1、第六章 常微分方程6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 6.4 应用与实践应用与实践6.5 拓展与提高拓展与提高一一 知识结构知识结构第六章第六章 常微分方程常微分方程二二 教学基本要求与重点、难点教学基本要求与重点、难点第六章第六章 常微分方程常微分方程 （1）常微分方程的基本概念，解、通解、特解、初始条件的概念。（2）一阶微分方程中可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程的解法。（3）二阶微分方程中可直接积分类型、二阶常系数齐次线性微分方程的解法，求解简单的二阶常系
2、数非齐次线性微分方程。1教学基本要求教学基本要求第六章第六章 常微分方程常微分方程2教学重点与难点教学重点与难点 （1）重点重点 一阶微分方程的类型和解法。典型二阶微分方程的类型和解法。（2）难点难点 齐次方程、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解法。6.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念与分离变量法与分离变量法 第六章第六章 常微分方程常微分方程6.1.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 引例引例 已知曲线上任意一点切线的斜率等于该点横坐标的二倍，且曲线过点(2,4)，求该曲线的方程。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 解：解：设所求曲线的
3、方程为y=y(x)，根据已知条件知 xy2两边积分 d2 dy xx xCCxy2再将曲线过点(2,4)的条件代入得：C=0 2xy 6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 定义定义6.1 含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程。凡未知函数为一元函数的微分方程叫常微分方程常微分方程，多元未知函数的微分方程叫偏微分方程偏微分方程。微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫微分方程的阶阶。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 定义定义6.2 代入微分方程中，使其成为恒等式的函数叫微分方程的解解。解有两种形式，含任意常数的
4、个数等于微分方程的阶数的解叫微分方程的通解通解，给通解中任意常数以确定值得出的解叫微分方程的特解特解。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 例例1 验证函数 是一阶微分方程 的特解。25xy yyx2解：解：因为 ，把y及 代入微分方程，得 xy10yyxxxyx252102所以函数 是微分方程 的特解。25xy yyx26.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 6.1.2 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程定义定义 8.6 形如()d()dg yyf xx的微分方程，称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程。求解可
5、分离变量的微分方程的方法为：(1)将方程分离变量得 d()d()yf xxg y(2)等式两端求积分，得通解 d()d()yf xxCg y6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 例例2 求微分方程 的通解。d2dyxyx解解:此方程是可分离变量的，分离变量后得 d2 dyx xy两端积分 d2 dyx xy12|lnCxy得 从而 2112xccxeeey方程的通解为 2xCey 6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程6.2.1 一阶线性微分方程一阶线性微分方程0)(yxPdxdy称为一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方
6、程。定义定义6.4 形如 的方程，称为)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项自由项。如果 则称为一阶线性非齐次微分方一阶线性非齐次微分方0)(xQ程程；如果Q(x)=0，即 6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的求解方法是常数变易法常数变易法。常数变易法分两步求解：(1)求一阶齐次线性方程的通解因方程 是可分离变量的微分方程，0)(yxPy分离变量得 d()dyP xxy 两端积分得 ln()dlnyP xxC 所以()dln()deeP xxCP xxyC为一阶齐次线性方程的通解。6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程(2)求一阶
7、非齐次线性方程的通解 假定 是非齐次方程的通解，C(x)是待定函数。把假定解代入方程得()d()eP xxyC x()d()d()e)()()e()P xxP xxC xP x C xQ x()d()d()d()e()(e)()()e()P xxP xxP xxC xC xP x C xQ x()d()d()d()e()()e()()e()P xxP xxP xxC xP x C xP x C xQ x()d()e()P xxC xQ x()d()()eP xxC xQ x()d()()edP xxC xQ xxC()d()d()d()ee()ed)P xxP xxP xxyC xQ xxC6
8、.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程例例3 求微分方程 xxeyyx满足条件 1|1xy的特解。解解：将原方程变形为xeyxy1利用公式 1()()xP xQ xex，11dd21(d)(1)xxxxxxyee exCxeCx1|11xyC 故方程的特解为 1)1(12xexxy6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程例例4 求微分方程 的通解。2222xxexyyy解：解：令 22yzyyz，代入方程得 22xxexzz用公式法得 Cdxexeezxdxxxdx222CxeCdxexeexxxx222222Cxeyx22226.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程6.2.2一阶线性微分方程
9、应用举例一阶线性微分方程应用举例应用微分方程解决具体问题的步骤是：(1)分析问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求出该微分方程的通解；(3)根据初始条件确定所求的特解。6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 例例5 已知需求量Q对价格p的弹性为 ，且21Qp当Q=0时，p=100。试将价格表示为需求量的函数。解：解：因为需求量Q对价格p的弹性等于 QpQ 故 21pQQQ分离变量得 ddpQQp 1221lnCQp22eQpC代入初始条件得：C=10022100eQp6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 例例6 物体冷却速度与该物体和周围介质的温度差成正比，具有温度为T0的物体放在保
10、持常温为 的室内，求温度T与时间t的关系。解：解：根据牛顿冷却定律:冷却速度与物体和空气的温差成正比，所以ddTk Tt 由分离变量法解得 ektTC由t=0时，T=T0，得0TC0e(1e)ktktTT6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质定义定义6.5 形如)(xfqyypy 0 qyypy其中p，q是实常数。称为二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程，与其对应的二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程为6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方
11、程 若函数y1和y2之比为常数时，称y1和y2是线性线性相关相关的；若函数y1和y2之比不为常数时，称y1和y2是线性无关线性无关的。定理定理6.1 若函数若函数y1和和y2是方程是方程 0 qyypy的两个线性无关的解，则的两个线性无关的解，则 是该方程是该方程1122yC yC y的通解，其中的通解，其中C1，C2是任意常数。是任意常数。6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程定理定理6.2 若若 是方程是方程 的的)(xfqyypy*y一个特解，一个特解，是方程是方程 的通解，则的通解，则y0 qyypy*yyy是方程是方程 的通解。的通解。)(xfqyypy 6.3 二阶常
12、系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程形如0 qyypy的方程，其中p,q是实常数。6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法设 是方程的解(r为待定常数)代入方程得erxy(e)(e)e0rxrxrxpq2()e0rxrprq02qprr称其为原方程的特征方程特征方程，其根称为特征根。特征根。6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 特征方程的两个根有三种不同情况；相应地，微分方程的通解也有三种不同的情形：1特征方程有两个不相等的实根两个不相等的实根：21rr xrxreCeCy21212特征方程有两个相等的实根：两个相等的实根：rrr2
13、1rxrxrxexCCxeCeCy)(21213特征方程有一对共轭复根：一对共轭复根：1ri，ir2(0)12(cossin)xyeCxCx6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤：(1)写出微分方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根据特征根，写出所给微分方程的通解。6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程例例7 求微分方程 032 yyy的通解。解：解：特征方程为 ，它有两个不相等的实根：0322 rrr1=-1,r2=3故微分方程的通解为xxeCeCy3216.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程6.3.3 二
14、阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 求二阶非齐次线性微分方程的通解可按如下步骤进行：(1)求出对应的齐次方程的通解 ；y(2)求出非齐次方程的一个特解 ；*y(3)所求方程的通解为 。*yyy6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程待定系数法求微分方程特解待定系数法求微分方程特解()exypyqyP x其中P(x)是多项式，是常数，则方程具有形如*()ekxyx Q x(1)若 与两个特征根都不等，取k=0；(2)若 与一个特征根相等，取k=1；(3)若 与两个特征根都相等，取k=2。6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程例例8
15、 求微分方程 的通解。323exyyy解解：(1)其对应的齐次方程的特征方程为：0322 rr1213rr，所以齐次方程的通解为312eexxyCC(2)设特解为*33()eeekxxxyx Q xxaax代入原方程得 3333(e)2(e)3(e)exxxxaxaxax41a*31e4xyx(3)所求方程的通解为*33121eee4xxxyyyCCx6.4 应用与实践应用与实践第六章第六章 常微分方程常微分方程6.4.1 应用应用1Volterra模型模型大鱼吃小鱼，生态平衡问题大鱼吃小鱼，生态平衡问题 设x(t)表示t时刻小鱼的数量，于是在由时刻t到时刻t+t中它的变化由以下关系决定()(
16、)x ttx t（自然增长数）（被捕食数）大鱼的数量用y(t)表示。6.4 应用与实践应用与实践()()x ttx tax tbxy t 0td()dxx abyt同理可得大鱼数量变化情况()()d()y tty tcxyyy cxdtddyy cxdtd()d()yy cxdxx aby6.4 应用与实践应用与实践分离变量积分后得通解 CxdyacxbylnlnlneadbycxyxCed()d()yy cxdxx aby00(0)(0)xxyy由初始条件 可得到特解。6.4 应用与实践应用与实践2马尔萨斯人口方程马尔萨斯人口方程 英国人口学家马尔萨斯提出了人口指数增长模型。他的基本假设是：
17、单位时间内人口的增长他的基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比量与当时的人口总数成正比。根据马尔萨斯的假设，时间与人口总数之间的函数关系为：ddNkNt由分离变量法解得 ektNC0000eeek t tktktNNN由初始条件可得6.4 应用与实践应用与实践6.4.2 用用Mathematica解常微分方程解常微分方程在Mathematica中求解微分方程的格式为：Dsloveeqn,yx,x求解yx的微分方程eqn，x为变量；Dsolveeqn1,eqn2,y1,y2,.,x 求解微分方程组eqn1，eqn2，x为变量；Dsolveeqn1,y0=x0,yx,x 求解微分
18、方程eqn满足初始条件y0=x0的解。6.4 应用与实践应用与实践解：解：In 1:DSolve 2 1,01,y xy xyy x x-2-21Out 1 e(1e)2xxy x In 2:DSolve 2 3 3Exp2,yxy xy xxxy x x 2-31Out 2 e(2+3)e C1e C23xxxy xx 例例9 用Mathematica系统求解下列微分方程：(2)求方程 的通解。2233 exyyyx(1)求方程 满足初始条件y(0)=1的特解。21yy6.5 拓展与提高拓展与提高第六章第六章 常微分方程常微分方程1齐次方程齐次方程 定义定义6.6 形如 的一阶微分方程，称为
19、齐次微分方程微分方程。xyfy 此类题的求解方法为：用变量替换y=ux把原方程化为关于x和u的可分离变量的微分方程，具体如下：yuxyux6.5 拓展与提高拓展与提高两端求导得 uxuuxxuy所以原方程变为)(ufyuxud()duxf uux分离变量得 dd()uxf uux 两端积分后，再把u换为 就可得到原方程的通解。xy6.5 拓展与提高拓展与提高例例10 求微分方程 的通解。0secyxyxyx解：解：把方程变为 xyxyysecxyu yu xuuuuxusecsecu xu分离变量为 dcosxudux等式两端积分得 dcos dxu uxsinlnlnln()uxCCx通解为
20、 sinln()yCxxarcsin(ln()yxCx6.5 拓展与提高拓展与提高 求解某些微分方程的时候，有时用求解某些微分方程的时候，有时用“凑导数凑导数”的方法求解更为快捷，当然，的方法求解更为快捷，当然，“凑凑”的前提是必的前提是必须熟悉各种导数组合式须熟悉各种导数组合式。2凑导数凑导数两种最常用的导数组合式：两种最常用的导数组合式：xyyyxxyxyyx26.5 拓展与提高拓展与提高例例11 微分 方程的通解。cosxyyxcosxyyx解：解：方程左边恰好等于()xy()cosxyx Cxxdxxysincos1(sin)yxCx6.5 拓展与提高拓展与提高例例12 求微分方程 的
21、通解。3xyyx解：解：方程两边同除 得 2xxxyyx2yxx21d2yx xxCxCxxy2216.5 拓展与提高拓展与提高3.其他类型微分方程的解法其他类型微分方程的解法 若遇到不属于基本类型微分方程时，应按若遇到不属于基本类型微分方程时，应按以下两种思考方法重新判别：以下两种思考方法重新判别：(1)把把x当作未知函数，把当作未知函数，把y当作自变量，再判别当作自变量，再判别。(2)用适当的变量代换把方程化为可解方程。用适当的变量代换把方程化为可解方程。6.5 拓展与提高拓展与提高例例13 求微分方程 的通解。xyy21解：解：把方程变形为xyx22xxydd2eedyyxyyC22e(
22、e2 e2e)22eyyyyyyyCyyC222e0yyyCx6.5 拓展与提高拓展与提高例例14 求微分方程 的通解。1)(12yxy解：解：令 yxu1yu2111uu 2dd1uxuCxuarcsinsin()uxC)sin(Cxyx6.5 拓展与提高拓展与提高4一题多解一题多解例例15 求微分方程 的通解。xyyy解法一解法一 xyu1yuuxuu1xuuddu ux x2211122uxC022Cyxy6.5 拓展与提高拓展与提高解法二解法二 方程可化为 yxyxyxxy()xyy两边对y积分得 1221Cyxy022Cyxy6.5 拓展与提高拓展与提高5n阶常系数齐次线性微分方程举例阶常系数齐次线性微分方程举例 例例16 求微分方程 的通解。06y116 yyy解：解：微分方程的特征方程为 0611623rrr(1)(2)(3)0rrr其根为 3,2,1321rrr23123eeexxxyCCC
