1、南化中学南化中学 卢红玉卢红玉问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.437.4m m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你
2、发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径
3、）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点两侧的两个半圆重合，点A与与 点点B重合重合，AC 与与 BC 重合重合,BC 与与 BD 重合。重合。AM=BM,AB是是 O的一条弦的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.作作直径直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.O右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:ABCDM由
4、由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BCAD=BD垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。垂径定理三种语言定理定理 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦弦,并且平分弦所并且平分弦所 对的两条对的两条弧弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.CDAB,AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的与同伴说说你的想法和理由想法和理由.过点过点M作直径作直径CD.O右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如
5、果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:CD由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得AC=BCAD=BD MAB推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD.AC=BC,CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得M垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧。的两条弧。推论推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并
6、且平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC
7、与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高例例2：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB222AOOEA
8、E2222=3+4=5cmAOOEAE答：答：O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB 在在Rt AOE 中中 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB，AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧
9、两条弦在圆心的两侧例例O O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ .2cm或或14cm某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过，过O 作作OC AB 于于D，交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO说出你这节课的收获和体验，让大家说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！与你一起分享！结束寄语结束寄语不学自知不学自知,不问自晓不问自晓,古今古今行事行事,未之有也未之有也.下课了!
