1、 1数列的概念数列的概念收敛数列的性质收敛数列的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 数列极限的概念数列极限的概念概念的引入概念的引入第二节第二节 数列的极限数列的极限第一章第一章 函数与极限函数与极限 一、概念的引入一、概念的引入 极限概念是从常量到变量极限概念是从常量到变量,从有限到无限从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长极限的思想源远流长.庄子庄子(约公元前约公元前355275年年)在在天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第
2、二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永远也取不完这样永远也取不完.数列的极限数列的极限 中写道中写道:刘徽刘徽(三世纪三世纪)的的“割圆术割圆术”中说中说:意思是意思是:设给定半径为设给定半径为1尺的圆尺的圆,从圆内接正从圆内接正6边边形开始形开始,每次把边数加倍每次把边数加倍,屡次用勾股定理屡次用勾股定理.求出求出正正12边形、边形、等等正多边形的边长等等正多边形的边长,正正24边形边形.边数越多边数越多,圆内接正多边形越与圆接近圆内接正多边形越与圆接近,最后与最后与圆周重合圆周重合,则正多边形周长与圆周长就没有误则正多边形周长与圆周
3、长就没有误差了差了.数列的极限数列的极限 “割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至不以至不可割可割,则与圆周合体则与圆周合体,而无所失矣而无所失矣.”r设有半径为设有半径为 r 的圆的圆,nA逼近圆面积逼近圆面积 S.n如图所示如图所示,可知可知nAnnnrcossin2),5,4,3(n当当 n 无限增大时无限增大时,nA无限逼近无限逼近 S（刘徽割圆术）。（刘徽割圆术）。用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积引例引例.如如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n定义定义 按照自然数的顺序排列的一列数按照自然数的顺序排列的一列数,21nxxx简记
4、为简记为的的称为数列称为数列其中其中nnxx通项通项(generalterm),或者或者一般项一般项.,nx数列的极限数列的极限二、数列二、数列(sequence of number)的概念的概念 可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn 数列的数列的(两种两种)几何表示法几何表示法:数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数 n的函数的函数:)(nfxn 整标函数整标函数或或下标函数下标函数(1)数列对应着数列对应着数轴上一个点列数轴上一个点列.数列
5、的极限数列的极限(2)在平面上在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注注 不可将这串点连成曲线不可将这串点连成曲线.onxn 1 2 3 4则数列的几何意义是则数列的几何意义是数列的极限数列的极限平面上平面上一串分离一串分离的点的点.三、数列极限的概念.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnn即即,511,411,311,211,11 56,43,34,21,2问题问题当当 无限增大无限增大时时,是否是否无限接近无限接近于某一于某一确定的数值确定的数值?nxn如果是如果是,当当n无限增大无限增大时时,nx无限接近无限接近于于1.数列的极限数
6、列的极限如何确定如何确定?例如例如3,2,1,)1(3,2,1,23,2,1,23,2,1,13,2,1,)1(3,2,1,211 nxnnxnxnnnxnnxnxnnnnnnnnn0012 共同性质共同性质的的变变化化。（因因变变量量）的的变变化化，引引起起了了函函数数值值随随着着自自变变量量nxn无限接近。无限接近。与某个实数与某个实数相应的函数值相应的函数值无限增大，无限增大，的的随着随着axnn（要多近有多近）（要多近有多近）2,1,0,0、无此性质无此性质有一个变化的总趋势有一个变化的总趋势无限增大，无限增大，的的随着随着nxn 如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它.1 nx1)
7、1)1(1(1 nn1 nx可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,则要看则要看1 nx“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?|.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当研究数列研究数列 nnnn1 只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.数列的极限数列的极限当当n无限增大无限增大时时,无限接近无限接近于于1.nx,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn
8、.1成立成立有有 nxnxn1|1|数列的极限数列的极限 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在正整数总存在正整数N,使得对于使得对于 时的一切时的一切Nn ,nx不等式不等式 axn成立成立.收敛收敛于于a(converge to a).nx或称数列或称数列 记为记为,limaxnn 或或).(naxn那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的的极限极限(limit),如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列就说数列发散发散(diverge).数列的极限数列的极限,有有关关与与给给定定的的 N注注xn有没有极限有没有极限,一般地说一般
9、地说,是是任任意意给给定定的的正正数数 但是一旦给出之后但是一旦给出之后,它就是确定了它就是确定了;主要看主要看“后面后面”的无穷多项的无穷多项.axn有有,时时当当Nn ,0 ,0 NN 定义定义 采用采用逻辑符号逻辑符号将将axnn lim的定义可缩写为的定义可缩写为:数列的极限数列的极限(1)(2)(3)(4)“前面前面”的有限项不起作用的有限项不起作用,;的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn ;,将越大将越大越小越小 N x1x2x2 Nx1 Nx3x数列极限的几何意义数列极限的几何意义 2 a aa,时时当当Nn 数列极限的定义通常是用来进行推理数列极限的定义
10、通常是用来进行推理注注需要预先知道极限值是多少需要预先知道极限值是多少.和证明极限和证明极限,而不是用来求极限而不是用来求极限,因为这里因为这里.)(落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个N数列的极限数列的极限 axan)(Nn ),(aUxn axn即即)(Nn ,),(内内都落在都落在所有的点所有的点 aaxn 例例1.1.已知已知,)1(nnxnn 证明数列证明数列nx的极限为的极限为1.证证:1nx1)1(nnnn1,0欲使欲使,1nx即即,1n只要只要1n因此因此,取取,1N则当则当Nn 时时,就有就有1)1(nnn故故1)1(limlim nnxnnnn01lim
11、021lim nnnn同理可证同理可证 例例2.2.设设,1q证明等比数列证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq,)1,0(欲使欲使,0nx只要只要,1nq即即,lnln)1(qn亦即亦即因此因此,取取ln1lnNq,则当则当 n N 时时,就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的极限为的极限为 0.1nqCCn lim证明证明)0(q 例例.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.数列的极限
12、数列的极限 例例证明数列证明数列 以以 0为为极限极限.）、321(2cos1 nnnxn,0 证证要使要使02cos10 nnxn由于由于02cos1 nn,1 n只要只要,1 n或或,1 N取取,时时则当则当Nn 有有.02cos1 nn02cos1lim nnn即即 为了简化解不等式的运算为了简化解不等式的运算,常常常把常把 作适当地放大作适当地放大.axn.2cos1 nnn1 数列的极限数列的极限用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.,0 1.有界性有界性如如,1 nnxn数列数列nnx2 数列数列
13、有界有界;无界无界.定义定义,nx对数列对数列若存在正数若存在正数M,|,nxM 成成立立数数n,恒有恒有称为无界称为无界.则称数列则称数列 有界有界;nx 数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点 都落在都落在nx,MM 闭区间闭区间 上上.否则否则,使得一切自然使得一切自然数列的极限数列的极限四、四、收敛数列的性质收敛数列的性质 定理定理1 1证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11 axan即有即有,max,n则则对对一一切切自自然然数数 .有有界界故故nx有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件,推论推论注
14、注收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界.数列的极限数列的极限无界数列必定发散无界数列必定发散.不是充分条件不是充分条件.,1 a1 a M记记,|,|1x|,|2x|,|Nx,Mxn 皆有皆有 2.唯一性唯一性定理定理2 2证证,limaxnn 设设由定义由定义,;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn|baaxbxnn .2 时时仅当仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.每个每个收敛收敛的数列只有一个极限的数列只有一个极限.)()(axbxnn ,limbxnn 又又数列的极限数列的极限才能成立才能成立.,021
15、NN 使得使得 例例.)1(1是发散的是发散的数列数列证明证明 nnx证证,21 取取,0 N则则,时时即当即当Nn 区间长度为区间长度为1.,1,1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内.,是有界的是有界的nx数列的极限数列的极限21 a21 aa,时时当当Nn ,21成立成立有有 axn 反证法反证法假设数列假设数列nx收敛收敛，则有唯一极限则有唯一极限a 存在存在.),21,21(aaxn但却发散但却发散.数列的极限数列的极限3.保号性保号性定理定理3 3 如果如果,limaxnn 且且0 a,0 N则则,Nn 当当0
16、 nx有有),0(a).0(nx证证0 a由定义由定义,02 a,时时当当Nn 对对,0 N,2aaxn 有有 从而从而 nx2aa 2a.0 推论推论 如果数列如果数列 nx从某项起有从某项起有0 nx),0(nx且且,limaxnn 那么那么0 a).0(a用反证法用反证法 在数列在数列 中依次任意抽出中依次任意抽出无穷无穷多项多项:nx,21knnnxxx所构成的新数列所构成的新数列)(21 knnn其下标其下标knx这里这里 是原数列中的第是原数列中的第 项项,kn在子数列中是在子数列中是第第k项项,k4.收敛数列与其子数列收敛数列与其子数列(subsequence)间的关系间的关系k
17、nx的的nx子数列子数列.叫做数列叫做数列数列的极限数列的极限kn *,axkn证证knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列.若若,limaxnn 则则,0 ,N,Nn 当当 axn成立成立.现取正整数现取正整数 K,使使,N 于是当于是当 k时时,有有 knN 从而有从而有由此证明由此证明 .limaxknk *NNx定理定理4 4设数列设数列数列的极限数列的极限,0 正整数正整数 K,axknKnKKnKnxKnKk 收敛数列的任一子数列收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛于同一极限.由此定理可知由此定理可知,但若已知一个子数列发散但若已知一个子数列发散,或有两个子数列或有两个子数
18、列敛于敛于a.nx12 kx2kx收敛于不同的极限值收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.数列的极限数列的极限一般不能断定原数列的收敛性一般不能断定原数列的收敛性;还可以证明还可以证明:数列数列的奇子数列的奇子数列和偶子数列和偶子数列均收敛于同一常数均收敛于同一常数a 时时,则数列则数列nx也收也收仅从某一个子数列的收敛仅从某一个子数列的收敛(证明留给做作业证明留给做作业)例例 试证数列试证数列 不收敛不收敛.ncos证证 因为因为 的奇子数列的奇子数列 ncos不收敛不收敛.收敛于收敛于而偶子数列而偶子数列 ,1,1,1 ncos所以数列所以数列数列的极限数列的极限
19、收敛于收敛于,1,1,1,1,1 内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及应定义及应用用2.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性;有界性有界性;保号性保号性;3.子数列子数列 数列的极限数列的极限思考题思考题 31 axn,0 ,0 N“”恒有恒有是数列是数列nx收敛于收敛于a的的().A.充分但非必要条件充分但非必要条件B.必要但非充分条件必要但非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件(1)C(2).(lim,lim2 nnnnaKa则则若若KA.KB 2.2.KCD.不确定不确定A,时时当当Nn 思考与练习思考与练习1.如何判断极
20、限不存在如何判断极限不存在?.,0lim.2bxNnNbaxnnn 时时，当，当，则存在，则存在设设.lim.3baaxbxnnn ，则，则且且设设是自然数是自然数其中其中，则，则设设maxaxmnnnn,limlim.4？敛散性如何敛散性如何则则收敛（发散）收敛（发散）收敛（发散），收敛（发散），设设.5nnnnyxyx 方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.刘徽刘徽(约约225 295225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的他撰写的重重 差差对对九章算术九章算术中的方法和公式作了全面的评中的方法和公式作了全面的评 注
21、注,指出并纠正了其中的错误指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献理论上作出了杰出的贡献.他的他的“割圆术割圆术”求圆周率求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要的重要极限思想极限思想.的方法的方法:柯西柯西(1789 1857)(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的分析教程分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠基人之一他是经典分析的奠基人之一,他为微他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,
