1、第六章第六章 定积分应用习题课定积分应用习题课一、定积分应用的类型一、定积分应用的类型1几何应用几何应用 平面图形的面积平面图形的面积特殊立体的体积特殊立体的体积平面曲线弧长平面曲线弧长 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为平行截面面积为已知立体的体积已知立体的体积2物理应用物理应用 变力作功变力作功水压力水压力引力引力二、构造微元的基本思想及解题步骤二、构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想构造微元的基本思想无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。元素法的实质是局部上元素法的实质是局部上“以直代曲以直代曲”、“以不变代变以不变代变”、
2、“以均匀变化代不均匀变化以均匀变化代不均匀变化”的方法，其的方法，其“代替代替”的原则必须的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部是无穷小量之间的代替。将局部 上所对上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分定积分 badxxf)(,badxxx 2.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：选取适当的坐标系；选取适当的坐标系；三、典型例题三、典型例题1.几何应用几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。
3、解决这些问题的关键是确定面积元体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。素、体积元素和弧长元素。在在 上求出微元解析式上求出微元解析式,x xdx dxxfdU)(把所求的量表示成定积分把所求的量表示成定积分 badxxfU)(确定积分变量和变化范围确定积分变量和变化范围 ；,ba【例例1】求由求由 所围成图形的面积。所围成图形的面积。20,2xyyxx分析：在直角坐标系下分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如图所示。如果取如果取 为积分变量为积分变量,则则 x0,3.x 0,3,x 设区间设区间 所对应的曲边梯
4、形面积为所对应的曲边梯形面积为 则面积元则面积元,dxxx 素素 就是在就是在 上以上以“以直代曲以直代曲”所形成的矩形面积。所形成的矩形面积。,A dA,dxxx 解解：(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：的交点为的交点为 和和 ,)0,0()3,3(取取 为积分变量为积分变量,则则x0,3.x xxy22 由于曲线由于曲线 和和0 yx（2）求微元：任取）求微元：任取 0,3,x ,0,3.x xdx 如果将图形上方直线的纵坐标记为如果将图形上方直线的纵坐标记为 ,xy 2将图形下方抛物线的纵坐标记为将图形下方抛物线的纵坐标记为 ,xxy221 那么，那么，就是区间就是区
5、间 所对应的矩形的面积。因此所对应的矩形的面积。因此dA,x xdx dxxxdxxxxdxyydA)3()2()(2212 （3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为求定积分：所求的几何图形的面积表示为320(3)Axx dx 计算上面的积分得：计算上面的积分得：3209(3).2Axx dx 分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图【例例2】*求位于曲线求位于曲线 下方，该曲线过原点的切线下方，该曲线过原点的切线 xey 的左方以及的左方以及 轴上方之间的图形的面积。轴上方之间的图形的面积。x所示。如果取所示。如果取 为积分变量，则为
6、积分变量，则 设区间设区间x(,1,x 所对应的曲边梯形所对应的曲边梯形,x xdx 就是在就是在 上上“以直代曲以直代曲”,dxxx 所形成的矩形面积。所形成的矩形面积。dA面积为面积为 则面积元素则面积元素,A 考虑到当考虑到当 和和 时时0,dxxx1,0,dxxx,dxxx 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也不同，因此微元不同，因此微元 应该分别去求应该分别去求.dA 解：（解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点）确定积分变量和积分区间：设切点 的坐标为的坐标为 M 则过原点且与则过原点且与 相切的切线方程为：相切
7、的切线方程为：00(,),M xyxey 0,xyex 由由 得得 的坐标为的坐标为 .00000 xxeyxeyM),1(eM故得到切线方程为故得到切线方程为 .exy 所以选取所以选取 为积分变量为积分变量,.x(,1x （2）求微元：任取）求微元：任取 ,则当则当,(,1x xdx 时时,那么面积元素那么面积元素 就是就是,0 x xdx 1dA区间区间 所对应的矩形的面积，所对应的矩形的面积，,x xdx（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：01120()xxAAAe dxeex dx 解上面的积分得：解上面的积分得：0101020()
8、lim()22xxxxaaAe dxeex dxeee dxex 即即 当当 时时,那么面积元素那么面积元素 就是区间就是区间,0,1x xdx 2dA,x xdx 所当对应的矩形的面积，所当对应的矩形的面积，即即 dxexedAx)(2 dxedxedAxx )0(1【例例3】求由摆线求由摆线 ,的一拱的一拱)sin(ttax )cos1(tay 20 t与与 轴所围成图形的面积轴所围成图形的面积.x分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，设区间设区间 所对应的曲边梯形面积为所对应的曲边梯形面积为 ,x xdx,A 则面积元素则面积元素 就
9、是在就是在 上上“以直代曲以直代曲”dA,dxxx 所形成的矩形面积。所形成的矩形面积。0,2,xa 如果取如果取 为积分变量为积分变量,则则 .x0,2xa yx2a2 a 0 xdx x解解:(1)确定积分变量和积分区间：选取确定积分变量和积分区间：选取 为积分变量，为积分变量，x0,2xa (2)求微元：求微元：,0,2xa ,0,2x xdxa 那么面积元素那么面积元素 就是区间就是区间 所对应的所对应的dA,x xdx 矩形的面积，即矩形的面积，即 .ydxdA (3)求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：20 aAydx 20)cos1()
10、cos1(dttata22220(12coscos)3att dta 【例例4】求曲线求曲线 围成的图形的面积围成的图形的面积.2(2cos)(0)aa 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。所对应的曲边扇形的面积为所对应的曲边扇形的面积为,A 所求图形的面积所求图形的面积 12.AA 则面积元素则面积元素 就是用区间就是用区间 1dA,d 所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积,A 面积面积因为曲线关于因为曲线关于 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.取取 为
11、积分变量为积分变量,则则 设区间设区间x 0,.0,d 解：解：(1)确定积分变量和积分区间确定积分变量和积分区间:取取 为积分变量，为积分变量，0,(2)求微元：任取求微元：任取 则面积则面积0,0,d 元素元素 就是区间就是区间 所对应的扇形面积所对应的扇形面积,1dA,d 211.2dAd (3)求定积分：求定积分：第一象限图形的面积表示为第一象限图形的面积表示为22210012(2cos)2Adad2220(44coscos)9ada 则所求的几何面积为则所求的几何面积为 21218AAa 【例例5】设由曲线设由曲线 ，及及 围成围成xysin(0)2x 1 y0 x平面图形平面图形
12、绕绕 轴轴,轴旋转而成的旋转体的体积。轴旋转而成的旋转体的体积。Axy分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 轴旋转时，轴旋转时，x取取 为积分变量为积分变量;绕绕 轴旋转时轴旋转时,取取 为积分变量。为积分变量。xyy设区间设区间对对 或对或对0,2x 0,1,y 或或 所对应的曲边梯形为所对应的曲边梯形为 是以直代曲是以直代曲,dxxx,dyyy,S 所形成的矩形为所形成的矩形为 则绕则绕 轴、轴、轴旋转而成的旋轴旋转而成的旋 1,S xy转体的体积微元转体的体积微元 就是矩形就是矩形 分别绕分别绕 轴、轴、轴轴dV1S xy旋转而成的体积旋转而成的体积.
13、解解:(一一)求求 绕轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体的体积 x（1）确定积分变量和积分区间：绕）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图轴旋转如图,x旋转体体积元素旋转体体积元素 是是 对应的矩形绕对应的矩形绕 轴所得的轴所得的旋转体的体积，即旋转体的体积，即 xdV,x xdx xdxxdVx)sin1(22 0,2x ,0,2x xdx （2）求微元：对）求微元：对取取 为积分变量为积分变量,则则x0,.2x （3）求定积分：绕）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为轴旋转而成的旋转体的体积表示为x220(1sin)xVx dx 计算积分得：计算积分得：4cos )sin
14、1(2202202 xdxdxxVx（1）确定积分变量和积分区间：绕）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图轴旋转如图,y取取 为积分变量为积分变量,则则y0,1.y(二二)求绕求绕 轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积y（2）求微元：对）求微元：对0,1,y ,0,1,y ydy 旋转体的体积元素旋转体的体积元素 ydV是是 对应的矩形绕对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积轴所得的旋转体体积,即即,y ydy y22(arcsin).ydVx dyy dy （3）求定积分：绕）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为轴所得的旋转体的体积表示为 y120(arcsin)yVydy 12
15、0(arcsin)yVydy 12 10201(arcsin)|2(arcsin)1yyyydyy 1220(arcsin1)2(arcsin)(1)y dy 32102 1arcsin2 4yyy 324 计算积分得计算积分得:通过例通过例5，同样可求出绕平行于，同样可求出绕平行于 轴和平行于轴和平行于 轴的直线轴的直线xy旋转而成的旋转体的体积，见例旋转而成的旋转体的体积，见例6。对对 设区间设区间 所对应的曲边梯形为所对应的曲边梯形为 0,2x ,dxxx,S 旋转而成的旋转体的体积。旋转而成的旋转体的体积。【例例6】设由曲线设由曲线 及及 围成围成sin(0),2yxx 2 x0y 平
16、面图形平面图形 试求平面图形试求平面图形 绕直线绕直线 旋转而成的旋转而成的,AA旋转体的体积。旋转体的体积。21 y的旋转体的体积微元的旋转体的体积微元 就是矩形就是矩形 分别绕直线分别绕直线 dV1S 21 y分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线 21 y以直代曲所形成的矩形为以直代曲所形成的矩形为 则绕直线则绕直线 旋转而成旋转而成1,S 21 y平行于平行于 轴轴,所以绕直线所以绕直线 旋转时旋转时,取取 积分变量。积分变量。xx21 y解解:(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：(2)求微元：对求微元：对 0,2x ,0
17、,2x xdx 轴所得的旋转体的体积，即轴所得的旋转体的体积，即 0,.2x 取取 为积分变量为积分变量,则则x绕直线绕直线 旋转如图旋转如图，21 y旋转体的体积元素旋转体的体积元素 是是 对应的矩形绕对应的矩形绕 xdV,x xdx 21 y21(sin)2xdVxdx 12 12 xy0 xdx x计算积分得：计算积分得：(3)求定积分：绕求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为轴旋转而成的旋转体的体积表示为21 y2201(sin)2xVxdx 2201(sinsin)4xVxxdx 201cos21(sin)24xxdx 20111(sin2)cos224xxxx 3(1)8【例
18、例7】计算底面是半径为计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择 积分变量为积分变量为 ,如果能求出平面如果能求出平面 x 2,2,x xx 所截立体的截面面积所截立体的截面面积 那么，那么，(),A x,2,2x xdx 所对应的体积元素为所对应的体积元素为 .()dVA x dx 建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，解解:(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和
19、积分区间：则底圆方程为则底圆方程为 224.xy取取 为积分变量为积分变量,所以所以 2,2.x x （2）求微元：因为过点）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图），的截面为等边三角形（如图），其边长为其边长为 高为高为 x22 4,x 232 4.2x 所以截面积为所以截面积为 22213()2 42 4223(4).A xxxx 因此因此,对对 所对应的体积元素为所对应的体积元素为 2,2,x ,2,2x xdx 2()3(4).dVA x dxxdx （3）求定积分：所求立体的体积为求定积分：所求立体的体积为22222()3(4)VA x dxxdx 3233 yy【例例8】计算半
20、立方抛物线了计算半立方抛物线了 被抛物线被抛物线 232(1),3yx32xy 截得的一段弧的长度。截得的一段弧的长度。分析：所给定的曲线弧如图所示。分析：所给定的曲线弧如图所示。对对 把区间把区间 上上 1,2,x ,dxxx 所对应的曲线段长所对应的曲线段长 用切线段长用切线段长 s ds代替，则得到弧长的微元代替，则得到弧长的微元 的解析式的解析式.ds1,2.x 取积分变量为取积分变量为 则则,x取取 为积分变量为积分变量,则则x1,2.x 解解:(1)确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点的横坐标得的横坐标得2.x (2)求微元：求微元：区间
21、区间1,2,x ,1,2,x xdx ,dxxx 所对应的曲线段长所对应的曲线段长 用切线段长用切线段长 来代替来代替,得弧长元素得弧长元素s ds222()()1()dsdxdyydx 由于由于212322)1(23)1(2)1(3)1(xxxyxy从而从而 dxxdxyds212312 (3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得222113121222sy dxxdx 3282()195 【例例9】求星形线求星形线 的全长的全长.3cos,xat tay3sin 分析：曲线为参数方程，由于星形线关于分析：曲线为参数方程，由于星形线关于 轴
22、都对称轴都对称,x y所以只须考虑第一象限中的情况。取参数所以只须考虑第一象限中的情况。取参数 为积分变量，为积分变量，t 对对 把区间把区间 上所对应的曲线上所对应的曲线0,2t 0,2t ,t tdt 段长段长 用切线段长用切线段长 代替代替,则得到曲线弧长的微元则得到曲线弧长的微元 s dsds的解析式。的解析式。解解:(1)确定积分变量和积分区间确定积分变量和积分区间:0,.2t 取参数取参数 为积分变量为积分变量,t (2)求微元：求微元：把区间把区间 上所对应的曲线弧长上所对应的曲线弧长0,2t ,t tdt 用切线段长用切线段长 代替代替,得弧长元微元得弧长元微元 s ds22(
23、)().dsx ty tdt (3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得2220()()sx ty tdt 242242209cossin9sincosattattdt 2033sin222atdta 则所求曲线弧长为则所求曲线弧长为 46.Ssa 注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标来做，但积分时要注意积分上下限的确定。来做，但积分时要注意积分上下限的确定。以上例以上例1-9给出了定积分在求几何图形面积，旋转体体给出了定积分在求几何图形面积，旋转体体积，截面面积为已知的立体的体积和
24、曲线弧长方面的应用。积，截面面积为已知的立体的体积和曲线弧长方面的应用。下面的例下面的例10给出了定积分的综合应用。给出了定积分的综合应用。【例例10】*设曲线设曲线 与与 交于点交于点2(0,0)yaxax21xy ,A过坐标原点过坐标原点 和点和点 的直线与曲线的直线与曲线 围成一平面图形，围成一平面图形，O,A2axy 问问 为何值时为何值时,该图形绕该图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的轴旋转一周所得到的旋转体的ax体积最大？最大体积是多少？体积最大？最大体积是多少？分析：此题为定积分应用的最值问题，首先应先求出交点分析：此题为定积分应用的最值问题，首先应先求出交点 的方程与曲线的方程与
25、曲线 围成一平面图形绕围成一平面图形绕 轴旋转一周轴旋转一周OA2axy x所得到的旋转体的体积可看成直线所得到的旋转体的体积可看成直线 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周OAx所得旋转体的体积减去曲线所得旋转体的体积减去曲线 绕绕 轴旋转一周所得轴旋转一周所得2axy x旋转体的体积旋转体的体积,见图见图,最后求驻点，即可得最后求驻点，即可得 .a解：求交点：解：求交点：,221xyaxy)1,11(aaaA A的坐标，确定的坐标，确定 的范围的范围,然后求出直线然后求出直线 的方程的方程,直线直线OAx解得解得直线直线 方程为方程为OA,1ayxa 10,1xa 直线直线 与曲线与曲线 围成一平面
26、图形绕围成一平面图形绕 轴旋转一周轴旋转一周OA2axy x所得到的旋转体的体积为所得到的旋转体的体积为122210()()1aaVxaxdxa 1222410()1aaxa xdxa 522215(1)aa 272325)1(15)4()1()1(25)1(2152252aaaaaaaadadV 令令 得得 为唯一驻点为唯一驻点.0,dVda 4 a所以，当所以，当 时旋转体的体积最大时旋转体的体积最大4 a 1875532|4max aVV2.物理应用物理应用 定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的
27、例子。仅给出作功、水压力和引力问题的例子。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。0Rxyxdx x【例例11】将半径为将半径为 的半球形水池内注满水的半球形水池内注满水,若将满池水若将满池水 R全部抽出，需作多少功？全部抽出，需作多少功？分析：吸水作功是水的重力在作功问题，此问题可理解成分析：吸水作功是水的重
28、力在作功问题，此问题可理解成将水一层一层吸出的。取坐标原点在水平面，将水一层一层吸出的。取坐标原点在水平面，轴铅直向下轴铅直向下x如果设如果设 所对应的薄层的体积为所对应的薄层的体积为 0,xR ,x xdx,V 那么在那么在 上以直代曲，便得体积元素上以直代曲，便得体积元素 ,x xdx 2,dVy dx 从而得到重力作功的功元素从而得到重力作功的功元素 2.dWxy dx 解解:(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系.则半圆的方程为则半圆的方程为 取取 为积分变量为积分变量,则则22.yRxx0,.xR(2)求微元求微元:对对 把区间
29、把区间 0,xR ,0,x xdxR ,dxxx 所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到得到 222().dVy dxRxdx 由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为比重为 所以功的元素为所以功的元素为1,dxxRxdW)(22 (3)求定积分：将满池水全部抽出所作的功为求定积分：将满池水全部抽出所作的功为220()RWx Rxdx 2240()4Rx RxdxR 【例例12】一底为一底为8厘米，高为厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉厘米的等腰三角形片，铅直沉 入水中，顶在上，底在下
30、，底与水平面平行，顶距水面入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘厘 米，求每面所受的压力。米，求每面所受的压力。分析：由于水压力等于受力面积乘以压强。如果取如图所分析：由于水压力等于受力面积乘以压强。如果取如图所示的坐标系，示的坐标系，压力可理解水深压力可理解水深 处的压强乘上受力面积处的压强乘上受力面积.x4(3).3dPpdAgxxdx,dxxx 的矩形面积的矩形面积 代替代替,所以水压力元素为所以水压力元素为dA对应的受力面积对应的受力面积 可用相应可用相应A 那么那么 在在 窄条所受的水窄条所受的水3,9,x ,dxxx 0(3,0)(9,4)xyxdx 9x解解:(1)
31、确定积分变量和积分区间：建立如图所示的确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系，则直线坐标系，则直线 的方程为的方程为 取取 为积分为积分AB2(3),3yx x变量，则变量，则 3,9.x(2)求微元：求微元：且且 窄条窄条3,9x ,3,9,x xdx ,dxxx 上所受的压强为上所受的压强为 窄条窄条 的的,pgx ,dxxx 面积面积 用对应矩形的面积用对应矩形的面积 近似代替近似代替,得到得到A dA242(3)(3),33dAxdxxdx 所以的水压力元素为所以的水压力元素为dxxgxpAdP)3(34 (3)求定积分：每面所受的压力为求定积分：每面所受的压力为 )(65.1)
32、3(3493NdxxgxP 【例例13】*有一半径为有一半径为 得均匀半圆弧，质量为得均匀半圆弧，质量为 求它对求它对 r,m位于圆心处的单位质量质点的引力。位于圆心处的单位质量质点的引力。分析：圆弧对质点的引力可采用元素法，将分析：圆弧对质点的引力可采用元素法，将,d 对应的弧长看成一个质点，由物理学中两点的引力公式，对应的弧长看成一个质点，由物理学中两点的引力公式，得引力元素得引力元素 221.dmkmdFkdrr 解解:(1)确定积分变量和积分区间：确定积分变量和积分区间：建立如图的坐标系建立如图的坐标系.(2)求微元：对求微元：对 且且 0,0,d 0,.设线密度为设线密度为 取取 为
33、积分变量，则为积分变量，则,将将 对应的弧长质量看成一个质点，则对应的弧长质量看成一个质点，则,d,d 对应的弧长质量为对应的弧长质量为,mmdmrdrddr 所以它对单位质点的引力元素为所以它对单位质点的引力元素为 drkmrdmkdF221 由对称性知由对称性知 所以有所以有0,xF drkmdFysin2(3)求定积分：把对位于圆心处的单位质量质点的引力求定积分：把对位于圆心处的单位质量质点的引力表示成定积分计算得表示成定积分计算得2022sinrkmdrkmFy 故圆弧对质点的引力为故圆弧对质点的引力为 方向从圆心指向半圆弧的中方向从圆心指向半圆弧的中点，即点，即 轴方向轴方向.22,kmr y
