随机变量的数字特征讲解课件.ppt_163文库

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1、第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.1 数学期望数学期望分赌本问题分赌本问题(17世纪世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元元.无平局，谁先赢无平局，谁先赢3 3局，则获全部赌注局，则获全部赌注.当甲当甲赢赢2局、乙局、乙赢赢1局时，中止了赌博局时，中止了赌博.问如何分赌本问如何分赌本?第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的

2、数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023两种分法两种分法 1.按已赌局数分：按已赌局数分：则甲分总赌本的则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的按已赌局数和再赌下去的“期望期望”分：分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的、乙分总赌本的1/4 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.1.1 数学期望数学期望的概念的概念若按已

3、赌局数和再赌下去的若按已赌局数和再赌下去的“期望期望”分分，则甲的所得则甲的所得 X 是一个可能取值为是一个可能取值为0 或或100 的随机变量，其分布律为：的随机变量，其分布律为：X 0 100P 1/4 3/4甲的甲的“期望期望”所得是：所得是：0 1/4+100 3/4=75.第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.1.2 数学期望的定义数学期望的定义定义定义4.1.1 设离散随机变量设离散随机变量X的分布律为的分布律为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数若级数绝对收敛，则称该级数为绝对收敛，则称该级数为X

4、的的1iiix p数学期望数学期望，记为记为1()iiiE Xx p 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望定义定义4.1.2 设连续随机变量设连续随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x),若积分若积分绝对收敛绝对收敛，则称该积分为，则称该积分为X 的的()xf x dx数学期望，数学期望，又称为又称为均值均值，记记为为()()E Xxf x dx第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023例例4.1.1则则E(

5、X)=10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023 数学期望简称为数学期望简称为期望期望.数学期望是一种数学期望是一种加权平均加权平均.权权便是其分布律或概率密度；便是其分布律或概率密度；数学期望又称为数学期望又称为均值均值.注注意意点点第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.1.3 数学期望的性质数学期望的性质定理定理4.1.1 设设 Y=g(X)是随

6、机变量是随机变量X的函数，的函数，若若 E(g(X)存在，则存在，则1()()()()()iiig x P XxE g Xg x f x dx第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023多变量函数的数学期望多变量函数的数学期望11(,)(,)(,)(,)(,)ijiijig x y P Xx Yyg x y f x y dxdyE g X Y 推论推论设设 Z=g(X,Y)是随机变量是随机变量X与与Y的函数，的函数，若若 E(g(X,Y)存在，则存在，则第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软

7、件学院27 January 2023例例4.1.2 设随机变量设随机变量 X 的概率分布律为的概率分布律为求求 E(X2+2).=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6/4=13/4解解:E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023数学期望的性质数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X)(5)E(XY)=E(X)E(Y)，如果，如果X与与Y是独立的；是独立的；

8、(4)E(X+Y)=E(X)+E(Y)第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023例例4.1.32,01()0,xxf x其它0,令令则有则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.()Var()XE XXY称称 Y 为为 X 的的标准化标准化.第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023例例4.2.1 设设 X 01()2120 xxf xxx其它,求求 E(X),Var(X).解解:(1)E(X)=3231211()0133xxx=1(2)E(X2)=7/6所以

9、所以,Var(X)=E(X2)E(X)2=7/6 1=1/6()dxf xx1201d(2)dx x xxxx2()dx f xx123201d(2)dxxxxx第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023练习练习1 设设1,10()1,010,xxXf xxx 其他则方差则方差 Var(X)=()。问题：问题：Var(X)=1/6,为什么为什么？第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023练习练习2 X 与与 Y 独立，独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，

10、则则 Var(2X Y)=().27第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023练习练习3 X P(2)，Y N(2,4)，X与与Y独立独立，则则 E(X Y)=();E(X Y)2=().422第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.2.3 切比雪夫不等式切比雪夫不等式设随机变量设随机变量X的方差存在的方差存在(这时均值也存在这时均值也存在),则则对任意正数对任意正数，有下面不等式成立，有下面不等式成立2Var()|()|XPXE X2Var()|(

11、)|1XPXE X第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023 例例4.2.2设设 X0()!00nxxexf xnx证明证明(02(1)1nPXnn证明证明:E(X)=0d!nxxxexn=n+1E(X2)=20d!nxxxexn=(n+1)(n+2)所以所以,Var(X)=E(X2)E2(X)=n+1,(02(1)(|()|1)PXnPXE Xn211(1)nn 1nn(这里这里,=n+1)1(2)!nn1(3)!nn由此得由此得第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 Janua

12、ry 2023定理定理 4.2.2 Var(X)=0P(X=a)=1 E(X-E(X)2=0 X=E(X)a,对所有的对所有的X第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023常用离散分布的方差常用离散分布的方差 0-1 分布的方差分布的方差 =p(1 p)二项分布二项分布 b(n,p)的方差的方差=np(1 p)泊松分布泊松分布 P()的方差的方差=几何分布几何分布Ge(p)的方差的方差=(1 p)/p2第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023常用连续分布的数学

13、期望常用连续分布的数学期望均匀均匀分布分布 U(a,b):E(X)=(a+b)/2 指数指数分布分布 Exp():E(X)=1/正态正态分布分布 N(,2):E(X)=伽玛伽玛分布分布 Ga(,):E(X)=/贝塔贝塔分布分布 Be(a,b):E(X)=a/(a+b)第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023常用连续分布的方差常用连续分布的方差均匀均匀分布分布 U(a,b)的方差的方差=(b a)2/12 指数指数分布分布 Exp()的方差的方差=1/2 正态正态分布分布 N(,2)的方差的方差=2第四章第四章随机变量的

14、数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023例例4.2.3 已知随机变量已知随机变量 X 服从二项分布，且服从二项分布，且 E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数则参数 n,p 的值为的值为多少？多少？例例4.2.4 设设 X 表示表示 10 次独立重复射击命中目标次独立重复射击命中目标的的次数次数,每每次射中目标的概率为次射中目标的概率为0.4,则则 E(X2)的值为的值为多多少？少？解：解：从从 2.4=np,1.44=np(1 p)中解得中解得解：解：因为因为 E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以所以n=6,p=0.4.E

15、(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023本节主要给出二维随机变量本节主要给出二维随机变量 X 与与Y 之之间间的数字特征的数字特征4.3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.3.1 协方差协方差定义定义4.3.1 称称 Cov(X,Y)=E(X E(X)Y E(Y)为为 X 与与 Y 的的协方差协方差.第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科

16、大软件学院中科大软件学院27 January 2023协方差的性质协方差的性质(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(性质性质4.3.8)(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).(性质性质4.3.5)(2)若若 X 与与 Y 独立，则独立，则 Cov(X,Y)=0.(性质性质4.3.6)(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性质性质4.3.10)(3)Var(X Y)=Var(X)+Var(Y)2 Cov(X,Y)(性质性质4.3.7)(5)Cov(X,a)=0.(性质性质4.3.9)(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性质性质4.3

17、.11)第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023解：解：记记 “Xi=1”=“第第 i 个人拿对自己的个人拿对自己的礼物礼物”“Xi=0”=“第第 i 个人未拿对自己的个人未拿对自己的礼物礼物”配对模型的数学期望和方差配对模型的数学期望和方差1,niiXX n 个人、个人、n 件礼物，任意取件礼物，任意取.X 为拿为拿对自已礼物的人数，求对自已礼物的人数，求 E(X),Var(X)则则因为因为 E(Xi)=1/n,所以所以 E(X)=1.又因为又因为1Var()Var(,)2Cov(,)niiijijXXXX第四章第四章随

18、机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023所以所以 E(XiXj)=1/n(n 1),XiXjP0 11 1/n(n 1)1/n(n 1)由此得由此得2Cov(11,)(1)ijXXn nn21(1)n n又因为又因为2222Var(111)()iiiXE XnE Xnnn所以先计算所以先计算 E(XiXj),XiXj的分布律为的分布律为第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023122Var()Var()2Cov(,)11 2(1)niiijijijXXXXnnnn n211

19、22(1)nnnn n 111nnn所以所以第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.3.2 相关系数相关系数定义定义4.3.2 称称为为 X 与与 Y 的的相关系数相关系数.Cov(,)Var()Var()XYX YXY第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023若记若记注注意意点点*,()()Var()Var()XYXE XYE YXY则则*Cov(,)XYXY第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 J

20、anuary 2023相关系数的性质相关系数的性质(1)(2)1 Corr(X,Y)1.(3)X 与与 Y 几乎处处有线性关系。几乎处处有线性关系。(性质性质4.3.12)(性质性质4.3.13)P(Y=aX+b)=11XY 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023 的大小反映了的大小反映了X与与Y之间的线性关系：之间的线性关系：注注意意点点接近于接近于1，X 与与 Y 间间正相关正相关.接近于接近于 1，X 与与 Y 间间负相关负相关.接近于接近于 0，X 与与 Y 间间不相关不相关.没有线性关系没有线性关系X

21、YXYXYXY第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023相关系数的性质相关系数的性质(2)(1)施瓦茨不等式施瓦茨不等式 Cov(X,Y)2 Var(X)Var(Y).第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023例例4.3.1 设设(X,Y)的联合分的联合分布律为布律为X 1 0 1Y 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求求 X,Y 的相关系数的相关系数.解解:()iijijE Xx p()ijijijE XYx y

22、 p=0同理同理22()iijijE Xx p=3/4E(Y)=E(X)=0另一方面另一方面=1/8 1/8 1/8+1/8=0所以所以 Cov(X,Y)即即E(Y2)=E(X2)=3/4=E(XY)E(X)E(Y)=00XY第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023例例4.3.2 (X,Y)f(x,y)=1(),02,0280 x yxy 其它求求 X,Y 的相关系数的相关系数解解:()()E XE Y22001()d d8xxyx y=7/6222001()d d8xxyx y=5/322()()E XE Y所以所以,V

23、ar(X)=Var(Y)=11/36()E XY 22001()d d8xyxyx y=4/34/37/67/611/36XY111 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023 二维正态分布的特征数二维正态分布的特征数122212(,)(,),X YN (1)X N(1,12),Y N(2,22);(3)X,Y 独立独立 =0.(2)参数参数为为 X 和和 Y 的相关系数的相关系数;(4)不相关与独立等价不相关与独立等价.第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2

24、0234.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵定义定义4.4.1 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若E(Xk)存在，称为存在，称为X的的，简称，简称若若E(X-E(X)k)存在，称为存在，称为X的的；若若E(XkYl)存在，称为存在，称为X和和Y的的若若E(X-E(X)kY-E(Y)l)存在，称为存在，称为X和和Y的的；第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023协方差矩阵协方差矩阵定义定义4.4.2 记记称称12(,)nXXXX，则则12()(),(),()nE XE XE XE X1121212212Var()Cov(,)

25、Cov(,)Cov(,)Var()Cov(,)Cov(,)Cov(,)Var()nnnnnXXXXXXXXXXXXXXX为为X的协方差矩阵，记为的协方差矩阵，记为Cov(),X或或第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023定理定理4.4.1 协方差矩阵满足对称性协方差矩阵满足对称性.协方差矩阵的性质协方差矩阵的性质第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023两个变量的协方差阵两个变量的协方差阵11122122cccc 121122()()cE XE XXE X

26、212211()()cEXE XXE X22222()cEXE X21111()cEXE X第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023称称注注意意点点111212122212.nnnnnnR为为X的的相关矩阵相关矩阵.第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023练习练习6 设设 X N(0,1),Y N(0,1),Var(X Y)=0,求求(X,Y)的协方差矩阵的协方差矩阵 .1111 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大

27、软件学院27 January 2023练习练习7 设设 X,Y 的协差阵为的协差阵为11/31/31R94,416 求相关矩阵求相关矩阵 R.第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023对二维随机变量对二维随机变量(X,Y),在给定在给定Y取某个值的条件下取某个值的条件下,X的分布的分布;在给定在给定X取某个值的条件下取某个值的条件下,Y的分布的分布.4.5 条件期望条件期望第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023(1)条件分布律条件分布律：4.5.1 条件分

29、X|Y).第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023重期望公式重期望公式定理定理 4.5.1()(|)E XE E X Y第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 20234.6 小结小结基本概念：基本概念：数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的重要性质、方差、数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的重要性质、方差、标准差、方差的性质、标准化的随机变量、协方差、相关系数、相标准差、方差的性质、标准化的随机变量、协方差、相关系数、相关系数的性质、契比雪夫不等式、几种重要分布的数学期望和方差、关系数的性质、契比雪夫不等式、几种重要分布的数学期望和方差、矩、协方差矩阵；矩、协方差矩阵；分布函数的计算：分布函数的计算：数学期望公式：数学期望公式：P5，P6 方差公式：方差公式：P15 协方差公式：协方差公式：P31 第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征中科大软件学院中科大软件学院27 January 2023o2,6,13,17,20,22,30,34作作业业

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