 莫尔定理及图乘法莫尔定理及图乘法一、概述一、概述():M x0():Mx0()()lM x MxdxEI 莫尔定理莫尔定理9-4 9-4 莫尔定理及图乘法莫尔定理及图乘法一、概述一、概述0()()lM x MxdxEI 莫尔定理莫尔定理NjN0j ji
11、1jjnjF FlE A 0()()xxlMx MxdxEI 例例1 1 已知：简支梁。试计算截面已知：简支梁。试计算截面C的挠度与转角。的挠度与转角。解：解：一、求一、求截面截面C的挠度的挠度11()FbM xxlAB,FbFaFFll弯矩方程：弯矩方程：AC段，段，22()FaM xxlCB段，段，1、列弯矩方程、列弯矩方程011()bM xxl022()aM xxl例例1 1 已知：简支梁。试计算截面已知：简支梁。试计算截面C的挠度与转角。的挠度与转角。解：解：一、求一、求截面截面C的挠度的挠度11()FbM xxlAC段，段，22()FaM xxlCB段，段，1、列弯矩方程、列弯矩方程
12、011()bM xxl022()aM xxl2、求、求截面截面C的挠度的挠度101202C1200()()()()abM x MxM x MxwdxdxEIEI22112212003abFbxbxFaxaxFa bdxdxEIllEIllEIl 例例1 1 已知：简支梁。试计算截面已知：简支梁。试计算截面C的挠度与转角。的挠度与转角。解：解：二、求二、求截面截面C的转角的转角11()FbM xxlAB,FbFaFFll弯矩方程：弯矩方程：AC段，段，22()FaM xxlCB段，段，1、列弯矩方程、列弯矩方程0111()M xxl0221()M xxl例例1 1 已知：简支梁。试计算截面已知：
13、简支梁。试计算截面C的挠度与转角。的挠度与转角。解：解：二、求二、求截面截面C的转角的转角11()FbM xxlAC段，段，22()FaM xxlCB段，段，1、列弯矩方程、列弯矩方程2、求、求截面截面C的转角的转角101202C1200()()()()abM x MxM x MxdxdxEIEIq0111()M xxl0221()M xxl11221200()()3abFbxxFaxxFab a bdxdxEIllEIllEIl 截面截面C转角方向？转角方向？讨论：例例2 2 已知：刚架，作用已知：刚架，作用q。试计算截面。试计算截面A的水平位移。的水平位移。解：解：1、列弯矩方程、列弯矩方
14、程11()2qaM xxAB段，段，2222()2qM xqaxxCB段，段，0111()1M xxx 0222()1M xxx 例例2 2 已知：刚架，作用已知：刚架，作用q。试计算截面。试计算截面A的水平位移。的水平位移。解：解：1、列弯矩方程、列弯矩方程11()2qlM xxAB段，段，2222()2qM xqaxxCB段，段，0111()1M xxx 0222()1M xxx 2、求、求截面截面A的水平位移的水平位移101202A1200()()()()llM x MxM x MxdxdxEIEI 241221122002328llqlxqaxqxqax dxx dxEIEIEI解：解
15、：1.求轴力求轴力 研究铰研究铰C,NN0,sin3002yACACFFFFFNNN0,cos3003xBCACBCFFFFF例例3 3 已知：杆已知：杆AC、BC，E、A；BC=l。求：节点求：节点C铅锤位移。铅锤位移。解：解：1.求轴力求轴力 N2,ACFFN3BCFF例例3 3 已知：杆已知：杆AC、BC，E、A；BC=l。求：节点求：节点C铅锤位移。铅锤位移。研究铰研究铰C,N02,ACFN03BCF2.求求节点节点C铅锤位移铅锤位移，NjN0j jC1jjNACN0AC ACNBCN0BC BC(8 3 33)()njF FlE AFFlFFlEAEAFlEA9-4 9-4 莫尔定理
16、及图乘法莫尔定理及图乘法二、图乘法原理二、图乘法原理0()()()()lllM x Mx dxb M x dxkxM x dxj0Cj1jjnjME I()CCbk xbkx0CM9-4 9-4 莫尔定理及图乘法莫尔定理及图乘法二、图乘法原理二、图乘法原理j0Cj1jjnjME I:j0:CjM 9-4 9-4 莫尔定理及图乘法莫尔定理及图乘法二、图乘法原理二、图乘法原理三角形三角形2312Cxllh二次抛物线二次抛物线5823Cxllh二次抛物线二次抛物线3413Cxllhjj1jj0CnjE IM P209/图图9-12例例4 4 已知：均布载荷作用下简支梁已知：均布载荷作用下简支梁AB。
17、试计算跨中截面试计算跨中截面D的挠度。的挠度。解：解：1、作弯矩图并分段、作弯矩图并分段2、求、求截面截面D的挠度的挠度j0Cj1jjnDjME I10C120C21()MMEI2341255()3 2 88 424325384l qllqllEIqlEI 例例5 5 已知：悬臂梁已知：悬臂梁AB，EIEI，作用，作用q、F=ql/4 。试求截。试求截面面B的挠度。的挠度。解：解：1、作弯矩图并分段、作弯矩图并分段2、求、求截面截面B的挠度的挠度j0Cj1jjnBjME I10C120C21()MMEI22411213()()()243324()24qlqlllllEIqlEI 练习练习1 1 已知：悬臂梁已知：悬臂梁AB，EIEI，作用，作用F、M。试求外力所。试求外力所作的总功。作的总功。一展身手一展身手练习练习1 1 已知：悬臂梁已知：悬臂梁AB，EIEI，作用，作用F、M。试求外力所。试求外力所作的总功。作的总功。232222622AAFwMF lFMlM lWEIEIEIq一展身手一展身手 322322AAFlMlwEIEIFlMlEIEIq（）23262F lM lWEIEI
