1、 第八讲：第八讲：一线三等角（一）一线三等角（一） 教师：教师：_ _ 学生：学生：_ _ 上课时间：上课时间：_ 【例【例 1 1】：（】：（B B）如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60 （1）求证：BDECFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE E C A BD 例 1 例 2 例 3 【例【例 2 2】：（】：（A A）在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且ADE=60，BD=3，CE=2， 则ABC 的边长为（ ） A 9 B 12 C 15 D 18 【例【例 3 3】：（】：（C C）如图，已知在ABC 中， A
2、B=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点， 联结 DE，并作DEFB，射线 EF 交线段 AC 于 F （1）求证：DBEECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （3）联结 DF，如果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长 秒杀秘籍：秒杀秘籍：三等角型相似三角形是以矩形（正方形）、等腰三角形（等腰梯形）或者等边三 角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的角在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相 交如图所示： 图中一定有图中一定有：BPECFP; BE CF=BP PC（躺着的乘积等于立着的乘积）（躺着的乘积等于立着的
3、乘积） C A D B E F B A C D F B A C D E (备用图) 【例【例 4 4】：】：如图，等腰ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，EDF=B，求证：BDEDFE 【例【例 5 5】：】：如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90 得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE，DF. （1）求证：ADPEPB；（2）求CBE 的度数；（3）当 AB AP 的值等于多少时，PFDBFP？并 说明理由. 秒杀秘籍秒杀秘籍：三相似问题三相似问题 第一类：平行三相似(如图
4、)，当 EF 与底边平行时,内错角相等导致三相似，BPECFPPFE。 第二类：中点三相似(如图)，当 P 为 BC 中点时，BPECFPPEF 证明：BEPFCBEPEPBEPBFPCBEPFPC BEPEBEPE BPECFPBPPCBPEPFECFP PCFPBPFP C D E A B F P F E D C BA 1 1. .如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且ADE=60 ，BD=3，CE=2，则ABC 的面积为（ ） A. 813 B . 8132 C. 8134 D. 8138 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 2.如图，已知
5、 ABC 和 ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC 相交于点 F，AB=9，BD=3，则 CF 等于（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3.如图， 在正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， G， F 分别为 AD， BC 边上的点， 若 AG=1， BF=2， GEF=90 ， 则 GF 的长为（ ） A 1 B 2 C 4 D 3 4已知 D、E、F 分别为等腰 ABC 边 BC、CA、AB 上的点，如果 AB=AC，BD=2，CD=3，CE=4，AE= ， FDE=B，那么 AF 的长为（ ） A 5.5 B 4.5 C 4 D 3.5 5.如图，在正方形
6、ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC= BC图中相似三角形共有（ ） A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 第 5 题 第 6 题 第 7 题 第 8 题 6.在 Rt ACB 中，C=90 ，AC=BC，一直角三角板的直角顶角 O 在 AB 边的中点上，这块三角板绕 O 点 旋转，两条直角边始终与 AC、BC 边分别相交于 E、F，连接 EF，则在运动过程中， OEF 与 ABC 的关 系是（ ） A 一定相似 B 当 E 是 AC 中点时相似 C 不一定相似 D 无法判断 7.如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EFEC 交边 AB 于
7、 F，连 FC，下列结论不正确的是（ ） A ABAE B AEFDCE C AEFECF D AEF 与 BFC 不可能相 似 A D C P B 60 8.如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE，过点 E 作 EFAE 交 DC 于点 F，连接 AF设， 下列结论： （1） ABEECF； （2） AE 平分BAF； （3） 当 k=1 时， ABEADF； （4） tanEAF=k 其中结论正确的是（ ） A （1） （2） （3） （4） B （1） （3） （4） C （1）（2） D （2）（3） 9.如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上的动点，N
8、在 CD 上，且，若 AB=1，设 BM=x， 当 x= 时，以 A、B、M 为顶点的三角形和以 N、C、M 为顶点的三角形相似 F ED C B A 第 9 题 第 10 题 第 11 题 第 12 题 10.如图，在 ABC 中，AB=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合），ADE=B=，DE 交 AC 于点 E，且 cos= 下列结论：ADEACD；当 BD=6 时， ABD 与 DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或；0CE6.4其中正确的结论是 （把你认为正确结论的 序号都填上） 11如图，E 为矩形 ABCD 边 BC 上自 B 向 C 移动
9、的一个动点，EFAE 交 CD 边于 F，联结 AF，当 ABE 的面积恰好为 ECF 和 FDA 的面积之和时， 量得 AE=2，EF=1， 那么矩形 ABCD 的面积为 12如图，梯形ABCD中，ADBC，6ABDCAD，70ABC，点EF， 分别在线段 AD DC，上，且110BEF，若3AE ，求DF长 13. ABC 中，AB=AC，BAC=90 ，P 为 BC 上的动点，小慧拿含 45 角的透明三角板，使 45 角的顶点落 在点 P，三角板可绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证： BPECFP； （2）将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E、F BPE 与 CFP 还相似吗？（只需写出结论） （3） 在 （2） 的条件下， 连结 EF， BPE 与 PFE 是否相似？若不相似， 则动点 P 运动到什么位置时， BPE 与 PFE 相似？说明理由
