1、计数原理计数原理乙地乙地汽车汽车火车火车甲地甲地甲地甲地乙地乙地a1a2a3b1b2看图看图1，数一数要完成从甲地到乙地这件事有多少种，数一数要完成从甲地到乙地这件事有多少种不同的方法？不同的方法？图1图2丙地丙地看图看图2，数一数要完成从甲地经丙地到乙地这件事有，数一数要完成从甲地经丙地到乙地这件事有多少种不同的方法？多少种不同的方法？计数问题：需要完成一件事，计算其方法种数的问题计数问题：需要完成一件事，计算其方法种数的问题b2b1a1a2a3火车火车汽车汽车问题问题1 从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天一天中，火车有中，火车有 2 班，汽车
2、有班，汽车有 3 班，那么一天中乘坐这些交通班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择方法？工具从甲地到乙地有多少种不同的选择方法？解解 235(种种)1.要完成一件什么事？要完成一件什么事？2.完成这件事有多少类完成这件事有多少类不同的办法？不同的办法？3.每类办法中各有几种每类办法中各有几种方法？方法？4.完成这件事共有多少完成这件事共有多少种不同的方法？种不同的方法？乙地乙地汽车汽车火车火车甲地甲地火车火车汽车汽车若一天中从甲地到乙地增加了若一天中从甲地到乙地增加了1班飞机，那么一天中乘坐班飞机，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择方法？这些交通工具
3、从甲地到乙地有多少种不同的选择方法？（一）分类计数原理（加法原理）（一）分类计数原理（加法原理）有有n n 类办法类办法Nm1m2mn第第 1 类办法中类办法中有有 m1 种不同的方法种不同的方法第第 2 类办法中类办法中有有 m2 种不同的方法种不同的方法第第 n 类办法中类办法中有有 mn 种不同的方法种不同的方法共有多少种不同的方法共有多少种不同的方法完成一件事完成一件事每一类中每一种方法每一类中每一种方法都能独立完成这件事都能独立完成这件事类类独立，不重不漏类类独立，不重不漏 类类相加类类相加例例1书架上层有不同的数学书书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文本，中层有不同的
4、语文书书 18 本，下层有不同的专业书本，下层有不同的专业书7 本本.现从中任取一本书，问现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？有三类取法有三类取法 N15187 40(种种)第第 1 类，从上层类，从上层 15 本数学本数学书任取一本，有书任取一本，有 15 种取法种取法 第第 2 类，从中层类，从中层 18 本语文本语文书任取一本，有书任取一本，有 18 种取法种取法 第第 3 类，从下层类，从下层 7 本专业本专业书任取一本，有书任取一本，有 7 种取法种取法 共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法 任取一本书任取一本书 练练1某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，
5、某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组甲组 9 人，乙组人，乙组 11 人，丙组人，丙组 10 人，丁组人，丁组 9 人人现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？种不同的选法？解根据分类计数原理，解根据分类计数原理，不同的选法一共有：不同的选法一共有：N91110939(种种)问题问题(1)：需要完成一件什么事？：需要完成一件什么事？问题问题(2)：如何完成这件事？：如何完成这件事？由由 甲地去甲地去 乙地有乙地有 个步骤，个步骤，第一步：由第一步：由 甲甲 地到地到 丙丙 地，有地，有 种不同的走法；种不同的走法；第二步：由第二步：
6、由 丙丙 地到地到 乙乙 地，有地，有 种不同的走法种不同的走法问题问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？：完成这件事有多少种不同的方法？23问题问题2 由由 甲甲 地去地去 乙乙 地，中间必须经过地，中间必须经过 丙地，且已知由丙地，且已知由 甲甲地到地到 丙丙 地有地有 3 条路可走，再由条路可走，再由 丙丙 地到地到 乙乙 地有地有 2 条路可走，条路可走，那么由那么由 甲甲 地经地经 丙到丙到 乙地有多少种不同的走法？乙地有多少种不同的走法？乙丙甲a1a2a3b1b2解解 3 26(种种)a1a2a3b1b2 2（二）分步计数原理（乘法原理）（二）分步计数原理（乘法原理）完完成成一
7、一件件事事第第1 1步步有有m1m1种种不不同同的的方方法法第第2 2步步有有m2m2种种不不同同的的方方法法第第 n n步步有有mnmn种种不不同同的的方方法法N=m1 m2 mn 有有 n 个步骤个步骤共有多少种不同的方法共有多少种不同的方法 步骤完整，步骤完整，缺一不可缺一不可步步相依步步相依 ，步步相乘，步步相乘例例2 2 书架上层有不同的数学书书架上层有不同的数学书1515本，中层有不同的语文书本，中层有不同的语文书1818本，本，下层有不同的专业书下层有不同的专业书7 7本本.现从中取出数学、语文、专业书各一现从中取出数学、语文、专业书各一本，问有多少种不同的取法？本，问有多少种不
8、同的取法？有三个步骤有三个步骤N151871890 第第1 1步，步，从 上 层从 上 层1 51 5 本 数本 数学 书 任学 书 任取一本取一本,有有 1 51 5 种种取 法；取 法；第第2 2步，步，从 中 层从 中 层1 81 8 本 语本 语文 书 任文 书 任取一本取一本,有有 1 81 8 种种取 法；取 法；第第3 3步，步，从下层从下层7 7 本 专本 专业书任业书任取一本取一本,有有 7 7 种种取 法取 法.各各取取一一本本书书共有多少种不同的取法共有多少种不同的取法 练练2 某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组 9 人，人，
9、乙组乙组 11 人，丙组人，丙组 10 人，丁组人，丁组 9 人现要求该班每小组各选派人现要求该班每小组各选派一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？一人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？两个原理的共同点与不同点两个原理的共同点与不同点.(1)共同点：共同点：(2)不同点：不同点：都是研究都是研究“完成一件事，共有多少种不同完成一件事，共有多少种不同的方法的方法”；分类计数原理中的分类计数原理中的 n 类办法相互独立，且每类办法里类办法相互独立，且每类办法里的每种方法都可独立完成这件事；的每种方法都可独立完成这件事；分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能分步计数原理中的每个步骤互
10、相依存，每一步都不能独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成算完成.例例3：三个袋子里分别装有：三个袋子里分别装有9个红色球，个红色球，8个蓝色球和个蓝色球和10个个 白色球。白色球。1.任取任取1个球，有多少种不同的取法？个球，有多少种不同的取法？2.从每一袋子各取一个球，有多少种不同的取法？从每一袋子各取一个球，有多少种不同的取法？3.从袋子中任取从袋子中任取2个不同颜色的球有多少种不同的选法？个不同颜色的球有多少种不同的选法？练练3：某农场要在某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这这4
11、种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？小麦，问有多少种不同的试验方案？练练4：由数字：由数字1，2，3，4，5可以组成多少个可以组成多少个3位数位数(各位各位上的数字可以重复上的数字可以重复)？练练5：3位同学分别在英语和日语中选一门课程，共有多位同学分别在英语和日语中选一门课程，共有多少种不同的选法少种不同的选法?练练3 3 某农场要在某农场要在4 4种不同类型的土地上，试验种植种不同类型的土地上，试验种植A A，B B，C C，D D这这4 4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问种不同品种的小麦，要求每种
12、土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？有多少种不同的试验方案？依据分步计数原理，依据分步计数原理，可知有可知有432124 种不同的试验方案种不同的试验方案.第第 3 步，考虑步，考虑 C 种小麦，可在剩下的种小麦，可在剩下的 2 种不同种不同类型的土地中任选类型的土地中任选 1 种，有种，有 2 种选法；种选法；第第 2 步，考虑步，考虑 B 种小麦，可在剩下的种小麦，可在剩下的 3 种不同种不同类型的土地中任选类型的土地中任选 1 种，有种，有 3 种选法；种选法；第第 4 步，最后考虑步，最后考虑 D 种小麦，只剩下种小麦，只剩下 1 种类型种类型的土地，因此只有的土地，因此只有
13、 1 种选法种选法.第第 1 步，先考虑步，先考虑 A 种小麦，可在种小麦，可在 4 种不同类型种不同类型的土地中任选的土地中任选 1 种，有种，有4 种选法；种选法；练练4：由数字：由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个可以组成多少个 3 位数位数(各位上的数字可以重复各位上的数字可以重复)？解根据分步计数原理，解根据分步计数原理，组成不同的组成不同的 3 位数的个数共有位数的个数共有555125(个个).百位百位 十位十位 个位个位第一步第一步 第二步第二步 第三步第三步 5 5 5分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理两个原理的区别与联系两个原理的区别与联系归纳小结归纳小结
14、练习纸一张练习纸一张课后作业课后作业例例6 6 甲班有三好学生甲班有三好学生 8 8 人，乙班有三好学生人，乙班有三好学生 6 6 人，丙班有人，丙班有三好学生三好学生9 9人：人：（1 1）由这三个班中任选）由这三个班中任选 1 1 名三好学生，出席三好学生表名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？彰会，有多少种不同的选法？（2 2）由这三个班中各选）由这三个班中各选 1 1 名三好学生，出席三好学生表名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？彰会，有多少种不同的选法？解解(1)依分类计数原理，不同的选法种数是依分类计数原理，不同的选法种数是N86923；(2)依分步计数原理，不同的选法种数是依分步计数原理，不同的选法种数是N869432
