1、一、高等几何的内容一、高等几何的内容高等几何数学与应用数学专业主干课程之一前三高数学分析高等代数高等几何后三高实变函数近世代数点集拓扑高等几何射影几何几何基础本课程主要介绍平面射影几何知识(教材前五章)综合大学：空间解几仿射几何、射影几何,一个学期hxjj jzk cjujzczzzzzcz一、高等几何的内容一、高等几何的内容什么是射影几何？直观描述欧氏几何仿射几何射影几何十九世纪名言一切几何学都是射影几何鸟瞰下列几何学研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数保持不变的性质和数量量搬动正交变换对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果欧氏几何研究图形的正交变换不变性的科学(统称不变性不变性，如距
2、离、角度、面积、体积等)平行射影仿射变换仿射几何研究图形的仿射变换不变性的科学透视仿射变换有限次平行射影的结果仿射不变性比如平行性、两平行线段的比等等中心射影射影变换射影几何研究图形的射影变换不变性的科学透视变换有限次中心射影的结果射影不变性比如几条直线共点、几个点共线等等射影变换将彻底改变我们原有的几何射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！空间观念！一、高等几何的内容一、高等几何的内容二、高等几何的方法二、高等几何的方法综合法给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容解析法形、数结合，利用代数、分析的方法研究问题本课程以解析法为主，兼用综合法一、高等几何的内容一
3、、高等几何的内容二、高等几何的方法二、高等几何的方法三、开课目的三、开课目的 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他学科，提高观点，加深理解，举一反三四、几何的发展历史线索四、几何的发展历史线索射影几何学是一切的几何学射影几何学是一切的几何学 英英 CayleyCayley经验几何经验几何（远古（远古元前元前600600年）年）论证几何论证几何（欧氏几何）（欧氏几何）演绎化演绎化（元前（元前600600年年 400400年）年）积累了丰富的积累了丰富的经
4、验，但未上经验，但未上升成系统理论升成系统理论埃及几何跟希腊逻辑埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点化、逻辑化为特点非欧几何非欧几何第第公设研究公设研究几何基础（公理几何基础（公理几何）几何）对古典公理体系的完善对古典公理体系的完善解析几何解析几何射影几何射影几何微分几何微分几何研究方法改变研究方法改变拓扑学拓扑学哥德堡七桥问题哥德堡七桥问题画法几何画法几何解析几何解析几何(17(17世纪世纪)仿射几何仿射几何（坐标法）（坐标法）代数几何代数几何代数法代数法代数曲线代数曲线代数曲面代数曲面代数族代数族域上多胞形域上多胞形微分几何微分几何(19(19世纪世纪)（
5、分析方法）（分析方法）张量分析张量分析微分流形、黎曼流形、复流形微分流形、黎曼流形、复流形大范围微分几何大范围微分几何射影几何射影几何(19(19世纪世纪)（综合法、爱尔（综合法、爱尔兰根纲领代数法）兰根纲领代数法）特例特例应用应用四、几何的发展历史线索四、几何的发展历史线索非欧几何非欧几何罗氏几何罗氏几何黎曼几何黎曼几何（1919世纪）世纪）四、几何的发展历史线索四、几何的发展历史线索拓扑学拓扑学（几何与代数、（几何与代数、分析相结合，分析相结合，多样化发展）多样化发展）点集拓扑点集拓扑代数拓扑代数拓扑解析拓扑解析拓扑分形几何分形几何微分拓扑微分拓扑微分流形微分流形纤维丛纤维丛 周学时周学时
6、3，一个学期，学习第一章第六章，一个学期，学习第一章第六章五、五、主要参考书：主要参考书：梅向明、门淑惠等编梅向明、门淑惠等编高等几何高等几何,高等教育出版社出版，高等教育出版社出版，20082008年年;朱德祥、朱维宗等编朱德祥、朱维宗等编高等几何高等几何（第二版）（第二版）,高等教育出版社出版，高等教育出版社出版，20102010年年;罗崇善编罗崇善编高等几何高等几何,高等教育出版社出版高等教育出版社出版,1999,1999年年6 6月；月；朱德祥、李忠映、徐学钰等编朱德祥、李忠映、徐学钰等编高等几何习题解答高等几何习题解答。本章地位学习射影几何的基础本章内容阐明仿射变换的概念，研究仿射变
7、换的不变量与不变性质。学习注意认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰透视仿射对应一、概念 与b交于,A B C,A B C1、同一平面内两直线a到b间的透视对应，设L为平面上另外一直线,a与 b不平行。过a上的点 作与L平行的直线即得a到b的一个一一映射，称为透视仿射对应。注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交点称为自对应点。第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换两条直线间的透视仿射对应两条直线间的透视仿射对应LaboABCA/B/C/第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换两个平面间的透视仿射对应两个平面间的透视仿射对应M1ABCA1B1C1L第一章
8、、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换2、定义1)设12,P P P为共线三点 P1P2P为共线三点 12,P P P的单比，12,P P叫基点P叫分点。12,PP P P是有向线段12,PP P P 的数量 第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换1122()PPPP PP P称2).符号(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P2P的比值,与解几中的定比分点反号.3）.与定比的区别二性质3保平行性2保单比不变 1保同素性和结合性第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换第二节、第二节、仿射对应与仿射变换仿射对应与仿射变换 一、概念 设同一平面内有n条直线，
9、12,na aa如下图12,n 是 12231,nnaa aaaa到到到的透视仿射对应经过这一串对应，得到1naa到的透视仿射对应，这个对应称为1naa到的仿射对应。记作：121nn 如图所示：如图所示：第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换如图如图第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换二、性质二、性质为什么？第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点的单比不变；（3）保持直线的平行性不变。注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。反之，若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个
10、点对应（变换）称为仿射对应（变换）例、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行四边形例、两平行线段之比经仿射对应不变例、仿射对应保持平形性不变第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换第三节、仿射坐标系、定义笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做仿射坐标系，(,)x y叫点P的仿射坐标记为(,)P x y的仿射坐标为、设共线三点123,P P P112233(,),(,),(,)x yxyxy则单比为31311233232(,)xxyyp ppxxyy第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换 已知仿射坐标：仿射变换为:T 变换将
11、：且 1212132311211222,;,a,),(,),(,)o e eo e eaaaaa在下的坐标分别为：（12,o e e12,o e e12,o e e第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换 o o/p p/px py px/py/x y y/x/第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换xyOP PxyO P PP12;,O e e 另一方面：所以：13 123 21213 123 211 121 212 122 211121312122232()()()()opooo pa ea exeyea ea ex a ea ey a ea ea xa yaea
12、xa yae111213212223xa xa yaya xa ya第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换12OPxeye 练习：1、求使直线 分别变为 的仿射变换。2、已知仿射变换 求点 的像点，及直线 的像直线。/213xxyyxy 第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换(0,0),(1,1),(1,1)OEP111(2,3),(2,5),(3,7)OEP0,0,210 xyxy 0,0,210 xyxyxy 12(1,0),(1,0)PP 20 xy 正交变换 位似变换22221112131121122211 122122212223,1,0 xa xa ya
13、aaaaa aa aya xa ya1323,0 xkxakykya第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换 相似变换 压缩变换12,1xaxbydybxayd,0 xaxabyby第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换 一、定义：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（量）第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换同素性，结合性，平行性是仿射性质。单比是仿射不变量。证明：设变换为：T:111222111222,:,:/uvxaxAlulvuvybyuvlluvuv 直线即1111122222uvvuvAAAuvvuv第一章、仿射坐标与
14、仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换例 1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直线。第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换2、共点直线仍变为共点直线3、两平行线段之比是仿射不变量。4、两三角形面积之比是仿射不变量（证明见课本）例、求椭圆的面积ABCOD第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换：222221o,xxxyxyaaabyybo AAA BB作变换变为在仿射变换下：20,1122AOBA Bsssabsabssaba椭圆椭椭即第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换 例、设梯形 一仿射变换使 分别变为 求作 的对应点 解：如图：连接 交于 ,在 延长线上
15、取 使 再过 作与 平行的直线 则 与 的交点即为 .ABCDABC111,A B CD1D,AB CDS11BC1S111()()BCSBC S1C11AB11C E11C E11AS1D第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换ABDCSB1A1C1S1E1D1第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换练习：求将点 分别变为 的仿射变换，并求在这个变换下 半径为2的圆的仿射对应图形 的面积(1,1),(3,1),(3,0)OAB第一章、仿射坐标与仿射变换第一章、仿射坐标与仿射变换(0,0),(1,0),(0,1)OAB一、中心射影一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影
16、定义定义1.22:ll 因此，1:l l是 l 到 l 的中心射影OP 投射线P l 上的点P在l上的像P l 上的点P在l上的像OV/l,与l不相交，V为l上的影消点影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应一一对应!X=ll 自对应点OU/l,与l不相交，U为l上的影消点影消点三个特殊点：三个特殊点：()OOll 投射中心一、中心射影一、中心射影2、平面到平面的中心射影定义定义1.23:OP 投射线P 上的点P 在上的像P 上的点P在上的像因此，:1是到的中心射影 自对应直线(不变直线)三条特殊的线：三条特殊的线：x ，u为由影消点影消点构成的影消线影消线/,OUuUu ，
17、v为由影消点影消点构成的影消线影消线/,OVvVv影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对应()OO投射中心一、中心射影一、中心射影1、平面上两直线间的中心射影定义1.22:ll 2、平面到平面的中心射影定义1.23:均不是一一对应中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点如何使得中心射影成为一一对应？给平行线添加交点！给平行线添加交点！一、中心射影一、中心射影二、无穷远元素二、无穷远元素目标：改造空间，使得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定惟一一个点(交点)两个相异点确定惟一一条直线(连线
18、)点与直线的关联关系点与直线的关联关系二、无穷远元素二、无穷远元素 约定约定1.1 (1)在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为无穷远点无穷远点(理想点理想点)，记作P (2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同.区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P 约定约定1.1 (3)按约定(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线无穷远直线(理想直线理想直线)，记作l区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使
19、得中心射影成为一一对应.理解约定理解约定1.1(1),(2)1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点.平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.3、平面上添加的无穷远点个数过一个通常点的直线数.4、不平行的直线上的无穷远点不同.因而，对于通常直线：两直线平 行不平行交于惟一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.理解约定理解约定1.1(3)1、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.2、每一条通常直线与无
20、穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行.因而，对于通常平面：两平面平 行不平行交于惟一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线三、射影平面三、射影平面 定义定义1.24 通常点和无穷远点统称拓广点拓广点；添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线拓广直线(射影仿射直线射影仿射直线)；添加无穷远直线后的平面称为拓广平面拓广平面(射影仿射平面射影仿射平面).定理定理1.16 在拓广平面上,点与直线的关联关系关联关系成立：(1)两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直
21、线；(2)两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.(1)拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展1、拓广直线、拓广直线(射影仿射直线射影仿射直线)(2)拓广直线的拓扑模型(3)射影直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。欧氏直线：一点区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。射影直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。射影直线：两点不能确定直
22、线上的一条线段。点偶A,B分离分离点偶C,D点偶A,B不分离不分离点偶C,D(i)任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线不能不能划分射影平面为两个不同的区域(ii)两条相交直线划分欧氏平面为四个四个不同的区域两条相交直线划分射影平面为两个两个不同的区域在射影平面上，可以证明：I，II为同一区域III，IV为同一区域2、射影平面、射影平面(射影仿射平面射影仿射平面)四、射影直线、射影平面的基本性质及模型四、射影直线、射影平面的基本性质及模型(1)射影平面的封闭性(从两个方面理解)2、射影平面、射影平面(射影仿射平面射影仿射平面)四、射影直线、射影平面的基本性质及模型四、射影直线、射影平面的
23、基本性质及模型射影平面的封闭性一、一、Desargues透视定透视定理理一个古老、美丽、实用的重要定理！1、两个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心透视中心，透视中心也称为Desargues 点点.若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴透视轴，透视轴也称为Desargues 线线.问题存在透视轴？存在透视中心请问你是怎样画出这两个图的？画图过程演示一、一、Desargues透视定理透视定理1、两个三点形的对应关系2、Desargues透视定理定理(Desargues透视定理及其逆).对于两个对应三点形，存在Desargues点存在
24、Desargues线 注1、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的透视的三点形.证明Desargues定理画图过程演示一、一、Desargues透视定透视定理理2、Desargues透视定理 注注2、关于Desargues构图.左图表示了一对透视的三点形ABC,ABC.AABCB CXBBOCA C AYCCABA BZ共点于三点共线 左图中共有10个点、10条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点.这10点,10线地位平等，此图称为Desargues构图构图.Desargues.A OAB CZYXAA B ZOB CAZYC O YACA C YOBAZB点Desargu
25、es线 分析分析：为证X,Y,Z三点共线,试在图中找出一对对应三点形,具有透视中心，且对应边的交点恰为X,Y,Z.二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 由题给,X,Y,Z分别为三对直线的交点,此三直线涉及到六个字母,试ADBECF.三点共线ZDEABYFDCAXEFBC 例1 在欧氏平面上,设ABC的高线分别为AD,BE,CF.而BCEF=X,CA FD=Y,ABDE=Z.求证：X,Y,Z三点共线.ADBEGCF共点于垂心所以,由三点形ABCDEF的对应即得结论.二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 分析分析：因为R是动点，作R的另一个位置R.得到P,Q,设PQ,P
26、Q交于C.只要证明A,B,C三点共线.由OX,OY,OZ共点于O,只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX,OY,OZ上,且三双对应边交点恰为A,B,C即可.如图，PQR,PQR正是所需.例2 设OX,OY,OZ为三条定直线,A,B为定点,其连线经过O.R为OZ上的动点,直线RA,RB分别与OX,OY交于P,Q.求证：PQ经过AB上的一个定点.二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而它们有透视轴，即A1,B1,C1三点共线.引申引申：同理可证.,;,;,;,111111111111均为共线三点组CFEFBDEADCB
27、A 例3 已知完全四点形PQRS,其对边三点形为ABC.设A1=BC RQ,B1=AC RP,C1=AB PQ.求证：A1,B1,C1三点共线.二、应用举例二、应用举例1、证明共线点与共点线问题 证明：设动点P的另一个位置为P,依题意作图,得交点X,Y.考察三点形AXX与BYY,因为其对应边的交点P,C,P共线，所以其对应顶点的连线AB,XY,XY共点,此点为AB上的定点.例4 设A,B,C为不共线三点,P是过C的定直线上的动点,AP BC=X,AC BP=Y.求证：XY经过定点.思考：考察三点形PXY与PXY进行证明.思考：本题实际上与例2为同一个题目！二、应用举例二、应用举例1、证明共线点
28、与共点线问题 证明：考察三点形ZBC和YLM,有透视轴A,X,D.即得结论.2、不可及点的作图问题注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图.例5 设XYZ为完全四点形ABCD的对边三点形,XZ分别交AC,BD于L,M.求证：YZ,BL,CM共点.思考：还能有其他方法吗？CMBLYZZLMYBCZYBLCMZBCYLM二、应用举例二、应用举例2、不可及点的作图问题 例6.已知平面上二直线a,b,P为不在a,b上的一点.不作出a,b的交点a b,过P求作直线c,使c经过a b.解.作法：(1).在a,b外取异于P的一点O.过O作三直线l1
29、,l2,l3.设l1,l2,分别交a,b于A1,A2;B1,B2.(2).连PA1,PB1分别交l3于A3,B3.(3).连A2A3,B2B3交于Q.(4).PQ=c为所求直线.证明：由作法，三点形A1A2A3,B1B2B3有透视中心O.故其对应边的交点P=A1A3 B1B3,Q=A2A3 B2B3以及a b三点共线，即c=PQ经过a,b的交点.注：解作图题必须包括作法作法、画图画图、证明证明三部分！引入目的实现数、形结合，用解析法研究射影几何基本要求既能刻画有穷远点，也能刻画无穷远点基本途径从笛氏坐标出发，对通常点与笛氏坐标不矛盾主要困难来自传统笛氏坐标的干扰必须注意齐次坐标与笛氏坐标的根本
30、区别在于齐次性齐次性，因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用线性代数知识。尽管针对拓广平面,但是今后通用齐次性问题几乎无处不在的非零比例常数和比例关系二、齐次点坐标二、齐次点坐标定义定义2.1有穷远点无穷远点非齐次齐次坐标关系注注对一维齐次点坐标定义的进一步理解1.一维齐次点坐标(x1,x2)(x20)xx=x1/x2(x1,0)(x10)(1).,lP都有齐次坐标);,(21xx反之，221212(,)(0)x xxx都对应唯一一点.lP(0,0)不是任何点的齐次坐标.(2).,0R),(21xx与),(21xx是同一点的齐次坐标.因此，直线上每个点都有无穷多个齐次坐标，同一点的任意两个齐
31、次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0,x2),特别地，(0,1).无穷远点：(x1,0),特别地，(1,0).二、齐次点坐标二、齐次点坐标1.一维齐次点坐标 注：定义2.1没有解决无穷远直线的问题.引入引入,P可视为).(2121llllPP为通常点无穷远点./21ll./21ll设 li:Ai x+Bi y+Ci=0(i=1,2).记|AB|表示1122,ABAB(1).P为通常点，./21ll设 P(x,y).则,|ABBCx,|ABCAy.0|AB令|BC|=x1,|CA|=x2,|AB|=x3.则.0,33231xxxyxxx 从而 x:y:1=x1:x2:x3.于是,可
32、以把与(x,y,1)成比例的任何有序实数组(x1,x2,x3)作为点P的齐次坐标.2.二维齐次点坐标同样有|BC|,|CA|.引入引入(2).P=P,l1/l2.即P为l1,l2方向上的无穷远点.目标：目标：构造P的齐次坐标，使之仅与l1,l2的方向(斜率)有关.因l1/l2.故前述x3=0.考虑取(x1,x2,0)为P的齐次坐标.只要证明x1,x2仅与li的方向(斜率)有关.221212,0.llxx当li不平行于y轴时，即x10.不难证明.221112BABAxx其中为li的斜率,即(x1,x2,0)表示方向为的无穷远点.特别地,若x2=0,则表示x轴上的无穷远点.当li平行于y轴时，=.
33、可合理地取(0,x2,0)(x20)为y轴上无穷远点的齐次坐标.引出定义引出定义2.二维齐次点坐标定义定义2.2有穷远点 方向为=x2/x1的无穷远点非齐次齐次坐标关系注注对二维齐次点坐标定义的进一步理解 y轴上的无穷远点2.二维齐次点坐标(x,y)x=x1/x3,y=x2/x3(x1,x2,x3)(x30)(x1,x2,0)(x10)(=x2/x1)(0,x2,0)(x20)无穷远点 (1).对任意的P,都有齐次坐标(x1,x2,x3).对于通常点x30；对于无穷远点x3=0,但x12+x220.反之,任给(x1,x2,x3)(x12+x22+x320),都对应惟一一点P.(0,0,0)不是
34、任何点的齐次坐标.(2).对任意的0R,(x1,x2,x3)与(x1,x2,x3)是同一点的齐次坐标.因此,平面上每个点都有无穷多个齐次坐标,同一点的任意两个齐次坐标之间相差一个非零比例常数.(3).原点：(0,0,x3),特别地(0,0,1);无穷远点(x1,x2,0),若x10,则可表为(1,0),其中为该无穷远点的方向.特别地,x轴上的无穷远点为(1,0,0),y轴上的无穷远点为(0,1,0).2.二维齐次点坐标二、二维齐次点坐标二、二维齐次点坐标例例 1求下列各点的齐次坐标.(1).)0,0(1P)0,1(2P)1,0(3P)35,2(4P齐次坐标(一般形式)0(),0,0(331xx
35、P)0(),0,(2P特定一组)1,0,0(1P)0(),0(3P)1,0,1(2P)1,1,0(3P)0(),35,2(4P)3,5,6(4P(2).求直线0143 yx上的无穷远点.斜率4/3k代入)0,1(k所求无穷远点为),0,43,1(也就是(4,3,0).0CByAx上的无穷远点为).0,(AB 三、直线的齐次坐标方程三、直线的齐次坐标方程定理定理 2.1在齐次坐标下，直线的方程为.031iiixu(1.14)反之，(1.14)表示直线.称(1.14)为直线的齐次方程直线的齐次方程.注：注：定理2.1不仅给出了拓广平面上直线的齐次方程，还对通常直线提供了齐次、非齐次方程互化的方法.
36、推论推论过原点的直线的齐次方程为u1x1+u2x2=0.特别地,x轴:x2=0,y轴:x1=0,l:x3=0.改变一下你的几何学观点点直线曲线坐标方程点的轨迹点几何学线几何学方程坐标直线族的包络四、齐次线坐标四、齐次线坐标 线几何学线几何学：以直线为基本几何元素去表达其他几何对象调整你的思维天平！四、齐次线坐标四、齐次线坐标1.定义定义将直线l：310iiixu中的系数称为l的齐次线坐标齐次线坐标，记作.,321uuu注注1齐次线坐标与齐次点坐标有完全相同的代数结构和性质.注注2y轴：.0,0,1 01xx轴：.0,1,002x.1,0,003x:l过原点的直线：.0,0212211uuxux
37、u 思考思考：注2中这些直线的齐次坐标分别与哪些点的齐次坐标相同(忽略括号差别)？注注3由定义,方程系数坐标实现互化,故由诱导.310(1.15)iiiu x 定理2.3 在齐次线坐标下，点x在直线u上 2.点的齐次方程点的齐次方程 定义2.5 在齐次线坐标下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且仅能被过点P的直线的齐次坐标所满足，则称 f=0 为点 P 的齐次方程齐次方程.2.点的齐次方程点的齐次方程四、齐次线坐标四、齐次线坐标注注对(1.4)的新理解.xu(1.4)变 (流动)不变(常数)直线u的方程几何意义动点x在定直线u上；定直线u为动点x的轨迹点几何观点线几何观点不变(常数)变
38、(流动)点x的 方程动直线u过定点x；定点x为动直线u的包络 因此，一般地，称(1.4)为点与直线的齐次关联关系齐次关联关系.点、直线统称为几何元素几何元素.给定齐次方程)4.1(031iiiux四、齐次线坐标四、齐次线坐标2.点的齐次方程点的齐次方程例例 2求下列各点的齐次方程.(1).x轴上的无穷远点.0)0,0,1(1 u(2).y轴上的无穷远点.0)0,1,0(2 u(3).原点.0)1,0,0(3 u(4).点(1,2,2).022321uuu(5).方向为.0321uu31的无穷远点(6).无穷远直线上的点.0)0,(221121uxuxxx 思考思考：本例中这些点的齐次方程分别与
39、哪些直线的齐次方程形式上相同？(3,1,0)一、平面对偶原则一、平面对偶原则重要原理！重要原理！贯穿全书！贯穿全书！1.基本概念(1).对偶元素对偶元素点直线(2).对偶运算对偶运算过一点作一直线在一直线上取一点(4).对偶图形对偶图形在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系构成的图形，若对作对偶变换，则得到另一个图形.称、为一对对偶图形对偶图形.图形图形作对偶变换互为对偶图形(3).对偶变换对偶变换互换对偶元素地位、作对偶运算一、平面对偶原则一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例(1)点(1)直线(2)点列(共线点集)(2)线束(共点线集)(Pl)(pL(3)点场(共面点集)(3)线场(共面
40、线集)(4)简单n点形：n个点(其中无三点共线)及其两两顺次顺次连线构成的图形.(4)简单n线形：n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次顺次相交的交点构成的图形.顶点：n个；边：n条.边：n条；顶点：n个.下面分别考察n=3和n=4的情形简单n点(线)形：n=3简单三点形简单三线形简单n点(线)形：n=4简单四点形简单四线形显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关(5)完全n点形：n个点(其中无三点共线)及其每两点连线构成的图形.(5)完全n线形：n条直线(其中无三线共点)及其每两直线交点构成的图形.顶点：n个；条边：2)1(nn边：n条；个顶点：2)1(nn完全n点(线)形：n=3完全
41、三点形ABC完全三线形abc一对自对偶图形.将不加区分,简称三点形或三线形.完全n点(线)形：n=4完全四点形ABCD完全四线形abcd射影几何中最重要的一对图形完全四点形ABCD完全四线形abcd顶点顶点DCBA,4个边边utsrqp,;,;,6条对边对边(没有公共顶点的边);,qp;,srut,3组对边点对边点(对边的交点),qpX,srYutZ3个对边三点形对边三点形 XYZ边边dcba,4条顶点顶点UTSRQP,;,;,6个对顶对顶(不在同一边上的顶点);,QP;,SRUT,3组对顶线对顶线(对顶的连线),PQx,RSyTUz3条对顶三线形对顶三线形 xyz请课后画图，熟悉图形及名称.
42、今后将专门研究其重要性质例 1作下列图形的对偶图形点点QP,2个直线直线dcbal,5条关联关系关联关系(1)P,Q在l上；(2)a,b,l共点于P;c,d,l共点于Q直线直线qp,2条点点DCBAL,5个关联关系关联关系(1)p,q过点L；(2)A,B,L共线于p;C,D,L共线于q一、平面对偶原则一、平面对偶原则2、对偶图形举例1、基本概念3、作一图形的对偶图形翻译翻译一、平面对偶原则一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作一图形的对偶图形4.平面对偶原则(1)射影命题 在射影平面上，若命题P仅与点和直线的关联、顺序关系有关，则称P为一个射影射影命题命题.(2)对偶命题射影命
43、题P射影命题P*作对偶变换互为对偶命题(3)平面对偶原则定理1.26(平面对偶原则)在射影平面上，射影命题P成立射影命题P*成立一、平面对偶原则一、平面对偶原则2.基本对偶图形举例1.基本概念3.作一图形的对偶图形4.平面对偶原则例例 2对偶命题举例 (1)P 过相异二点有且仅有一条直线.(1)P*两相异直线有且仅有一个交点.(2)P 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则其对应边的交点必定共线.(2)P*如果两个三点形的对应边交点共线，则其对应顶点的连线必定共点.注注1只有射影命题才有对偶命题.注注2对偶原则是一个双射F：点几何线几何 因此,对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转化,可以
44、起到事半功倍的作用.二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论(1).两点a,b重合.1ba秩(1).两直线a,b重合.1ba秩(2).相异两点a,b连线方程为.0321321321bbbaaaxxx(2).相异两直线a,b交点方程为坐标为.,212113133232bbaabbaabbaa坐标为.,212113133232bbaabbaabbaa.0321321321bbbaaauuu(3).相异三点a,b,c共线.2321321321cccbbbaaa秩(3).相异三直线a,b,c共点 (4).点c在相异两点a,b连线上点c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零).2321
45、321321cccbbbaaa秩 (4).直线c经过相异两直线a,b交点直线c的齐次坐标可表示为la+mb(l,m不全为零).二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论 注：若三点(直线)a,b,c不共线(点),则上述矩阵满秩.(5).相异三点a,b,c共线存在p,q,r(pqr0)使得.0rcqbpa即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论 (5).相异三直线a,b,c共点存在p,q,r(pqr0)使得.0rcqbpa即可适当选取a,b,c的齐次坐标使得a+b+c=0,或 c=a+b.a+b+c=0,或 c=a+b.例例 3已知共线三
46、点 a=(3,1,1),b=(7,5,1),c=(6,4,1),求,使得.bac解解令.157113146其中为非零比例常数.可解得=3.于是，可适当选取 a,b,c 的齐次坐标，使得 c=a+3b.二、有关齐次坐标的基本结论二、有关齐次坐标的基本结论63741 5 34本章地位平面射影几何的核心内容之一本章内容在一维、二维射影空间以及齐次坐标的基础上，系统学习一维、二维射影变换及其一些特殊情形，对一些射影性质进行初步研究.一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义交比 最根本的射影不变量 定理1.5.设P1,P2,P3,P4为点列l(P)中四点,且P1 P2，其齐次坐标依次为a,b,a
47、+1b,a+2b.则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个交比交比.定义为.),(214321PPPP(2.1)称P1,P2为基点偶基点偶，P3,P4为分点偶分点偶.定理1.6.设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib(i=1,2,3,4).则.)()(),(413242314321PPPP(2.2)证明定理1.6.以P1,P2,为基点，参数表示P3,P4.设.)()(),(413242314321PPPPa+1b=a,a+2b=b.从中解出a,b,得.,121212abbbaa于是，P1,P2,P3,P4的坐标可表示为即,1214124212131232bababa.,421432
48、13bababa由交比的定义，有注注：定理1.6可以作为交比的一般定义.(2.2)一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质(1).交比组合性质 定理1.1-1.3 设(P1P2,P3P4)=r.当改变这四点在交比符号中的次序时，交比值变化规律如下：(1).1(2).1.rrrrrr 换两对不变两对同换换一对改变换中间或首尾 推论 由定理1.1-1.3，相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同的值：.1,11,1;11,1,rrrrrrr此即P.46,式(1.7).不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义.),(413242314321
49、PPPPPPPPPPPP2、性质(2).交比的初等几何意义 如果限于通常平面，则(2.2)式右边四个因式都是两点之间的有向距离，即(2.4)()(),(413242314321PPPP 注：此时,若P4=P,则可合理地规定：.112PPPP于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)为1.1所定义的共线三点的简单比.一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况 定理2.3 共线四点的交比值出现0,1,三者之一这四点中有某二点相同.证明 可根据定理2.1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1进行验证即可.此时,上述6个不同的交比值又只有3组：0,1,.4、调
50、和比定义 若(P1P2,P3P4)=1,则称推论1 若(P1P2,P3P4)=1,则此四点互异.推论2 相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个交比值只有3个：.2,21,1点组P1,P2,P3,P4为调和点组调和点组点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离调和分离点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭调和共轭点P4为P1,P2,P3的第四调和点第四调和点一、点列中四点的交比一、点列中四点的交比1、定义2、性质3、特殊情况4、调和比调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4)=1,利用初等几何意义，我们有.1),(414232314321PPPPPPPPPP
