1、第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程本章主要内容本章主要内容：1)平面曲线的方程 2)曲面的方程 3)空间曲线的方程本章本章基本要求基本要求：1)理解轨迹与方程的关系 2)熟悉曲面、曲线的一般式和参数式 3)熟练掌握球面、特殊柱面、圆柱螺旋线的方程2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程1、曲线方程曲线方程曲线上点的特征性质：1）曲线上的点都具有这些性质；2）具有这些性质的点都在曲线上。曲线上点的特征性质曲线上点的两个坐标x与y之间的约束关系 F(x,y)=0建立坐标系定义定义：当平面上取定了坐标系后，如果一个方程与一曲线 有以下关系：1）满足方程的(x,y)必是曲线上某点的坐标；2）曲线上任何点的
2、坐标(x,y)都满足这个方程。则这个方程称为这条曲线的方程曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的图形方程的图形。例 1 求圆心在原点，半径为R的圆的方程。例 2的轨迹方程。的动点，求满足条件和已知两点MMBMABA4)2,2()2,2(2、参数方程参数方程btat ),(建立坐标系O；e1，e2)()()(btatyytxxor （坐标式参数方程）。普通方程 0),(yxF(消去参数 t)()()(21btaetyetxt(（向量式参数方程）例 3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点的轨迹。)()cos1()sin(ayax或（旋轮线或摆线）AOPCaxy)()cos1()sin(，ja
3、ia例 4 已知大圆的半径为a，小圆的半径为b，设大圆不动，而小圆 在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定点P的轨迹的方程。（内旋轮线或内摆线）)(sinsin)(coscos)(bbabbaybbabbax时，为四尖点星形线。当ba4yxOPABC例 5 把线绕在一个圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线 从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头 的轨迹。（渐伸线或切展线）)()cos(sin)sin(cos RyRxxyOPABR)(sincos162222 byaxbyax的参数方程为椭圆例或222 222 222 22,()()a btxba ttb ba tyba t
4、yxOby=tx+b(x,y)或22 222 2222 2(),().2a ab txaab ttbab tyab t 例6 双曲线 的参数方程为22221xyabsec,tanxayb(令 x=ty+a)xyOMPa-a23 7 (2)yaxx例化方程为参数方程。232222,()11atatxyttt 2 8 2+1 yx例化方程为参数方程。曲线的参数方程与普通方程互化时，必须注意：两种不同形式的方程应该等价两种不同形式的方程应该等价。cos,2cos2,(02)xy若化成就不妥,因为它只表示原曲线的一部分。2,21,()xt ytt 可化为例9将参数方程化为普通方程。2,(,0)2xat
5、tayat (1)(2)cos,(,0)cos2xaaya(3)(sin)(,0)(1cos)xa aya （旋轮线）作业作业：P77 1、5、7(3)、8(1,2)、9思考思考：P77 42.2 曲面的方程曲面的方程1、曲面方程曲面方程曲面上点的特征性质：1）曲面上的点都具有这些性质；2）具有这些性质的点都在曲面上。曲面上点的特征性质曲面上点的三个坐标x，y与z之间的约束关系 F(x,y,z)=0 或z=f(x,y)建立空间坐标系定义定义：当空间上取定了坐标系后，如果一个方程与一曲面 有以下关系：1）满足方程的(x,y,z)必是曲面上某点的坐标；2）曲面上任何点的坐标(x,y,z)都满足这个
6、方程。则这个方程称为这条曲面的方程曲面的方程，这个曲面叫做这个方程的图形图形。1.(1,2,3)(2,1,4)AB例求连接两点和的线段的垂直平分面的方程。2.xOzyOz例求两坐标面和所成二面角的平分面的方程。3.yOz例求坐标面的方程。4.xOzyxOzk例一平面平行于坐标面，且在 轴的正向一侧与平面相隔 距离为，求它的方程。00005.(,)P xyzR例求中心为，半径为 的球面方程。2、参数方程参数方程Dvuvu),(),(建立坐标系O；e1，e2，e3),(),(),(),(),(321Dvuevuzevuyevuxvu(（向量式参数方程向量式参数方程）Dvuvuzzvuyyvuxxo
7、r),(),(),(),(（坐标式参数方程坐标式参数方程）。普通方程 0),(zyxF(消去参数)例 6 求球心在原点，半径为r的球面的参数方程。)22,sinsincoscoscos (rzryrx。普通方程 2222rzyx(消去参数)sincos sinsin (,0)cosorxryrzrPrxyzOQ例7 求以 z 轴为对称轴，半径为 R 的柱面的参数方程。cossin,xRyR uzu 。普通方程 222Ryx(消去参数)QxyzooPu3、球坐标系与柱面坐标系球坐标系与柱面坐标系cos coscos sinsin0,)22xy z(,)(球面常数 （半平面）常数 )(锥面常数 )
8、,()1(球坐标系 (,)z 空间中的点除了 轴上的点，其余的点均与有序数组一一对应，这种一一对应的关系叫做空间点的，或球坐标系空间极坐标系。PxyzOQcossin(0,)xy zu,u )(柱面常数 （半平面）常数 ),()2(u柱面坐标系 (,)zu 空间中的点除了 轴上的点，其余的点均与有序数组一一对应，这种一一对应的关系叫做空间点的柱面坐标系空间半极，或坐标系。QxyzooPu例8 在同一个直角标架所决定的直角坐标系，球坐标系与柱坐标系中：(1)直角坐标为(1,1,1)的点，求它的球坐标与柱坐标；(2)球坐标为(1,)的点，求它的直角坐标与柱坐标.23 4 解 (1)球坐标 ,柱坐标
9、 ;(2)直角坐标 ,柱坐标 .3343(,arcsin)214(,)262442(,)222232(,)作业作业：P87 1、3(4)、4(1)、6(1)、82.3 空间曲线的方程空间曲线的方程1、一般方程一般方程0),(0),(21zyxFzyxF例 1 写出OZ轴的方程.例 2 求在xOy坐标面上,半径等于R,圆心为原点的圆的方程.2、参数方程参数方程btat ),()()()()(btatzztyytxxor（坐标式参数方程）建立坐标系O；e1，e2，e3)()()()()(321btaetzetyetxt（向量式参数方程）例例 3 3 一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动,另
10、一方面作平行于轴线的等速直线运动,其速度与角 速度成正比,求这个质点运动的轨迹方程.)(sincosbzayax参数方程(圆柱螺线)(sincosbzayax参数方程一般方程 sincosbzaybzax一般方程例4.维维安尼曲线例5.双柱面曲线例6.有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的转动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程。cossin,(0)xayazb 例7 有两条互相直交的直线l1与l2，其中l1绕l2做螺旋运动，即l1一方面绕l2作等速转动，另一方面又沿着l2作等速直线运动，在运动中l1永远保持与l2直交，这样由l1所画出的曲面叫做螺旋面，试建立螺旋面的方程。cossin,(,)xuyuuza 作业作业：P92 2(1)(3)(5)、3(1)、5(2)、6讨论讨论：P88 7；P92 4
