1、 线段差最大值问题线段差最大值问题 1 （2014深圳）如图，在平面直角坐标系中，M 过原点 O，与 x 轴交于 A（4，0） ，与 y 轴交于 B（0，3） ，点 C 为劣弧 AO 的中点，连接 AC 并延长到 D，使 DC=4CA，连接 BD （1）求M 的半径； （2）证明：BD 为M 的切线； （3）在直线 MC 上找一点 P，使|DPAP|最大 【分析】 （1）利用 A，B 点坐标得出 AO，BO 的长，进而得出 AB 的长，即可得出圆的半 径； （2）根据 A，B 两点求出直线 AB 表达式为：y= x+3，根据 B，D 两点求出 BD 表达 式为 y= x+3，进而得出 BDAB
2、，求出 BD 为M 的切线； （3）根据 D，O 两点求出直线 DO 表达式为 y= x 又在直线 DO 上的点 P 的横坐标为 2， 所以 p（2， ） ，此时|DPAP|=DO= 【解答】 （1）解：由题意可得出：OA2+OB2=AB2，AO=4，BO=3， AB=5， 圆的半径为 ； （2）证明：由题意可得出：M（2， ） 又C 为劣弧 AO 的中点，由垂径定理且 MC= ，故 C（2，1） 过 D 作 DHx 轴于 H，设 MC 与 x 轴交于 K， 则 ACKADH， 又DC=4AC， 故 DH=5KC=5，HA=5KA=10， D（6，5） 设直线 AB 表达式为：y=kx+b，
3、， 解得： 故直线 AB 表达式为：y= x+3， 同理可得：根据 B，D 两点求出 BD 的表达式为 y= x+3， kABkBD=1， BDAB，BD 为M 的切线； （3）解：取点 A 关于直线 MC 的对称点 O，连接 DO 并延长交直线 MC 于 P， 此 P 点为所求，且线段 DO 的长为|DPAP|的最大值； 设直线 DO 表达式为 y=kx， 5=6k， 解得：k= ， 直线 DO 表达式为 y= x 又在直线 DO 上的点 P 的横坐标为 2，y= ， P（2， ） ， 此时|DPAP|=DO= 强化训练： 1 （2015港南区一模）如图，已知直线 y= x+1 与 y 轴交
4、于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物 线 y= x2+bx+c 与直线交于 A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为（1，0） （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC|的值最大，求出点 M 的坐标； （3）动点 P 在 x 轴上移动，当 PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 2. 如图， A， B 两点在直线 的异侧， 点 A 到 的距离 AC=4， 点 B 到 的距离 BD=2， CD=6 若 点 P 在直线 上运动，则的最大值为( ) A. B. C. 6 D. 3. 如图，抛物线与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点
5、 C，已知点 B 的坐标为（3，0） N 是抛物线对称轴上的一个动点，设 d=|AN-CN|，当 d 的值最大时，点 N 的坐标为( ) A. （-2， 1） B. C. D. 4. 如图:正方形 ABCD 的边长是 a,点 M 是 AB 的中点,CN=CD,P 是直线 AC 上的一点,则 |PM-PN|的最大值为( ) A. B. C. D. 5.如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数 y=图象上的两点,动点P(x,0)在 x轴正半轴 上运动,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时,点 P 的坐标是 ( ) A. B. (1,0) C. D. 1. 则 M（ ， ） 2.B 3.D 4.B 5.D
