1、高等数学下（高等数学下（B）复习课）复习课2019-5-18第一部分第一部分 多元函数微分多元函数微分学学考点概览：1、二元函数（定义域、函数关系）2、二元函数偏导数 3、二元函数的全微分求法 4、二元函数的二阶偏导数 5、二元函数的全微分 6、多元复合函数的求导法则 7、隐函数的偏导数和全微分 8、几个重要关系 9、二元函数极值1),0.,(,)|0,0zA AzxyxyDx yxyxy如，且22222)ln,0.ln(16),(,)|16zA AzxyDx yxy如，222222113),0.,ln(4)40ln(4)0zAzAxyxyxy如，须且，2222(,)|4,3即且Dx yxyx
2、y1(,)zf x y、二元函数（1 1）定义域）定义域23(,)|01,01(,),(,)zf x yDx yxyf xy设则的定义域的定义域为为什么？例例1 1：（2）函数关系）函数关系33(,)2,(,).f x yxyfxy设求例例2 2：解：直接代入法解：直接代入法33(,)()2()fxyxy 332xy（2）函数关系）函数关系22(,),(,).f xy xyxyf x y设求例例3 3：解：解：22(,)f xy xyxy()()xy xy,uxy vxy令，(,)f u vuv则，(,).f x yxy所以 解解练习练习1：22,(,)(,)_.ffxxxyy xyy则则已已
3、知知 22(,)()2,(,)2f xy xyxyxyf u vuv则则 2(,)2.f x yxy从从而而 7（2）函数关系）函数关系22(,)3,(,).f xy xyxyf x y设求练习练习2 2：解：换元法解：换元法xyuxyv令2222(,)322uvvuf u vuuvv22uvxvuy22(,)f x yxxyy82、二元函数的偏导数二元函数的偏导数000000000(,)000000(,)(,)(,)zlim(,),(,),(,).xxyxxxxyf xx yf xyxxffxyzxyzxyx 也也记记作作，000000000(,)000000(,)(,)(,)zlim(,)
4、,(,),(,),.xxyyyyxyf xyyf xyyyffxyzxyzxyy 也也记记作作3、二元函数的偏导数的求法二元函数的偏导数的求法(,),(,)zzf x yzf x yyxx 对对求求时时，将将中中的的变变量量 看看成成常常数数，而而对对自自变变量量 求求导导。0000(,)(,)xx xfxyfx y0000,(,)(,)yyyzfxyfxyy同同理理对对附：一元函数的求导公式（须熟记）：附：一元函数的求导公式（须熟记）：小结：小结：函数表达式比较复杂，求具体点的偏导数，函数表达式比较复杂，求具体点的偏导数，化成一元函数的求导化成一元函数的求导.例例(1,0)ln(),(1,0
5、).yyzzxfxx设设求求(1,0)0,zyx解解：为为求求，先先令令ln(0)lnzxx1(1,0)11(ln)1.xxzxxx(1,0)1,yfx同同理理，为为求求，先先令令ln(1)zy001(1,0)(ln(1)1.1yyyfyy例例例例求偏导函数求偏导函数(,)sin,().求或写为xyyf x yxeyfflnsin(),.zzxyx求4、二元函数的二阶偏导数二元函数的二阶偏导数,zzx yxy 对对,继继续续关关于于求求偏偏导导221(,)xxzzxfx yxx（）22(,)xyzzxfx yx yy（）23(,)yxzyzfx yy xx（）224(,)yyzyzfx yyy
6、（）235221),zzx yx yx求；2222222)ln,.zzzxyxy求例例5、二元函数的全微分二元函数的全微分(,)zzzf x ydzdxdyxy的的全全微微分分为为：00000000(,)(,)(,)(,)xyxyxyzzzf xydzdxdyxy的的全全微微分分为为：例例22ln(),.zxy设设求求d dz zxydzz dxz dy解解：222222.xydxdyxyxy例例arctan,.xzy设设求求dzdzxydzz dxz dy解解：222222.yxdxdyxyxyydxxdyxy6、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则回忆：一元复合函数的求导法则回忆：
7、一元复合函数的求导法则链式法则链式法则uxzxuxuxzzufu推广推广?()zf u x fuvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uvxuxvxyuyvyzfufvzfufv简写：),(),(yxyxfz 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 例例,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求解解例例(25,),.xyxyzfxy ezz求、2xyxuxvxuvzfufvfyef,5.
8、xyyuyvyuvzfufvfxefuv练习：练习：22(,),.zx xydz求(),.xyzg xyzz设求、练习：练习：(),().xyzyg xyzxg xy答案：答案：(2)(2).xyuvvdzz dxz dyxdxydy答案：答案：7、隐函数的偏导数和全微分、隐函数的偏导数和全微分(,)0(,),zzF x y zzz x yxy由由确确定定了了，求求公公式式法法（优优先先掌掌握握）、直直接接求求导导法法-(,),.zxyyzzxezz x ydz设方程确定函数求 解：解：(,)zF x y zxyyzzxe,zxyzFyz Fzx Fxye ,xxzzFyzzFexy .yyz
9、zFzxzFexy 例例.yzzxyzzxdxdyexyexdzz dxz dyy8、几个重要关系、几个重要关系偏导数存在偏导数存在9、二元函数极值、二元函数极值00(,)0,xfxy驻驻点点：.0),(00 yxfy),(),(00yxyxfz在在点点设设函函数数 的某邻域内连续的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数有一阶及二阶连续偏导数,0),(00 yxfx又又,0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy,),(00Byxfxy),(),(00yxyxf在在点点则则处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下:(1)时时02 BAC有极值有极值,时时
10、当当0 A有极大值有极大值,时时当当0 A有极小值有极小值;(2)时时02 BAC没有极值没有极值;(3)时时02 BAC可能有极值可能有极值,也可能无极值也可能无极值.求函数求函数 极值的一般步骤极值的一般步骤:),(yxfz 第一步第一步解方程组解方程组 0),(0),(yxfyxfyx求出实数解求出实数解,得驻点得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符号的符号,再判定是否是极值再判定是否是极值.例例 求函数求函数xyyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxf
11、x .33),(2xyyxfy 求解方程组：求解方程组：.033,03322xyyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 ,1(),0 ,0(,6),(xyxfxx,3),(yxfxy.6),(yyxfyy,)0 ,0(处处在在,0)0,0(xxfA,3)0,0(xyfB.0)0,0(yyfC92 BAC.0 因此，驻点因此，驻点.)0 ,0(不是极值点不是极值点,6),(xyxfxx,3),(yxfxy.6),(yyxfyy,)0 ,0(处处在在,0)0,0(xxfA,3)0,0(xyfB.0)0,0(yyfC92 BAC.0 因此，驻点因此，驻点.)0 ,0(不是极值点不是极值点,)1 ,
12、1(处处在在,06)1,1(xxfA,3)1,1(xyfB.6)1,1(yyfC22)3(66 BAC.027 因此，驻点因此，驻点.)1 ,1(是是极极小小值值点点.111311)1,1(33 f极极小小值值第二部分第二部分 二重积分二重积分考点概览：1、二重积分的概念几何意义 2、二重积分的简单性质 3、二重积分的定限 4、直角坐标系下交换积分次序 5、在直角坐标系下计算二重积分 6、在极坐标系下计算二重积分),(yxfz 曲顶柱体体积曲顶柱体体积=引例曲顶柱体的体积引例曲顶柱体的体积D曲顶柱体曲顶柱体0),(yxf),(yxfz 以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线
13、为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以顶是曲面顶是曲面且在且在D上连续上连续).oyxz1 1、二重积分的概念及几何意义、二重积分的概念及几何意义二重积分的几何意义二重积分的几何意义性质性质 线性线性(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)2.二重积分的性质二重积分的性质性质性质2对积分区域的可加性质对积分区域的可加性质.性质性质3 若若 为为D的面积的面积 D d1 D d 例：设例：设D由直线由直线,21yx yxx 及及所所围围成成，则则2(Ddxdy ）解：解：22*DdxdyD 的的面面积积1121 21 1122 练习：练
14、习：P4 四、四、2设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数.Dyxf d),(oxyD1性质性质4 4）即即),(),(yxfyxf 则则D1为为D在第在第 一象一象限中的部分限中的部分,1d),(2Dyxf 坐标坐标y为奇函数为奇函数0d),(Dyxf),(),(yxfyxf 即即则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于 Dyxf d),(如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为奇函数为奇函数0d),(Dyxf oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x则则,),
15、(),(）即即yxfyxf 为偶为偶函数函数,),(),(）即即yxfyxf 则则类似地类似地,设设区域区域D关于关于y轴对称轴对称,且且D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,1d),(2Dyxf 设设D为圆域为圆域(如图如图)d2Dy d212 Dy d3Dy0 d2Dx d222 Dx d3Dx0D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域yxOyxO 练习：练习：P4 四、四、3，4 Dyxf d),(性质性质5(5(比较性质比较性质),(),(yxgyxf 设设,),(Dyx 则则 Dyxg d),(C22ln()dDIxy 例：比较例：比较1ln()dDIxy 与与:3
16、5,01,Dxy其其中中的大小的大小,则则()12().A II 12().B II 12().C II 12()2.D II 21().xyxy ,),(Dyx,1 yx20ln()ln().xyxy212ln()dln()dDDIxyIxy 练习：练习：P5 四、四、6，7(1)积分区域积分区域为：为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x)(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在区间在区间 上连续上连续.3.利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分xOyxOy)(1xy )(2xy Dbaxbad )d),()()(21 xxyyxf 先对先
17、对y后对后对x的二次积分的二次积分称为称为累次积分累次积分.Dyxf d),(baxxyyxfx)()(21d),(d (2)积分区域积分区域为：为：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y)(2y,dc在区间在区间 上连续上连续.xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),(xyxf)(1y)(2y 练习：熟练掌握练习册上相应习题练习：熟练掌握练习册上相应习题在直角坐标系下计算二重积分（在直角坐标
18、系下计算二重积分（1个解答题）个解答题）注：注：221=().是由直线、及双曲线所围成的区域,计算DDxyxxyIxy d4.交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤 (1)将已给的二次积分的积分限得出相将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图并画出草图;21()()d(,)dbxaxxf x yy dcyyxyxfy)()(21d),(d 例例 交换积分次序：交换积分次序：解解880d(,)dxxf x yy 原式原式=80dy y(,)df x yx 0:08,8XDxxy积积分分区区
19、域域，型型区区域域D画画 的的草草图图Y:08,0Dyxy 把把 换换成成 型型区区域域，练练例例4、利用极坐标系计算二重积分、利用极坐标系计算二重积分 Dyxf d),(Df dd)sin,cos(dd极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素53（1）极坐标系下的积分定限）极坐标系下的积分定限22222R4R,_.是圆域则化成二次积分应为DDxyx d2222R,_.是圆域则化成二次积分应为DDxyy d22222R,()_.是圆域则化成二次积分应为DDxyxy d22222R,()_.是圆域则化成二次积分应为DDxyxxyd（2）极坐标系下计算二重积分）极坐标系下计算二重积分22224si
20、n().例：设:1，求DDxyxyd22224cos().练习：设:1，求DDxyxyd例例第三部分第三部分 微分方程微分方程考点概览：考点概览：1、微分方程的基本概念、微分方程的基本概念 阶数（判断题）；会判断三种一阶方程的类型（判断阶数（判断题）；会判断三种一阶方程的类型（判断题，选择题）题，选择题）2、求简单微分方程的通解、特解或积分曲线、求简单微分方程的通解、特解或积分曲线（选择、填空题）（选择、填空题）3、会求解可分离变量方程和一阶线性方程、会求解可分离变量方程和一阶线性方程 （2个解答题：个解答题：2个可分离变量方程或个可分离变量方程或1个可分离变量个可分离变量方程方程1个一阶线性
21、方程）个一阶线性方程）1、微分方程的基本概念、微分方程的基本概念如如xyy 0dd)(2 xxtxtxeyyy 32未知函数是一元函数的方程为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数方程中所出现的导数(或微分或微分)的最高阶数称的最高阶数称微分方程微分方程:常微分方程常微分方程(ODE);(ODE);微分方程的阶微分方程的阶.一阶一阶一阶一阶二阶二阶4203yyyxy微分方程是 阶微分方程.代入微分方程能使方程成为恒等式的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数微分方程的解微分方程的解:Cxy 2.12 xy,2ddxxy 微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1)通解通解 微分方程的解中
22、含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意且任意常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解特解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.如方程如方程Cxy 2.12 xy,2ddxxy 通解通解特解特解通常通常 用来确定任意常数的条件为：用来确定任意常数的条件为：初值条件初值条件0000|()xxyyy xy 或或2(1,0)3x经过点且切线斜率为的曲线方程为.解的图象解的图象通解的图象通解的图象微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.积分曲线族积分曲线族.是过定点的积分曲线是过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶几何意义几何意义例
23、例2、一阶微分方程、一阶微分方程0),(yyxF(,)yf x y 或或(,)(0)(,)dyP x yQdxQ x y (,)(0)(,)dxQ x yPdyP x y (,)(,)0P x y dxQ x y dy考点：辨别三类一阶微分方程xxyyd)(d)(可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或如果可以写成如下形式如果可以写成如下形式或或（1）可分离变量方程xydxdy2 22()0 xxydxyx y dy)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式,0)(xQ当当上面方程称为上面
24、方程称为上面方程称为上面方程称为,0)(xQ当当如如2d,dyyxxdsin,dyyxxt线性的线性的;齐次齐次的的;非齐次非齐次的的.一阶一阶（2）一阶线性微分方程）一阶线性微分方程非线性的非线性的;（3）齐次方程）齐次方程如果一阶微分方程可以写成如下形式如果一阶微分方程可以写成如下形式 xygxydd齐次方程齐次方程.则称之为则称之为22ddyxyxxy 如如,21 xyxy微分方程微分方程2211xxdxdyyy是变量可分离微分方程是变量可分离微分方程.【答案：正确答案：正确】3、三类一阶微分方程的解法、三类一阶微分方程的解法1lnln0|_方程满足初始条件的特解是xeyxdxxydyyesin0求适合时的特解.yyxxyx1求的通解.xdydxe dxx(,)().yyf x ygxyux(3)齐次方程的解法：对齐次方程：，作代换可以将它化为可分离变量方程解微分方程：解微分方程：
