1、高等院校非数学类本科数学课程 .相关变化率一、在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如，都是时间 t 的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出其他变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.例1解解 .cm/0.01 ,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板?,cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为 ,则面积为设圆板的半径为yx(1).2xy .cm/0.01dd ,秒且的函数都是显然txtyx?dd ,cm 200 tyx时现要求 ,(1)得求导式两边关于将t ,dd 2dd
2、txxty ,200 圆板面积的增加率为时故在x .)(cm/401.0200 2dd秒ty例2解解 8 ,8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为 5 ,/m 4 .3米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水?升的速度 .,米水深为分钟后设注水ht ,米水面的直径也是此时h.12231 32hhhV容器内水的体积为 ,.412 ,4 ,3得求导对此式两边关于故有此外tthtV .16dd2hth ,5 其表面上升的速度为米时故当水深h .)(m/204.02516516dd2分th例3解解 ,设一贴靠在铅直的墙上 5 米的梯子的下端以长度为 .m/3的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子
3、上下两端滑 速度大小相同？yxO m 5txddtydd .引入坐标系如图所示 .(m)(m),yxt上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻 ,且有的函数均为显然tyx (1).5 ,)(m/3dd222yxtx秒xy ,我们的问题是注意到速度的方向性 (2).)(m/3dd秒ty ,5 222得求导两边关于对tyx ,0dd2dd2tyytxx .dd dd txyxty即有 .,3 3 ,)(m/3dd )2(yxyxtx即得秒式及由.225 25 ,5 222yxyx故而 .,225 小相同梯子上下端滑动速度大时即当 yx ,使的值求yxyxO m 5txddtyddxy 我们已经讨论过曲线
4、的凹凸性,知道如判定曲线的弯曲程度.而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工具的设计等等.你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?二、曲率OxyMM)(xfy.)(1Cxfy设 沿曲线运动到点点M相应地切线转时 ,M),(称为转角过角度 .称弧的改变量为 s.,具有方向性与其中s单位弧长上的转角.的平均曲率为MM sksskkssddlimlim00 .)(处的曲率在点称为曲线Mxfy .极限的方法又是平均值 例例4 4解求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率.MM如图所示,在圆上任取一点 M,则R|MMs R
5、故ss0lim即圆上点的曲率处处相同：Rk1半径越小的圆,弯曲得越厉害.RRs1lim0O设曲线方程为,)(xfy,)(二阶可导xf则在曲线上点),(yxM处的曲率为)1(232yyk OxyMM)(xfy 证如图所示,曲线在处切线的斜率为点 Mtan y故y arctanxyyxdd11dd221yy 又xysd1 d2从而)1(dd232yysk xyyd 1d2 例例5 5解.上任意一点处的曲率求直线bxay,0 ,yay0)1(232 yyk.)(Rx直线上任意一点处的曲率均为零.23)()(|)()()()(|22yxxyxyk 则二阶可导若 ,)(,)(,)()(yxyyxx,)(
6、)(ddxyxy322)()()()()(ddxxyxyxy 将它们代入曲率计算公式中即可得：例例6 6解,)0(sin ,cos 上椭圆babyax哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求导法求出:dd dd22xyxy和,sinddax,cosddbycotsincosddababxy)cos(cotdd)(22aabxy32sin1ab )1(232yyk23)cossin(2222baab故,0)cossin(cossin)(3dd 25222222babaabk令得驻点,23 ,2 ,0,ba 因为故在各象限中的符号依次为 ddk+由此可得:取最大值时当k ,0 2maxbak
7、取最小值时当k ,23 ,2 2minabk例例7 7解.0)(0,4 2处的曲率在点求抛物线xy ,2 xy如果用会出现导数的分母为零的情形,的图形与但 4 4 22yxxy相同,相同,故原问题可以转为求曲线的与而 4 4 22xyyx图形形状在 42xy.)0 ,0(处的曲率点,0)41(020 xxxy,21)21(00 xxxy在 42xy 处的曲率为点)0 ,0(21)1(2321 yyk处的曲率为在点故 0)(0,4 2xy.21k在有些实际问题中,1|y若.|yk 则可取现在问你一下:(假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为,51你能想象出它的弯曲程度吗？如果告
8、诉你有一个半径为 5 的圆,你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？由此及前面讲的例题,你有什么想法？MOMO.5 ,51Rk M在点曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率曲率半径1),()(yxMxfy上一点过光滑曲线作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q,使RMQ|),(2)1(123yxMyyk 以 Q 为中心,R 为半径所作的圆称为曲线在点M 处的曲率圆,圆心 Q 称为曲率中心,R 称为曲率半径.)(处的曲率为曲线在点 Mk曲率圆与曲线在点 M 处相切,且在点 M 处两者曲率相同.曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二阶导数.当讨论曲线在点 M 处与
9、一、二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现.曲率圆的性质 )(,)(存在且设曲线方程为xfxfy,0)(0 xf则曲线在点的坐标为中心),(D处的曲率),(00yxM,)1(20yyyx,120yyy.Mxfyyy处的导数在点是与式中 )(曲率中心的坐标证处的在点设曲线),()(00yxMxfy,),(,DR曲率中心为曲率半径为则曲线在点 ),(00处的曲率圆方程为yxM222)()(Ryx.),(,是曲率圆上的点点其中yx23222)1(1yykR 由于,),(00在曲率圆上又点yxM故有2020)()(yx232)1(yy,处的法线上位于曲线在点又MDM其斜率
10、为00 xyk法曲线在点 M 处切线的斜率为,y从而,有00yxy(1)(2)由(1),(2)两式消去得 ,0 x22220)1()(yyy 由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以,是反号的与 yy故对上式两边开方得yyy 201由(2)式,得yyyx)1(20画画图更清楚例例9 9解处的在点求抛物线)1 ,1(2xy 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.,2211xxxy,21 xy处的曲率半径为在点 1)(1,)1(232yyR 21252)21(232,1 ,100yx曲率中心为yyyx)1(2042)21(212yyy 2012722112曲率圆的方程为.)27 ,4(D曲率中心：4125
11、)27()4(22yx库存问题库存问题 假定计划期内货物的总需求为假定计划期内货物的总需求为R,考虑分考虑分n次均匀次均匀进货且不允许缺货的进货模型进货且不允许缺货的进货模型.设计划期为设计划期为T天天,待求的进货次数为待求的进货次数为n,那么每次进那么每次进货的批量为货的批量为q=,进货周期为进货周期为t=,再设每件物品再设每件物品贮存一天的费用为贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为每次进货的费用为c2,在计划期在计划期(T天天)内总费用内总费用E由两部分组成由两部分组成 nRnT(1)进货费进货费 (2)贮存费贮存费 qRcncE221 TcqE122 于是总费用于是总费用E可表示为批量
12、可表示为批量q的函数的函数qTcqRcEEE122121 最优批量最优批量q*应使一元函数应使一元函数E=f(q)达到最小值达到最小值,021dd122 TcqRcqETcRcq122*最优进货次数为最优进货次数为 212*cTRcqRn 最优进货周期最优进货周期 RcTcnTt122*最小总费用最小总费用 TRccTcRcTcRcTcRcE2112121222212*复利问题复利问题例例 设林场的林木价值是时间设林场的林木价值是时间t的增函数的增函数V=,又设又设在树木生长期间保养费用为零在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的试求最佳伐木出售的时间时间 t2解解 考虑到资金的时间因素
13、考虑到资金的时间因素,晚砍伐所得收益与早晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值而应折成现值 设年利率为设年利率为r,则在时刻则在时刻t伐木所得收益伐木所得收益V(t)=的现值的现值,按连续复利计算应为按连续复利计算应为t2-rte2e)()(trttVtA)22ln)(e22eln22)(rttArttArttrtt2)22ln(,0)(rttA 得得驻驻点点令令)22ln)()22ln)()22ln)()(rttArttArttAtA0)(tA.,)22ln(2将将树树木木砍砍伐伐出出售售最最有有利利时时当当rt -rte2e)()(trttVtA作
14、业P175 1,7削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知,椭圆在)0,(aoyx处曲率最大,即曲率半径最小,且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然,砂轮半径不超过ab2时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.ab练习.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,x4.18.1解解:设观察者与墙的距离为 x m,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最练习练习 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于
