1、 第五节第五节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数上节我们研究了一个幂级数在其收敛域内表示一个上节我们研究了一个幂级数在其收敛域内表示一个函数（即求和函数）的问题函数（即求和函数）的问题.反过来，如果已知一个函数反过来，如果已知一个函数()f x，我们能否寻求一个幂级数，使它的和函数恰为，我们能否寻求一个幂级数，使它的和函数恰为()f x，即将一个函数展开成幂级数呢？下面的讨论可以，即将一个函数展开成幂级数呢？下面的讨论可以回答这个问题回答这个问题.给定函数给定函数()f x.如果幂级数如果幂级数00()nnnaxx在在0 x的某个邻域的某个邻域（00,xr xr）内的和函数为）内的和函数为()
2、f x，即，即 00()()nnf xaxx，00(,)xxr xr （1 1）则称函数则称函数()f x在点在点0 x处可展开幂级数，且（处可展开幂级数，且（1 1）式（或（）式（或（1 1）式）式右端的幂级数）称为函数右端的幂级数）称为函数()f x在点在点0 x处的幂级数展开式处的幂级数展开式.根据根据幂级数的和函数的性质可知，当（幂级数的和函数的性质可知，当（1 1）式成立时，在（）式成立时，在（00,xr xr）内，内，()f x有任意阶导数，且有任意阶导数，且 ()()(1)(1)kn kfxn nnk0()n knaxx，于是于是 00()f xx，01()fxa，()0,()!
3、kkfxk a，即有即有 ()01()!kkafxk，k=1=1，2 2，.一、泰勒（一、泰勒（Taylor）级数）级数这个定理我们不予证明这个定理我们不予证明.定理表明，对于初等函定理表明，对于初等函数来说，它的泰勒级数就是它的幂级数展开式数来说，它的泰勒级数就是它的幂级数展开式.因因此，把初等函数此，把初等函数()f x展开成展开成0 xx的幂级数可采取下的幂级数可采取下述步骤：述步骤：定理定理 设设()f x是初等函数，且在（是初等函数，且在（00,xl xl）内有）内有任意阶导数，则任意阶导数，则()f x在点在点0 x处可展开成幂级数，且有展处可展开成幂级数，且有展开式开式 ()f
4、x()0001()()!nnnfxxxn，x00(,)xr xr，（3 3）其中其中min,rl R，而，而R为（为（3 3）式右端幂级数的收敛半径）式右端幂级数的收敛半径.在端点在端点0 xxr及及0 xxr处，如果级数收敛且处，如果级数收敛且()f x也也有定义，则展开式（有定义，则展开式（3 3）在该端点处也成立）在该端点处也成立.下面我们只讨论下面我们只讨论0 x=0=0 的情形的情形.当当0 x 0 0 时，令时，令0()()F tf xt，求得，求得()F t在在 t=0 0 处的幂级数展开式，也就处的幂级数展开式，也就求得求得()f x0 xx处的展开式处的展开式.当当0 x=0
5、=0 时，（时，（3 3）式成为）式成为 ()01()(0)!nnnf xfxn,(,)xr r，（4 4）（4 4）式称为）式称为 ()f x的麦克劳林（的麦克劳林（Maclaurin）展开式，（）展开式，（4 4）式右端的级数称为麦克劳林级数式右端的级数称为麦克劳林级数.（1 1）在）在0 x的邻域内求出的邻域内求出()f x的各阶导数，进而求出的各阶导数，进而求出()0()kfx（k=0=0，1 1，2 2，），并写出展开式（），并写出展开式（3 3）；）；（2 2）求出（）求出（3 3）式右端泰勒级数的收敛半径）式右端泰勒级数的收敛半径R及及()f x的的任意阶导数任意阶导数的存在区间
6、（的存在区间（00,xl xl），令），令min,rR l，则，则展开式（展开式（3 3）在（）在（00,xl xl）内成立；再考察两个端点）内成立；再考察两个端点0 xr及及0 xr，在级数收敛且函数，在级数收敛且函数()f x有定义的端点处展开式（有定义的端点处展开式（3 3）也成立也成立.解解 )()enxfx，)(0)1nf.因因()exf x 为初等函数，故为初等函数，故 211e12!xnxxxn.（5 5）再求级数的收敛半径再求级数的收敛半径.由由1limnxnaa=1lim1xn=0=0，得，得R .而而 ()f x ex在（在（,）内有任意阶导数，）内有任意阶导数，故（故（5
7、 5）式在（）式在（,）内成立）内成立.解解 这也是求初等函数的麦克劳林展开式这也是求初等函数的麦克劳林展开式.因因 ()cosfxxsin()2x，故故 ()()sin()2nnfxx，()(0)sin2nnf.当当n取取 0 0，1 1，2 2，3 3，时，时，()(0)nf依次循环地取依次循环地取 0 0，1 1，0 0，-1 1，于是，于是 352111(1)sin3!5!(21)!nnxxxxxn （6 6）例例 2 2 把把()sinf xx展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.显显然然级级数数的的收收敛敛半半径径为为，而而 sin x在在（,）内内有有任任意意阶阶导导数数，因因此此
8、（6）式式在在(,)内内成成立立.解解 ()f x=(1)x，1()(1)fxx，2(1)(1)fx ，()()(1)(1)(1)nnfxnx.于于是是 (0)1f，(0)f，(0)(1)f ()(0)(1)(1)nfn.因因()f x=(1)x为为初初等等函函数数，故故 (1)=1+x2(1)2!xx (1)(1)!nnxn (7 7).(7)(7)式称为二项展开式式称为二项展开式.特别地，当特别地，当 为正整数时，级数为正整数时，级数为为 x 的的 次多项式，这时次多项式，这时(7)(7)式就是代数学中的二项式定理式就是代数学中的二项式定理.当当1 时，时，(7)(7)式为几何级数的求和公
9、式式为几何级数的求和公式 11x=1=12(1)nnxxx .(1,1)x.（8 8）当当12 时，时，(7)(7)式为式为 11x23411 31 3 51 3 5 7122 42 4 62 4 6 8xxxx 1,1x 再求级数的收敛半径再求级数的收敛半径.由由1nnaa=1nn1 1（n ），得），得R=1=1；又；又()f x=(1)x在（在（-1 1，1 1）内有任意阶导数，因此在）内有任意阶导数，因此在（-1 1，1 1）内（）内（7 7）式成立）式成立.在区间的端点，展开式是否成在区间的端点，展开式是否成立，立，要看要看的数值而定的数值而定.对对展展开开式式 210(1)sin(
10、21)!kkkxxk，(,)x (6)两两端端求求导导，可可得得 cosx=20(1)(2)!kkkxk，(,)x .（9 9）对对展展开开式式 11x=0(1)nnnx，x（-1 1，1 1）(8)两两端端从从 0 0 到到 x 积积分分，可可得得 ln(1)x=10(1)1nnnxn=11(1)nnnxn，x1,1 （1 10 0）下下面面我我们们举举几几个个例例子子.上上一一目目，我我们们根根据据初初等等函函数数展展开开定定理理直直接接按按公公式式()1(0)!nnafn计计算算幂幂级级数数的的系系数数，求求得得初初等等函函数数()f x的的幂幂级级数数展展开开式式，通通过过幂幂级级数数
11、的的运运算算（如如四四则则运运算算、逐逐项项求求导导、逐逐项项）积积分分及及变变量量代代换换等等，将将所所给给函函数数展展开开成成幂幂级级数数.例例如如：二、间接展开法二、间接展开法解解 ()f x=1(3)(2)xx=111()532xx =11111()5321132xx.利用展开式（利用展开式（8 8），有），有 113x=013nnnx，x（-3 3，3 3）.112x=01()2nnnx，故故 ()f x 1501133nnnx120(1)2nnnnx 15 1101(1)32nnnnnx，(2,2)x 例例 5 5 将将函函数数()f x ln(1)x展展开开成成 x 的的幂幂级级
12、数数.解解 方法一方法一 利用展开式（利用展开式（1010），有），有 111111(1)(1)(1)()(1)nnnnnnnnnf xxxxxxnnn 11111(1)(1)nnnnnnxxnn 112(1)(1)1nnnnnnxxnn 211(1)()1nnnxxnn 2(1)(1)nnnxxx n，方法二方法二 ()1 ln(1)fxx.利用展开式（利用展开式（1010），得），得 11(1)()1nnnfxxn，x1,1 从从 0 0 到到 x 积分，得积分，得 ()f x(0)f111(1)(1)nnnxxn n，即即 ()f x 2(1)(1)nnnxxn n，x1,1 *解解 令令4xt，4xt，则，则 1()()sin()(sincos)442f xftttt.利用展开式（利用展开式（6 6）和（）和（9 9），得），得 sin()4t212001(1)(1)(21)!(2)!2kkkkkkttkk 内容小结内容小结1.直接展开法直接展开法作业作业P125 2(1),(3),32.间接展开法间接展开法
