1、 动点产生面积问题动点产生面积问题 例题 （2012眉山）已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x 轴上， OAB 是等腰直角三角形 （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标； （3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么 PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点 的坐标和 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 【分析】 （1）求得直线 y=3x+3 与坐标轴的两交点坐标，然后根据 OB=OA 即可求得点 B 的坐标，然 后利用待定系数法求得经过 A、B、C
2、三点的抛物线的解析式即可； （2）首先利用待定系数法求得直线 AB 的解析式，然后根据 CDAB 得到两直线的 k 值相等，根据 直线 CD 经过点 C 求得直线 CD 的解析式，然后求得直线 CD 和抛物线的交点坐标即可； （3）本问关键是求出 ABP 的面积表达式这个表达式是一个关于 P 点横坐标的二次函数，利用二 次函数求极值的方法可以确定 P 点的坐标 【解答】解： （1）令 y=3x+3=0 得：x=1， 故点 C 的坐标为（1，0） ； 令 x=0 得：y=3x+3=30+3=3 故点 A 的坐标为（0，3） ； OAB 是等腰直角三角形 OB=OA=3， 点 B 的坐标为（3，0
3、） ， 设过 A、B、C 三点的抛物线的解析式 y=ax2+bx+c， 解得： 解析式为：y=x2+2x+3； （2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， 解得： 直线 AB 的解析式为：y=x+3 线 CDAB 设直线 CD 的解析式为 y=x+b 经过点 C（1，0） ， （1）+b=0 解得：b=1， 直线 CD 的解析式为：y=x1， 令x1=x2+2x+3， 解得：x=1，或 x=4， 将 x=4 代入 y=x2+2x+3=16+24+3=5， 点 D 的坐标为： （4，5） ； （3）存在如图 1 所示，设 P（x，y）是第一象限的抛物线上一点， 过点 P 作 PNx 轴于点
4、N，则 ON=x，PN=y，BN=OBON=3x S ABP=S梯形PNOA+S PNBS AOB = （OA+PN）ON+ PNBN OAOB = （3+y）x+ y（3x） 33 = （x+y） ， P（x，y）在抛物线上，y=x2+2x+3，代入上式得： S PAB= （x+y） = （x23x）= （x ）2+， 当 x= 时，S PAB取得最大值 当 x= 时，y=x2+2x+3=， P（ ，） 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点 P，使得 ABP 的面积最大； P 点的坐标为（ ，） ，最大值为： 练习： 1 （2010 秋吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2
5、+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，3）点，点 P 是直线 BC 下方 的抛物线上一动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积 2 （2015贵港）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ， 其对称轴 l 为 x=1 （1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）若动点 P 在第二象限内的抛物线上，动点 N 在对称轴 l 上
6、当 PANA，且 PA=NA 时，求此时点 P 的坐标； 当四边形 PABC 的面积最大时，求四边形 PABC 面积的最大值及此时点 P 的坐标 3 （2013海拉尔区校级二模）已知：抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点（A、B 分别在原点 的左右两侧） ，与 y 轴正半轴相交于 C 点，且 OA：OB：OC=1：3：3， ABC 的面积为 6， （如图 1） （1）求 A、B、C 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）如图 2，在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一动点 P，使 BCP 面积最大？如果存在，求出最 大面积，并指出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简
7、要说明理由 4 （2013 秋辽宁校级月考）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（，0） ，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120，得到线段 OB （1）请直接写出点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式； （3）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的上方，那么 PAB 是否有最大面积？若有， 求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由 5 （2013成都模拟）已知：Rt ABC 的斜边长为 10，斜边上的高为 4，将这个直角三角形放置在平 面直角坐标系中， 使其斜边 AB 与 x 轴重合 （其中 OAOB） ，
8、 直角顶点 C 落在 y 轴正半轴上 （如图 1） （1）求线段 OA、OB 的长和经过点 A、B、C 的抛物线的解析式 （2）如图 2，点 D 的坐标为（4，0） ，点 P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中 m0，n0） ， 连接 DP 交 BC 于点 E 当 BDE 是等腰三角形时，求点 E 的坐标 又连接 CD、CP（如图 3） ， CDP 是否有最大面积？若有，求出 CDP 的最大面积和此时点 P 的 坐标；若没有，请说明理由 1. 当 x= 时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为（ ，） ，四边形 ABPC 的面积 2. 当 x= 时，S四边形PABC最大值=，此时 y=x22x+3=，所以 P（ ，） 3. 所以，点 P 的坐标为（ ，） ， 过点 P 作 PDx 轴于 D， 则 S BCP=S梯形ODPC+S PBDS OBC = （3+） + （3 ） 33 =+ = 4.当 m=时，最大值为 S PAB=， 此时 P（， ） 5. 当 x=5 时， CDP 的面积最大此时 P 点的坐标为（） ， S CDP的最大值是
