1、(最新整理)高等数学极限的运算法则与性质12021/7/26上页下页铃结束返回首页2主要内容：主要内容：一、一、极限的运算法则极限的运算法则 二、二、极限的性质极限的性质第一章第一章 函数与极限函数与极限 第三节第三节 极限的运算法则与性质极限的运算法则与性质上页下页铃结束返回首页3一、极限运算法则定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设上页下页铃结束返回首页4推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常
2、数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2上页下页铃结束返回首页5二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim)1(lim2232 xxxxx.37 3123 上页下页铃结束返回首页6小结小结:则则有有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 11
3、0)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf.,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ上页下页铃结束返回首页7解解例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.后后再再求求极极限限先先约约去去零零因因子子1 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消
4、去零因子法)上页下页铃结束返回首页8例例3 3.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,再再求求极极限限去去除除分分子子分分母母先先用用3x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 上页下页铃结束返回首页9小结小结:为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当上页下页铃结束返回首页10例例4 4).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无限限多多个个无无穷穷小小之之和和时时,n
5、222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.上页下页铃结束返回首页11例例5 5).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx ,1)1(lim)(lim200 xxfxx,1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故上页下页铃结束返回首页12.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(00000AufxfxxxfAu
6、faxxaxaxxxuauxxauxx 时的极限也存在，且时的极限也存在，且当当则复合函数则复合函数，又，又的某去心邻域内的某去心邻域内但在点但在点，即，即时的极限存在且等于时的极限存在且等于当当运算法则）设函数运算法则）设函数定理（复合函数的极限定理（复合函数的极限)(lim0 xfxx)(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意义：意义：上页下页铃结束返回首页13例例6 6.sinlnlim2xx 求求解解故原式故原式0 xusin 令令1sinlim2因因为为xx ulnlim1u 1ln上页下页铃结束返回首页14求极限类型小结1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算
7、法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极多项式与分式函数代入法求极限限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.同除最大者法求极限同除最大者法求极限;d.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.e.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则上页下页铃结束返回首页15三、极限的性质-P361.函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性2.函数极限的唯一性函数极限的唯一性.)(0 ,00 ,)(lim00MxfxxMAxfxx有有时，时，使得当使得当和和那么存在常数那么存在常数如果如果上页下页铃
8、结束返回首页163.函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性).0)(0)(0 ,0),0(0,)(lim 00 xfxfxxAAAxfxx或或时，有时，有使得当使得当存在常数存在常数那么那么或或且且如果如果上页下页铃结束返回首页17思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 问题讨论上页下页铃结束返回首页18思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf)(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgx
9、fxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误上页下页铃结束返回首页19内容小结内容小结一、极限的运算法则一、极限的运算法则 1、极限的四则运算法则；、极限的四则运算法则；2、复合函数的极限运算法则。、复合函数的极限运算法则。二、极限的性质二、极限的性质 1、唯一性；、唯一性；2、局部有界性；、局部有界性；3、局部保号性。、局部保号性。上页下页铃结束返回首页20。和和求求、设设)1()1(,)(1 ffxxf习题演练习题演练时时的的极极限限是是否否存存在在。并并说说明明它它们们在在时时的的左左右右极极限限，当当、求求函函数数00)(,)(2 xxxxxgxxxf上页下页铃结束返回首页21、求下列极限：、求下列极限：3;122lim)1(221 xxxx;112lim)2(221 xxxx;21lim)3(22xxxx ;1lim)4(42 xxxxx;)(lim)5(220hxhxh .11321211lim)6(nnn上页下页铃结束返回首页22、计算下列极限：、计算下列极限：4;1lim)1(0 xexx;arcsinlim)2(221xx;lim)3(21nne ;coslnlim)4(4xx;131lim)5(1 xxxx.lim)6(axaxax 上页下页铃结束返回首页23课后练习P49.1、2、5.上页下页铃结束返回首页24
