1、第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学本章以工程中常见的主传动系统为研究对象，主要讨论齿轮传动系统、凸轮机构、连杆机构动力学问题。5-1 齿轮传动系统齿轮传动系统 5-2 凸轮机构凸轮机构 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5-1 齿轮传动系统齿轮传动系统5-1-1齿轮传动系统运动微分方程齿轮传动系统运动微分方程一、齿轮传动系统运动微分方程的建立一、齿轮传动系统运动微分方程的建立对于一对直齿圆柱齿轮传动，假设：对于一对直齿圆柱齿轮传动，假设：1、齿轮系统的传动轴和轴承的刚度足够
2、大，即齿轮轴的横向振动相对于扭转振动可以忽略不计，并忽略轴承和机架的变形；2、忽略轴承的摩擦力；3、对于渐开线直齿圆柱齿轮，齿轮之间的啮合力始终作用在啮合线方向上，两齿轮简化为由阻尼和弹簧相连接的圆柱体，阻尼系数为两齿轮啮合时的啮合阻尼，弹簧的刚度系数为啮合齿轮的啮合刚度。第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5-1-1齿轮传动系统运动微分方程齿轮传动系统运动微分方程一、齿轮传动系统运动微分方程的建立一、齿轮传动系统运动微分方程的建立齿轮传动系统单自由度扭转振动模型齿轮传动系统单自由度扭转振动模型从而得到齿轮传动系统动力学分析计算简图：从而得到齿轮传动系统动力学分
3、析计算简图：分别取两齿轮为研究对象，根据刚体绕定轴转动运动微分方程：第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5-1-1齿轮传动系统运动微分方程齿轮传动系统运动微分方程一、齿轮传动系统运动微分方程的建立一、齿轮传动系统运动微分方程的建立、分别为齿轮1，2因轮齿弹性变形产生的扭转角；、分别为齿轮的对各自转轴的转动惯量，、分别为作用在齿轮上的外力偶矩1 11 12211 12211221 12221 12222()()()()()()bbbmbbbbbbmbbbJc rrrktrrrTJc rrrktrrrT121J2J 1T2T 显然，由静力平衡条件知 、分别为齿轮1，
4、2的基圆半径；、为齿轮时变啮合刚度和阻尼系数12b12=rbTTr1br2br()mktc 第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5-1-1齿轮传动系统运动微分方程齿轮传动系统运动微分方程一、齿轮传动系统运动微分方程的建立一、齿轮传动系统运动微分方程的建立若假设两齿轮沿啮合线的相对位移为 为齿轮的诱导质量；为齿轮副的相对阻尼系数，计算时可取=0.010.1。为一对齿轮的时变综合啮合刚度 1 122bbxrreNememmFxmtkxmtkx)()(2 em12221221ebbJ JmJ rJ r1212=NbbTTFrr=2()meckt m()mkt第第5章章
5、 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5-1-1齿轮传动系统运动微分方程齿轮传动系统运动微分方程一、齿轮传动系统运动微分方程的建立一、齿轮传动系统运动微分方程的建立为一对轮齿一个啮合周期所需的时间 ()()(0)()()()zsmsZk tk tTtTktk tTtT 齿轮单对齿啮合刚度ZT1 160ZTz n()k t齿轮传动系统动力学问题是参数激振问题eNememmFxmtkxmtkx)()(2 第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5-1-1齿轮传动系统运动微分方程齿轮传动系统运动微分方程二、齿轮啮合时的载荷分配二、齿轮啮合时的载荷分配对
6、于渐开线直齿圆柱，其重合度 ，在一个啮合周期内，有双齿啮合区和单齿啮合区。双齿啮合时，法向载荷由两对轮齿共同承担；单齿啮合时，法向载荷由一对轮齿承担。图5-1-2 齿轮法向载荷分配模型12第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5-1-1齿轮传动系统运动微分方程齿轮传动系统运动微分方程二、齿轮啮合时的载荷分配二、齿轮啮合时的载荷分配则双齿啮合区：1211 1221ssNsmsmFFFFk xFkx112212(1,2)sNsNmiimmFq FFq Fkqikk单齿啮合区：132smNFkxF第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5.1
7、.2 轮齿变形的计算轮齿变形的计算计算方法计算方法材料力学的方法计算其弹性变形如石川法、Weber-Banaschek法等弹性力学法有限元方法Weber-Banaschek法 轮齿受载后在啮合点处的变形可由三部分组成l即啮合点处的接触变形 l轮齿的弯曲及根部剪切力引起的啮合点位移 l考虑轮体弹性变形引起的啮合点位移HTA图5-1-3第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5.1.2 轮齿变形的计算轮齿变形的计算计算公式计算公式 式中：b齿宽；接触点处齿轮i齿廓曲线的曲率半径；E材料的弹性模量；、分别为轮1、轮2的尺寸，值、的意义见图5-1-3；、齿轮的几何尺寸，具体
8、意义见图5-1-3；x、y齿轮任意截面处，齿廓曲线上一点的x、y坐标。1 21212222300222240.5793ln0.42860.5793cos()112(3t)82cos5.2141.041.39(1)0.4485xxNHNhhNxxTxNxxxAxxFFFEbhhEbFFhydygdyEbxxFhhtgtgEbSS i1h2hxFS 第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学5.1.2 轮齿变形的计算轮齿变形的计算单对齿轮副的啮合刚度为 1212()NHTTAAFk t例：某减速器中的一对齿轮，其参数列于表5-1-1。齿轮齿数Z1=41 Z2=161齿轮模
9、数m=12齿顶高系数ha1=ha2=1.0压力角=20齿宽b=材料弹性模量E=2.101011Pa材料泊松比=0.26传递功率Pe=370kw转速n1=114.6r/min第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 计算结果齿轮单齿啮合刚度齿轮单齿啮合刚度 随时间的变随时间的变化曲线化曲线齿轮时变综合啮合刚度随时齿轮时变综合啮合刚度随时间的变化曲线间的变化曲线第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解齿轮传动系统运动微分方程求解一、求解原理与算法一、求解原理与算法是随时间变化的参量，轮的运动微分方程为二
10、阶变系数微分方程eNememmFxmtkxmtkx)()(2()mkt采用四阶Runge-Kutta法求解计算流程图计算流程图第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解齿轮传动系统运动微分方程求解一、求解原理与算法一、求解原理与算法是随时间变化的参量，轮的运动微分方程为二阶变系数微分方程eNememmFxmtkxmtkx)()(2()mkt采用四阶Runge-Kutta法求解，计算程序见附件计算流程图计算流程图第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解齿轮传动系统
11、运动微分方程求解二、计算结果与讨论二、计算结果与讨论图5-1-7 相对位移x沿啮合线的变化曲线图5-1-8 相对速度v沿啮合线的变化曲线第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-1-3齿轮传动系统运动微分方程求解齿轮传动系统运动微分方程求解二、计算结果与讨论二、计算结果与讨论图5-1-9 齿面动载荷沿啮合线的变化曲线第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构一一、凸轮机构从动件的运动微分方程、凸轮机构从动件的运动微分方程图图5-2-1凸轮机构弹性动力学凸轮机构弹性动力学模型模型1-凸轮凸轮 2-从动件从动件 3
12、-滑块滑块滑块上的总作用力滑块上的总作用力rSCFFFFFf 从动件传递给滑块的推力，或凸轮与从动件传递给滑块的推力，或凸轮与从动件之间的作用力，从动件之间的作用力，封闭弹簧弹力封闭弹簧弹力 其中其中 弹簧预紧力弹簧预紧力。rFSFys0kFFS0F根据达朗贝尔原理，滑块的平衡方程式为-my()my0csfrFFFFF 第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构一一、凸轮机构从动件的运动微分方程、凸轮机构从动件的运动微分方程因为外载荷因为外载荷F及弹簧预紧力及弹簧预紧力F0只能引起从动件的静变形，常只能引起从动件的静变形，常为一常量，在分析从
13、动件动态响应中可不考虑，并忽略摩为一常量，在分析从动件动态响应中可不考虑，并忽略摩擦力擦力Ff的影响，式的影响，式5-2-3可写为可写为整理得：整理得：当轮廓线已选定时，其中的位移当轮廓线已选定时，其中的位移s为已知数值。考虑从动件的弹为已知数值。考虑从动件的弹性后，其上端的位移性后，其上端的位移y即可即可上上式求解。式求解。0rsk+ky+y=-mfrF FFk sm凸轮机构从动件运动微分方程。凸轮机构从动件运动微分方程。5-2-3rsrkkkyysmm第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构一一、凸轮机构从动件的运动微分方程、凸轮机构从
14、动件的运动微分方程引入频率比以凸轮转角以凸轮转角为自变量为自变量令令222222d yd y dyydtddtrsrnk+kk=mmn=rsrkkkyysmm22y+y=s以凸轮转角以凸轮转角为自变量的从动件运动方程为自变量的从动件运动方程5-2-6第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构二、二、凸轮机构从动件运动微分方程的求解凸轮机构从动件运动微分方程的求解5-2-6中代入简谐运动的位移方程得解析法解析法若从动件在推程服从简谐运动规律即其解为0h=1-cos2s220hy+y=1-cos2200h1y=Asin+Bcos+1-cos21-
15、第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构二、二、凸轮机构从动件运动微分方程的求解凸轮机构从动件运动微分方程的求解从而有从而有由从动件初始运动条件=0，y=y=0得引入动载系数200hh1y=1-cos+cos-cos221-2n200h1y=cos-cos212maxn202y=21hm axgm axy=sk202k1g22m ax02nhs第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构二、二、凸轮机构从动件运动微分方程的求解凸轮机构从动件运动微分方程的求解将微分方程5-2-6改写成数值法数
16、值法用用Runge-Kutta法法编程编程求解求解，编写计算机程序见附录一编写计算机程序见附录一计算原始数据：计算原始数据：从动件运动规律从动件运动规律:推程简谐运动规律推程简谐运动规律 推程角推程角 ；远休止角；远休止角 ；回程：摆线运动规律回程：摆线运动规律 回程角回程角 近休止角近休止角 ；从动件行程从动件行程 2()dypddpsyd0h=1-cos2s0=1501=3033=1-+sins23=1204=60=20mmh第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构图5-2-2从动件位移响应 图5-2-3 从动件速度响应计算结果计算结果
17、060120180240300360-50510152025凸 轮 转 角 /从动件位移响应 X/mm凸 轮 输 入 位 移从 动 件 位 移 响 应060120180240300360-20-15-10-5051015凸 轮 转 角 /从动件速度响应 V/mm/rad凸 轮 输 入 速 度从 动 件 速 度 响 应第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-2 凸轮机构凸轮机构图5-2-2从动件位移响应 计算结果计算结果060120180240300360-50-40-30-20-1001020304050凸 轮 转 角 /从动件加速度响应 a/mm/rad2凸
18、 轮 输 入 加 速 度从 动 件 加 速 度 响 应考虑从动件弹性效应的从动件速度和加速度是在不考虑从动件弹性效应的从动件速度和加速度曲线的基础上叠加了高频振动响应第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析对系统进行单元划分，得到单元和节点并进行编号。单元分析：先建立单元局部坐标系内单元运动方程，再转换称整体坐标系下的单元运动方程。系统集成，组成机构运动方程利用边界条件和初始条件求解机构运动方程。一一引言引言高速平面连杆机构或一些精密机械的连杆机构，由于要求具有最小重量，使构件刚度降低。在这种情况下，构件的弹性
19、变形以及由于弹性而引起的振动，都是不可忽略的，此时需进行连杆机构的弹性动力学分析方能满足工程需求。考虑构件弹性变形的连杆机构动力学问题属微分方程的混合问题，可采用有限单元法求解。基本步骤如下第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析二、单元划分二、单元划分以图5-4-1所示的曲柄摇杆机构为例，讨论其求解过程图5-3-1 曲柄摇杆机构及其单元划分第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析三、单元运动方程三、单元运动方程1）局部坐标系下
20、的单元运动方程）局部坐标系下的单元运动方程 .sssSsMUKUF式中式中US-每个单元节点位移向量 Fs-节点力 123456123456,TsTsUu u u u u uFffffff式中 两端节点所受的轴向力 两端节点所受的横向力 两端节点所受弯矩14,ff25,ff36,ff第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析三、单元运动方程三、单元运动方程单元质量矩阵单元的刚度阵2*140 0 0 70 0 0 156 22 0 54 13 4 0 13 3 140 0 420ssssssssLLLLLm LM2
21、 0 156 22 4ssLL对称 22232220000120120=1,2,3)00664626241ssssssssssssSssssssA LA LIILLLLLEIKLA LILLs对称第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析三、单元运动方程三、单元运动方程单元质量矩阵单元的刚度阵2*140 0 0 70 0 0 156 22 0 54 13 4 0 13 3 140 0 420ssssssssLLLLLm LM2 0 156 22 4ssLL对称 22232220000120120=1,2,3)00
22、664626241ssssssssssssSssssssA LA LIILLLLLEIKLA LILLs对称式中S、IS分别为S单元的长度、轴惯性矩；m*s、AS分别为S单元的单位长度质量、横截面积。第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析三、单元运动方程三、单元运动方程2）单元局部坐标系到整体坐标系的变换单元局部坐标系到整体坐标系的变换式中 坐标变换矩阵；坐标变换矩阵中的子矩阵；单元局部坐标下的位移向量；整体坐标系下的位移向量。写成如下矩阵形式1122133344554665=+=+=cossincossin
23、cossincoss+=+=in=ssssssssuuuuuuuuuuuuuuuu sssssss0=0cossin0=sincos000=1ssssULllUlL sL sl sU sU*T123456=suuuuuUu第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析三、单元运动方程三、单元运动方程3）整体坐标表示的单元运动方程整体坐标表示的单元运动方程以 ，代入局部单元运动方程式5-3-1，并左乘 ，则可得到以整体坐标表示的单元运动方程 =sssULU =sssULUTsL SSSSSTSSSSTSSSSTSSSM
24、KUFMLMLKLKLFLFU (S=1，2，3)5-3-26第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析四、机构运动方程的组成四、机构运动方程的组成1 单元位移 与机构广义坐标向量 之间的变换关系变换矩阵 SSUAq 5-3-27 5-3-27式中式中 T123456T111213141210=SSSSSSSUuuuuuuqqqqqqqq SA对于单元1（即AB杆）100100000000000000100000000000000100000000000000100000000000000100000000000
25、0001000000A第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析四、机构运动方程的组成四、机构运动方程的组成1 单元位移 与机构广义坐标向量 之间的变换关系同理，对2、3单元亦可求出 2000001000000000000001000000000000000100000000000000100000000000000100000000000000100A 30000000000000110000000000000010000000000000000000001000000000000001000000000000
26、00010A第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析四、机构运动方程的组成四、机构运动方程的组成2 展后的单元运动方程展后的单元运动方程即以 及 代入5-3-26，并左乘以,则得到扩展后的单元运动方程 qsqsqsMqKqF *TqsSSSTqsSSSTqsSSMAMAKAKAFAF（s=1,2,3）5-3-28 、为扩展以后的单元质量阵与单元刚度阵，其阶数为1414，反映了单元质量阵与刚度阵在总的机构质量阵与刚度阵中的位置qsM qsK第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-
27、3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析四、机构运动方程的组成四、机构运动方程的组成3 机构运动方程采用迭加方法，可得机构运动方程式中：MqKqF 333*qs111333*qs111333*qs111=TTTSSSSSSSSSSSTTTSSSSSSSSSSSTTTSSSSSSSSMMAMAALMLAKKAKAALKLAFFAFALF因各节点处的内力在相加时互相抵消，故计算 时，只考虑外力 F第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析五、机构运动方程的求解五、机构运动方程的求解1.边界条件及刚体运动的消
28、除 A、D两点与机架铰接，故有 去对应于去对应于 5个元素相应的行与列个元素相应的行与列，运动方程式运动方程式缩减为缩减为9个个11121314=0qqqq瞬态固定法瞬态固定法”消除机构的刚体运动消除机构的刚体运动，如分别取，如分别取1=0 10 20,.,360q，111213141qqqqq、*MqKqF第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析五、机构运动方程的求解五、机构运动方程的求解2.运动方程式的求解运动方程式的求解图5-3-4计算流程图第第5章章 考虑构件弹性的机械系统动力学考虑构件弹性的机械系统动力学 5-3平面连杆机构的动力学分析平面连杆机构的动力学分析算例例例 5-3-1 如图图5-3-5所示的铰链四杆机构，已知构件长度 ，；各构件用铝材制成，圆形横截直径d=50m2，曲柄AB的转速为300r/min，试对此机构进行动力分析，并计算摇杆转角的动力响应。305ABlmm915BClmm76.25CDlmm915ADlmm其MATLAB计算程序见附录1。0601201802403003608090100110120130140曲柄摇杆运动关系曲线曲柄转角1/摇杆转角 3/图5-3-6 曲柄与摇杆运动关系曲线
