1、1 补充：补充：行列式的定义行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 方程组的解与行列式的关系方程组的解与行列式的关系 2 111122111222112112221221122221122211212221211122()0 1 a xa xba aa axbab aa xa xba aa abab axa a例例：设设有有二二元元一一次次线线性性方方程程组组 ，当当时时，二二阶阶行行列列式式行行列列式式的的定定义义1111211 221 12211122112211212122221111221122112221221 12212221,a ba bxa aaa aaabb aaaa aab
2、aba abba aaaaa bb定定义义则则：二二阶阶行行列列式式 ：311112212112222121122211211111211122122212222,a xa xba xa xbaaaaxxaaaaaaaabbbb这这时时，方方程程组组的的解解为为用用行行列列式式表表示示：412121223132013021(2)0 322,232(2)3 313133221302 03 1323131332xxxxxx 例例：解解方方程程组组的的解解解解：利利用用行行列列式式表表示示52111212122212:.由由个个数数排排成成 行行 列列的的表表格格，两两边边以以竖竖线线，成成为为一一
3、个个 阶阶行行列列式式元元素素阶阶行行列列的的定定义义式式：nnnnnnijnnnnaaaaaaaaaan6111212122212:nnijnnijnnjiaaaaaa aaiaA =jMMaijijijijn aa余子式 的去掉第 行和第 列后的行列式的:代数余子式(-1)值阶行列式的定义：nnnjnjnnijijiinijijiinjjjiijaaaaaaaaaaaaaaaaA111111111111111111111111)1(8111111121212221111121211121111 det()2 =对对于于行行列列式式对对于于(）定定义义为为：定定义义1 1阶阶阶阶行行列列式式
4、值值第第一一上上式式称称为为行行列列按按的的展展开开式式。行行式式nnnnnnnnnjjjaanaaaaaaa AaAaAaaaaAn11121321222331323322232123212211121332333131122333313211223323321221332331122331132132 112332122131321322231313 3()()()阶阶行行列列式式 a a aa a aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaa aa aaaa a aaaaaaaaaa2231a a10111112121313221 305411221305411
5、0 53 53 02(1)(2)(1)(1)(1)1 -14 -14 120(1)5 1(2)3(1)54(1)3 1042(5)(2)(23)(1)359:1 11 21 3 例例解解计计算算 a Aa Aa A1111223312233113211111221331211222233231132233331213222321123321221331322311231332331112132122230 设设有有三三元元一一次次线线性性方方程程组组 当当时时，方方程程组组有有惟惟一一解解：a a aa a aa a aa xa xa xba xa xa xba xaa a axa xbaaa
6、 aaaaaaaaaaa a abbaabxa11131112212321223133313211121311121321222321222331323331321122333313233323,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbaxx12 2 2行行列列式式的的性性质质13性质性质 2nnnnnnaaaaaaaaa212222111211.212221212111nnnnnnaaaaaaaaa行列式转置，行列式值不变行列式转置，行列式值不变.即即:141111111111 .(1)jnjnnnjnnnnjnnaaaaaaakkkaaaaa某某一一行行（
7、列列）的的公公因因子子可可以以提提出出 如如性性:质质3 3(2)（行列式的行列式的 “加法加法”）nnnnsnsnssssnaaacbcbcbaaa21221111211nnnnsnssnnnnnsnssnaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211（注意：只拆一行，其余行不变）（注意：只拆一行，其余行不变）性质性质 4:任意对换行列式的两行（或两列）元素，任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值其值变号变号.如如2311315211321132.31522311121311121311 )(31rr(1)()(2)相相同同行行列列式式：行行列列式式有有两两行行
8、列列,则则行行列列式式值值=0 0成成比比例例有有两两行行(列列)，行行列列则则式式值值=0 0推推论论 k 5.把把行行列列式式的的某某行行（列列）的的 倍倍加加到到另另一一行行（列列）上上，行行列列式式的的性性质质值值不不变变18111111111111111ijnijjnttitjtnttitjtjtnnninjnnnninjnjnnaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaajki列列乘乘上上，加加入入到到第第 列列11112211211222221122 nnnnnnnnnna xa xaxbaxaxaxbaxaxaxb3 3.1 1克克莱莱姆姆法法则则（）定定理理当
9、系数行列式当系数行列式3.方程组的解与行列式的关系方程组的解与行列式的关系 不为零时，方程组有惟一解不为零时，方程组有惟一解：111,111,11212,122,121,1,1 jjjjjjjnjjnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa111,11,11212,12,121,1,1111,111,11212,122,1212 ,jjjjjjjjjjjjnnnnnnnjnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbax1,1,1 (1)jnjjnnnnnaaaaajn11112212112222112200 0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax：如如 下下 结结 论论 成成 立立：3 3.2 2 对对 于于 齐齐 次次 线线 性性 方方 程程 组组111212122212 0 nnnnnnaaaaaaaaa方程组只有零解方程组只有零解.111212122212 0 nnnnnnaaaaaaaaa方程组有非零解方程组有非零解.
