1、10.7 10.7 微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中的应用一一.市场动态均衡价格模型市场动态均衡价格模型二二.人口增长模型人口增长模型三三.提高劳动生产率提高劳动生产率模型模型四四.具有价格预期的市场模型具有价格预期的市场模型机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目标教学目标1.了解微分方程在经济学中的简单应用了解微分方程在经济学中的简单应用.10.7 10.7 微分方程微分方程 在经济学中的应用在经济学中的应用 微分方程是研究经济问题的一个重要工具微分方程是研究经济问题的一个重要工具.经济学中的经济学中的许多经济变量之间的关系及其内在规律都是以微分方程许多经济变量之间的关系及其内
2、在规律都是以微分方程的形式来表现的的形式来表现的.本节我们将介绍微分方程在经济学中的几个简单应用本节我们将介绍微分方程在经济学中的几个简单应用模型模型.机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一.市场动态均衡价格模型市场动态均衡价格模型 一种商品的价格主要由市场的供需关系来确定一种商品的价格主要由市场的供需关系来确定,若商品若商品的需求函数与供给函数分别为的需求函数与供给函数分别为（其中（其中 均为正常数）均为正常数）.QPQPds ，,当供给量与需求量相等时当供给量与需求量相等时,即即,QQds 得得eP 则称则称eP为该商品的为该商品的均衡价格均衡价格.机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地说一般地说,当市场上该商品价格供大于求当市场上该商品价格供大于求()QQsd 时时,价格将下跌价格将下跌;供不应求供不应求()QQsd 时时,价格将上涨价格将上涨.因此因此,该商品在市场上的价格将随着时间的变化而围绕着均衡该商品在市场上的价格将随着时间的变化而围绕着均衡价格价格eP上下波动上下波动.价格价格 P 为时间为时间 t 的函数的函数,已知初始价格已知初始价格(0).ePP 根据上述供应关系变化影响价格变化的分析根据上述供应关系变化影响价格变化的分析,可以假设在任一时刻可以假设在任一时刻 t,价格价格P(t)变化率总与这一时刻的变化率总与这一时刻
4、的超额需求超额需求()QQsd 成正比成正比(比例常数比例常数k0).机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中 k 为比例系数为比例系数,它反映价格的调整速度它反映价格的调整速度.根据上述假设根据上述假设,可得微分方程可得微分方程 (10.6.1)()d Pk QQdsd t 在经济学中在经济学中,人们通常把方程人们通常把方程(10.6.1)称为称为动态价格调整动态价格调整模型模型.将将QPQPds ，代入方程代入方程(10.6.1),得得()()d PkPkd t (10.6.2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 这是一个一阶非齐次线性微分方程这是一个一阶非齐次线性微分方程,其通解为其
5、通解为()()()ktktPtC eC eP (10.6.3)由于由于0ePP 为常数为常数,()0,k 故当故当t 时时,()0()0,k bd tePP e 从而价格从而价格()eP tP均衡价格均衡价格.由此可见由此可见,随着时间的推移随着时间的推移,价格趋向于均衡价格价格趋向于均衡价格.实际实际从经济学的意义上来看从经济学的意义上来看.P(t)的表达式的两项各具鲜明的表达式的两项各具鲜明的经济意义的经济意义:eP为均衡价格为均衡价格,而而0()()ektPP e 就是价格的均衡偏差就是价格的均衡偏差.上上,机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二.人口增长模型人口增长模型如何预测某个国
6、家或地区的人口总数如何预测某个国家或地区的人口总数,是人们普遍关注的是人们普遍关注的一个问题一个问题.下面介绍几个人口预测模型下面介绍几个人口预测模型.1.指数增长模型指数增长模型 (Malthus 模型模型)该模型由英国传教士、人口学家马尔萨斯该模型由英国传教士、人口学家马尔萨斯(Malthus)于于1789年发表在年发表在人口学原理人口学原理一书上一书上.马尔萨斯提出人口模型的马尔萨斯提出人口模型的基本假设基本假设:人口增长率是常数人口增长率是常数.即单位时间内人口的增长量即单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比与当时的人口成正比.下面用下面用“微元法微元法”来建立马尔萨斯描来建立马尔萨
7、斯描述的人口增长的微分方程模型述的人口增长的微分方程模型.机动 目录 上页 下页 返回 结束 假设假设 t 时刻的人口为时刻的人口为 x(t),经过一段短的时间经过一段短的时间t 后后,在在tt 时刻时刻,人口数量变化为人口数量变化为().x tt 由基本假设由基本假设,在在短时间短时间t 内内,人口数量的增加量与当时的人口人口数量的增加量与当时的人口 x(t)成正成正比比.不妨假设比例系数为不妨假设比例系数为0,r即在即在t 内人口的增量可写为内人口的增量可写为0()()()xx ttx tr x tt 于是于是x(t)满足的微分方程如下满足的微分方程如下:00(0)dxr xdtxx (1
8、0.6.4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为称为Malthus模型模型.00()r tx tx e 人口随时间指数增长人口随时间指数增长,因此也称为因此也称为指数增长模型指数增长模型.马尔萨斯人口论的核心内容是马尔萨斯人口论的核心内容是:人口按几何级数增长人口按几何级数增长,而而生活资料则按算术技术增长生活资料则按算术技术增长,两者的矛盾必然要给人类社会两者的矛盾必然要给人类社会进步造成障碍进步造成障碍.人口会不会无限增长人口会不会无限增长?因为人口的增加因为人口的增加要受到自然条件等因素的约束要受到自然条件等因素的约束,在一定的生产条件下在一定的生产条件下,存在存在 一个最大的人口容
9、量一个最大的人口容量.美国人口统计数据表明美国人口统计数据表明,1860年以前年以前它是一阶线性微分方程它是一阶线性微分方程,容易求得解为容易求得解为事实上是不会的事实上是不会的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 人口统计数据与指数增长模型吻合较好人口统计数据与指数增长模型吻合较好,之后之后,两者有较大两者有较大的差异的差异.人口学家的解释是人口学家的解释是,人口较少时人口较少时,土地等自然条件可土地等自然条件可以尽可利用以尽可利用,这时人口增长率近似于常数这时人口增长率近似于常数;当人口达到一定当人口达到一定 数量以后数量以后,受到自然条件限制受到自然条件限制,增长率随人口的增长而减少增长
10、率随人口的增长而减少.这时这时,人口增长率为常数的假设不再适用了人口增长率为常数的假设不再适用了,需要构造增长需要构造增长 率随人口数量变化的关系式率随人口数量变化的关系式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.阻滞增长模型阻滞增长模型(logistic模型模型)Malthus模型在模型在1840年由比利时人口统计学家费尔胡斯特年由比利时人口统计学家费尔胡斯特 (Verhulst)所修正所修正.他提出的假设包括他提出的假设包括:(1)由于自然资源的约束由于自然资源的约束,人口存在一个最大容量人口存在一个最大容量 ;mx(2)增长率随人口的增加而减少增长率随人口的增加而减少,当人口数量当人口数
11、量 x(t)远小于远小于mx时时,人口以固定增长率人口以固定增长率0r增加增加;当当x(t)接近接近mx时时,增长率为零增长率为零.满足上述性质的增长率可以写成满足上述性质的增长率可以写成0()(1)mxr xrx (10.6.5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 这样这样,Malthus模型模型(10.6.4)变为变为00(1)(0)mdxxr xdtxxx (10.6.6)它是一个可分离变量的一阶微分方程它是一个可分离变量的一阶微分方程,分离变量得分离变量得,0()mmx dxr dtx xx 上式两端积分上式两端积分,得得0lnln()lnmxxxr tC 机动 目录 上页 下页 返回
12、 结束 即即0r tmxxCex 由初始条件由初始条件0(0),xx 得得0(1).mxCx 代入上式代入上式,得得00()1(1)mr tmxx txex (10.6.6)微分方程微分方程(10.6.6)称为称为阻滞增长模型阻滞增长模型或或逻辑斯谛逻辑斯谛(Logistic)模模型型.其解曲线其解曲线(10.6.7)称为称为逻辑斯谛曲线逻辑斯谛曲线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 更复杂的人口模型需要考虑随时间和人口变化的人口增更复杂的人口模型需要考虑随时间和人口变化的人口增长率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇女和人口长率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇女和人口龄分布有关的人
13、口基数龄分布有关的人口基数,此外还要考虑自然灾害、战争等此外还要考虑自然灾害、战争等随机因素对人口的影响随机因素对人口的影响.在经济学中在经济学中,凡是增长率凡是增长率dxdt与现实值与现实值 x(t)及接近饱和水及接近饱和水平的程度平的程度()x t 之积成正比的变量之积成正比的变量(为饱和值为饱和值),其其变化均遵循逻辑斯谛曲线的变化规律变化均遵循逻辑斯谛曲线的变化规律.由于在经济学中增长由于在经济学中增长率、变化率率、变化率,通常都用通常都用“边际边际”来表示来表示,所以这类模型在经所以这类模型在经学、人口学与生物学中都有广泛的应用学、人口学与生物学中都有广泛的应用.机动 目录 上页 下
14、页 返回 结束 三三.提高劳动生产率模型提高劳动生产率模型发展经济、增加生产有两个重要因素发展经济、增加生产有两个重要因素,一是增加投资一是增加投资,二二是投入更多的劳动力是投入更多的劳动力.恰当调节投资增长和劳动力增长的关恰当调节投资增长和劳动力增长的关 使增加的产量不致被劳动力的增长抵消使增加的产量不致被劳动力的增长抵消,这样劳动力生这样劳动力生 产率才能不断提高产率才能不断提高.下面建立描述生产量、劳动力和投资之下面建立描述生产量、劳动力和投资之 间变化规律的模型间变化规律的模型.用用Q(t),L(t)和和 K(t)分别表示时刻分别表示时刻 t 的产量、劳动力和资的产量、劳动力和资金金.
15、假设劳动力每年的相对增长率是常数假设劳动力每年的相对增长率是常数 ,即即系系,机动 目录 上页 下页 返回 结束 0(0)dLLdtLL (10.6.8)投资的年增长率与产量成正比投资的年增长率与产量成正比,比例系数为比例系数为,即即0(0)dKQdtKK (10.6.9)产量函数取为产量函数取为1()(01,0)Q taL Ka (10.6.10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程方程(10.6.8)的解为的解为0ptLL e(10.6.11)将式将式(10.6.10)和式和式(10.6.11)代入式代入式(10.6.9),得到得到100(0)tdKaL eKdtKK (10.6.12
16、)方程方程(10.6.12)的解为的解为00()(1)taKtKLe (10.6.13)机动 目录 上页 下页 返回 结束 用用Z(t)表示表示 t 时刻的劳动生产率时刻的劳动生产率,()(),()Q tZ tL t 有有(1)()ZQLKLZQLZQLZQLKLKL 1000(1)()KKKK (10.6.14)由式由式(10.6.14)不难看出不难看出,只要只要00KLKL 就有就有0,Z 就是说就是说,只要初始投资的相对增长率大于只要初始投资的相对增长率大于于劳动力的相对增长率于劳动力的相对增长率(常数常数 ),就能保证劳动生产率就能保证劳动生产率Z(t)的不断增长的不断增长.机动 目录
17、 上页 下页 返回 结束 六六.具有价格预期的市场模型具有价格预期的市场模型在动态市场中在动态市场中,和和 均取为当前的价格函数均取为当前的价格函数,但是但是QdQs数为线性的条件下数为线性的条件下,由于价格趋势可能使买者和卖者对未来价格作出某些预由于价格趋势可能使买者和卖者对未来价格作出某些预期，而这些价格预期又会影响其供求决策，所以在供求函期，而这些价格预期又会影响其供求决策，所以在供求函22dPd t(价格是否上升价格是否上升)与与 (价格是否以递增速率上升价格是否以递增速率上升)得到得到.dPdt时间的情况下时间的情况下,价格趋势的信息价格趋势的信息,基本上可用导数基本上可用导数 dP
18、dt础上，而且还要建立在价格趋势础上，而且还要建立在价格趋势 的基础上的基础上.在连续在连续有时卖者和买者的市场行为有时卖者和买者的市场行为,不仅要建立在现期价格的基不仅要建立在现期价格的基QdQs还应满足关系式还应满足关系式和和机动 目录 上页 下页 返回 结束 且且、是原来市场模型带来的旧参数，而是原来市场模型带来的旧参数，而 m、n、w 是未来市场模型所预期的新参数是未来市场模型所预期的新参数.QPm Pn PdQPPw Ps (10.6.15)方程方程(10.6.15)中的参数中的参数 m、n 与与 、w 分别体现了买者分别体现了买者与卖者对价格的预期与卖者对价格的预期.特别地特别地,
19、m 0时时,则买者预期价格则买者预期价格将持续上升将持续上升,愿意增加购买数量愿意增加购买数量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 这个方程在经济学中称之为这个方程在经济学中称之为价格预期的市场模型价格预期的市场模型.当当 m 0 时时,则则4()0n 且且0.于是于是,由情况由情况(1)有有224()()()mmnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时此时,有有11()02mn 21()02mn 因此因此,瞬时均衡是动态稳定的瞬时均衡是动态稳定的;10C 时时,当当瞬时均衡是动态不稳定的瞬时均衡是动态不稳定的;10C 时时,当当当当 n0 时时,则则4()0n 且可正、可负、可为零且可正、可负、可为零.于是于是,情况情况(1)情况情况(3)均可能出现均可能出现,且当且当m0时时,(1)有有为负为负.两个不同负根两个不同负根,(2)有两个相同的负根有两个相同的负根,(3)中的中的mn 也也故瞬时均衡是动态的故瞬时均衡是动态的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 27机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.1.市场动态均衡价格模型市场动态均衡价格模型2.2.人口增长模型人口增长模型3.3.提高劳动生产率提高劳动生产率模型模型4.4.具有价格预期的市场模型具有价格预期的市场模型
