1、耦合场理论分析方法与数值仿真课程主要内容课程主要内容q 引言引言q 耦合场分析方法简介耦合场分析方法简介 间接耦合分析方法间接耦合分析方法 直接耦合分析方法直接耦合分析方法q 一些耦合场分析专题一些耦合场分析专题 （包括基本模型、解析和数值分析方法等）（包括基本模型、解析和数值分析方法等）力力-热耦合问题热耦合问题 流流(气气)固耦合问题固耦合问题(电电)磁力耦合问题磁力耦合问题 风沙电等耦合问题风沙电等耦合问题课程主要目的课程主要目的l 了解和掌握多场问题的基本特征、耦合的性质与意义；了解和掌握多场问题的基本特征、耦合的性质与意义；l 接介绍几类典型的多场耦合问题的基本模型与特征；接介绍几类
2、典型的多场耦合问题的基本模型与特征；l 以几类典型的多场耦合问题为例，介绍其分析的方法以几类典型的多场耦合问题为例，介绍其分析的方法 和思路，从中体会和学习基本的方法；和思路，从中体会和学习基本的方法；l 用于自己的研究工作或者今后可能遇到的多场耦合用于自己的研究工作或者今后可能遇到的多场耦合 问题中问题中 课程学习方式课程学习方式l 课堂讲授（主）课堂讲授（主）+学生个人课后阅读（辅）学生个人课后阅读（辅）l 讲授内容是一些具有典型的文章资料讲授内容是一些具有典型的文章资料 （包括我自己的相关专题的研究经历）（包括我自己的相关专题的研究经历）l 学生个人阅读主要是提供的资料学生个人阅读主要是
3、提供的资料 +个人从事的耦合问题的内容个人从事的耦合问题的内容 +个人感兴趣的耦合场方向；个人感兴趣的耦合场方向；l 课程成绩课程成绩（2部分组成平时考勤部分组成平时考勤+期末期末 以提交课程报告的方式）以提交课程报告的方式）多场耦合问题多场耦合问题：(Muti-fields coupling problem)研究两个或者两个以上的场通过相互作用而形成的物研究两个或者两个以上的场通过相互作用而形成的物理（或力学）现象的问题。理（或力学）现象的问题。引引 言言v 普遍存在于客观世界普遍存在于客观世界v 普遍存在于工程应用领域普遍存在于工程应用领域v 常见的耦合问题：常见的耦合问题：结构结构-热耦
4、合、流热耦合、流-固耦合、固耦合、结构结构-电、结构电、结构-磁耦合等磁耦合等v越来越多的耦合问题：越来越多的耦合问题：与智能材料关联与智能材料关联智能材料智能材料(Intelligent material、Smart material、daptive material and structure)是二十世纪是二十世纪90年代迅速发展起来的一类年代迅速发展起来的一类新型复合材料。智能材料就是指具有感知环境（包括内环境和外新型复合材料。智能材料就是指具有感知环境（包括内环境和外环境）刺激，对之进行分析、处理、判断，并采取一定的措施进环境）刺激，对之进行分析、处理、判断，并采取一定的措施进行适度响
5、应的智能特征的材料。行适度响应的智能特征的材料。智能材料需具备以下内涵：智能材料需具备以下内涵：具有感知功能，能够检测并且可以识别外界具有感知功能，能够检测并且可以识别外界(或者内部或者内部)的刺的刺激强度，如电、光、热、应力、应变、化学、核辐射等；激强度，如电、光、热、应力、应变、化学、核辐射等；具有驱动功能，能够响应外界变化；具有驱动功能，能够响应外界变化；能够按照设定的方式选择和控制响应；能够按照设定的方式选择和控制响应；反应比较灵敏、及时和恰当；反应比较灵敏、及时和恰当；当外部刺激消除后，能够迅速恢复到原始状态。当外部刺激消除后，能够迅速恢复到原始状态。智能材料主要种类智能材料主要种类
6、 l 多场耦合作用下的材料功能研究是科学技术发展前沿！多场耦合作用下的材料功能研究是科学技术发展前沿！2)颤振失稳(负阻尼)联系各个场之间的数据传输与处理at each rotation speed.N-R Method for nonlinearity of MFangle,the control gains are smaller.的利用与集成Radius,re/roSolutions 半解析半数值求解On the surface of disk:针对具体问题的特点选择合适的数值方法复杂动力学行为:非线性、磁阻尼、混沌智能材料的本构关系；m=:Nodal circle numberColl
7、ect and Plot Simulation ResultsSmooth the shroud=:EigenvalueInput and Save Parameters of Rotating Disk SystemFEM for Magnetic Field 耦合的分类耦合的分类：从耦合的空间属性上分类 Felippa et al.Comput.meth.Appl.Mech.Engrg.，2001 区域耦合区域耦合 整个区域或部分区域内多场共存，整个区域或部分区域内多场共存，各场间无边界各场间无边界。如：结构如：结构-热、结构热、结构-电电(磁磁)耦合耦合 边界耦合边界耦合 各场间有明显的
8、边界，场之间通过各场间有明显的边界，场之间通过 边界作用实现相互作用边界作用实现相互作用。如：流如：流-固耦合、空气固耦合、空气-弹性、压电弹性、压电-结构结构 多物理场多物理场：(Multiphysics)场场尺度尺度域域系统系统同时同时存在多个物理存在多个物理场的激励和响应场的激励和响应系统的各个具有不同特系统的各个具有不同特征的连续体通过边征的连续体通过边(交交)界之间的界之间的相互作用相互作用系统中不同尺度下从微系统中不同尺度下从微观到宏观行为的观到宏观行为的连续一连续一致跨越致跨越“一个一个”、或、或“多多个个”“纳尺度纳尺度”、“微尺度微尺度”、“宏观尺度宏观尺度”耦合问题领域几个
9、发展方向耦合问题领域几个发展方向（“十一五”学科发展规划）v 力力-电电-磁磁-热耦合场的分析理论；热耦合场的分析理论；v 智能材料的本构关系；智能材料的本构关系；v 智能结构动力学与主被动控制；智能结构动力学与主被动控制；v 耦合场的破坏力学、失效机理耦合场的破坏力学、失效机理 与智能器件的可靠性；与智能器件的可靠性；v 风风-沙耦合、风沙电耦合问题沙耦合、风沙电耦合问题v 冻土、岩石，应力场冻土、岩石，应力场-温度场温度场-流场流场 -空气泡耦合等空气泡耦合等 兰州大学兰州大学电磁固体力学研究组、风沙物理研究组间接耦合间接耦合&直接耦合方法直接耦合方法 间接耦合方法间接耦合方法，或称顺序耦
10、合、序贯耦合方法，或称顺序耦合、序贯耦合方法 按照顺序进行两次或更多次的相关场分析。按照顺序进行两次或更多次的相关场分析。物理或变形场物理或变形场 1 1物理场物理场 2 2物理场物理场 3 3耦合场分析方法耦合场分析方法例例：结构结构-热分析热分析温度场分析温度场分析热载荷热载荷结构变形场分析结构变形场分析数学描述数学描述（以两个场耦合为例）（以两个场耦合为例）物理或力学变形场物理或力学变形场1 1：场变量场变量u u)(1uf)(ug 物理或力学变形场物理或力学变形场2 2：场变量场变量 输入初始值：输入初始值：0 0 1 1 0 0获得场获得场1的解：的解：u ui i作为初始值输入作为
11、初始值输入获得场获得场2的解：的解：1 1 直接耦合方法直接耦合方法 两场或更多场的同时求解，以获得耦合场的解。两场或更多场的同时求解，以获得耦合场的解。物理或变形场物理或变形场 1 1物理场物理场 2 2物理场物理场 3 3+数学描述数学描述（以两个场耦合为例）（以两个场耦合为例）物理或力学变形场物理或力学变形场1 1：场变量场变量u u)(1uf)(ug 物理或力学变形场物理或力学变形场2 2：场变量场变量),(uuFu u、两种耦合分析方法的比较两种耦合分析方法的比较 直接耦合方法直接耦合方法 间接耦合方法间接耦合方法 迭代思想 分场求解、方程阶数低 适合非线性程度不高的问题 每个场分析
12、中均采用收敛条件 可能出现结果发散现象 逆算子思想“合场”求解、方程阶数高 适合高度非线性问题“合场”方程建立困难 高维非线性问题带来的困难理论上讲，不受问题限制，适合任理论上讲，不受问题限制，适合任何耦合场分析何耦合场分析如：压电如：压电-结构耦合、流动结构耦合、流动-热传导热传导耦合、电路耦合、电路-电磁场耦合等电磁场耦合等耦合场的分析方法耦合场的分析方法：解耦方法解耦方法 顺序求解各个物理场或者力学变形场，将获得了上一个顺序求解各个物理场或者力学变形场，将获得了上一个场的相关信息后代入下一个场进行分析，最后获得多场作场的相关信息后代入下一个场进行分析，最后获得多场作用下的总效果。用下的总
13、效果。单向非双向、考虑作用但非相互作用与影响单向非双向、考虑作用但非相互作用与影响 并非真正的耦合，意义并非真正的耦合，意义？实际上我们熟悉了太多这样的问题：温度应力问题、早期的电磁结构变形分析、小变形、低温、低频、低电磁场下结构分析等 可以给出一些解析解，可作为考虑耦合效应的考据 解耦单向分析思路考虑了双向的作用与影响就是顺序耦合思想耦合问题的求解耦合问题的求解（间接、直接耦合分析）（间接、直接耦合分析）主要适合解耦场分析、低维、低非线性 可在某些条件下的线性化问题分析中 解析、半解析求解耦合问题解析、半解析求解耦合问题 数值求解耦合问题数值求解耦合问题 目前的主要手段，适合多个场分析，稍高
14、维、非线性 分为网格方法网格方法（有限元法、边界元法、有限差分法、有限体积法等）和无网格方法无网格方法（再生核质子方法、有限点方法、MPLG法等）数值仿真软件 商业软件：具有一定的耦合场分析功能商业软件：具有一定的耦合场分析功能 FEMLAB：基于偏微分方程基础的软件，最新基于偏微分方程基础的软件，最新V3.2,V3.2,可求解声场、扩散可求解声场、扩散、电磁场、流体力学、结构力学问题或耦合问题；、电磁场、流体力学、结构力学问题或耦合问题；ANSYS:最初为解决固体力学和结构力学问题，最新最初为解决固体力学和结构力学问题，最新V10.0,V10.0,陆续加入了陆续加入了对流场、声场、热场、电磁
15、场的仿真功能，以及多场耦合的仿真算法；对流场、声场、热场、电磁场的仿真功能，以及多场耦合的仿真算法；:高度非线性、流体高度非线性、流体-结构耦合、瞬态动力响应问题仿真；结构耦合、瞬态动力响应问题仿真；ALGOR:功能包括结构，流体，热，电磁分析以及目前主流有限元分功能包括结构，流体，热，电磁分析以及目前主流有限元分析软件中最为便捷的多物理场耦合分析析软件中最为便捷的多物理场耦合分析:流固耦合分析和热结构耦合分析流固耦合分析和热结构耦合分析,最新最新V14V14；ABQAS:结构（应力结构（应力/位移）问题，以及工程领域的热传导、质量扩散位移）问题，以及工程领域的热传导、质量扩散热电耦合分析、声
16、学分析、岩土力学分析（流体渗透热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析（流体渗透/应力耦合分析）及压电应力耦合分析）及压电介质分析等。介质分析等。开发耦合分析模块，或者商业软件的二次开发开发耦合分析模块，或者商业软件的二次开发一些耦合场分析实例一些耦合场分析实例1.1.力力-磁、力磁、力-磁磁-热热 耦合问题耦合问题 区域耦合问题区域耦合问题 解析解法解析解法 数值解法（有限元）间接耦合分析方法数值解法（有限元）间接耦合分析方法 多重非线性迭代技术多重非线性迭代技术Background&ObjectivevApplications:Magnetic fusion,Energy storage de
17、vice,Magnetohydrodynamic system(MHD),Magnetic forming,Magnetically levitated vehicles(MLV)Magnetic guns or cannons in military field,Nuclear-magnetic-resonance measurement(NMR)for medical use vProblems Induced&Objectives:Stress in electromagnetic structures induced by electromagnetic forces Magneto-
18、elastic stability Mechanics behaviour of electromagnetic structures under coupled multi-fields,such as magnetic,thermal,fluid fields and so on (1)Magnetic energy of ME system(Magnetization nonlinearity)dsdvdvdHBSHem00)(20)(0)(21)(,BnuuuvMathematic Modeling(板壳的力板壳的力-磁变分理论磁变分理论,多非线性多非线性)Magnetoelastic
19、 generalized variational principle(2)Strain energy of plate(Geometrical nonlinearity)SSSSmedsywxwyxwDdsywyvxwxuywxwxvyuCdswDdswyvxuC 2222222222222)()()()()()1(212141)1(212121,u(3)Total generalized energy of ME system ,uuumeem(4)Magnetoelastic generalized variational principle 0,uuuuMagnetic FieldGov
20、erning equations&Boundary conditionsMechanics Deformation FieldGoverning equations&Boundary conditions for plates(5)Equivalent magnetic forces exerted on SFM plates 22020202)(2)(2),(hzhzHnmemzdHByxqHHExplanation:Transformation from the magnetic energyto the mechanical energy of the system.Magnetic F
21、ieldMechanics Deformation FieldvNumerical Method-Coupled FEM for Multi-fields for Magnetic Field for nonlinearity of MF),(PUKem),(*11PUKJmmemmmmm for Deformation Field for nonlinearity of MDF)()(UQUUKme)()(*11QUUKAUUnnmennnn for nonlinearity of coupling fields:nmnm,1,UUSolutionsvNumerical Simulation
22、 Results (1)Linear magnetization and linear deformation for ME systemNote:i)For cantilevered SFM plate in transverse magnetic field.ii)Edge effect of magnetic field included.Zheng XJ,Zhou YH,Wang X,et al ASCE J.Eng.Mech.1999(2)Nonlinear magnetization and linear deformation for ME systemSFM simply su
23、pported plate in oblique magnetic field:Wmax vs.B0.SFM simply supported plate in oblique magnetic field:Wmax vs.Zheng XJ,Wang X,INT.J.Solids Struct.2001(3)Linear magnetization and nonlinear deformation for ME systemZheng XJ,Wang X,ASCE J.Eng.Mech.2003Effect of incident angle on B0cr for SFM cantilev
24、ered plate0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0-0.0 8-0.0 40.0 00.0 40.0 8w/hy /bx /a0.00.20.40.60.81.00.00.20.40.60.81.0-0.6-0.4-0.20.00.2w/hy /bx /a(b)Post-buckling(a)Pre-buckling(4)Mathematic Modeling and simulation For SFM dsDCSme )1(2)1(21221,222222uStrain energy of shell对已有实验的模拟数值模型数值模型Zheng XJ
25、,Wang X,INT.J.Solids Struct.2003(1)Magnetic energy of MTE system(Magnetization nonlinearity)dsdvdvdHBSHem00)(20)(0)(21)(,Bnuuu(2)Total mechanical energy of thermoelasticity for MTE system ttSmeme SmememedsdvTTTTCTTtrtr dsdvTTTTETGG uFuuFueufeeeef020022)()()23(:)(21),(,vMathematic Modeling(广义磁热弹性变分理论
26、广义磁热弹性变分理论)Magneto-thermo-elastic generalized variational principle (3)Heat potential energy of thermal flux of MTE system dsTHTTHqdvThTkTpSthTTT 21)()(2122212(4)Functional of total generalized energy of MTE system ,TTTthmeemuuu(5)Magneto-thermo-elastic generalized variational principle 0,TTTTTuuuuu
27、Magnetic FieldGoverning equations&Boundary conditionsDeformation FieldGoverning equations&Boundary conditionsThermal FieldGoverning equations&Boundary conditionsvAnalysis(Magneto-thermo-elastic buckling of SFM plate)解析分析磁热弹性板的屈曲问题解析分析磁热弹性板的屈曲问题 Equations :Equations for magnetic field;T:Equations for
28、 thermal field;w:Bending equation of plate:),(2)(1)(22222022222yxqywNyxwNxwNzdzTTEwDemzyxyxhh Solutions For simply supported rectangular SFM plates(without edge effect)磁场磁场温度场温度场结构变形场结构变形场+)()(sinsin00uhHHuhHH in in bynaxmAwmnmn线性化、摄动理论线性化、摄动理论 BucklingCase(i).Magneto-elasticity:2343221200*)()(1)1(6
29、2habaYBBcrcrCase(ii).Thermo-elasticity:222*)()(1)1(12habaTTcrcrCase(iii).Magneto-thermo-elasticity:1*2*)(crcrTTBBWang X,Zhou YH,Zheng XJ,Int.J.Eng.Sci.2002For rectangular SFM plates(with edge effect)+磁磁 场场vSimulations(5)Repeat(1)(4)，until the following conditions(1)(2)(3)(4)Wang X,Zheng XJ,Lee J.S.,
30、INT.J.Solids Struct.2003一些耦合场分析实例一些耦合场分析实例2.2.力力-磁耦合动力学问题磁耦合动力学问题 力力-磁耦合动力学模型与数值分析磁耦合动力学模型与数值分析 复杂动力学行为复杂动力学行为:非线性、磁阻尼、混沌非线性、磁阻尼、混沌 Xingzhe Wang,et al.ASCE Journal of Engineering Mechanics,2006,132(4):422-428 Xingzhe Wang,et al.Int J of Mechanical Sciences,2006,48(8):889-898 Xingzhe Wang,Int Confere
31、nce on enhancement and promotion of Computational Methods in Engineering Science and Mechanics,2006,Aug,Changchun,China 一些耦合场分析实例一些耦合场分析实例3.3.空气空气-弹性、空气弹性、空气-弹性弹性-控制控制耦合问题耦合问题 边界耦合问题边界耦合问题 半解析半数值解法半解析半数值解法Background&Objective High density and high speed HDD,VCD/DVD,Floppy Disk.q 应用背景应用背景:Flexible ro
32、tating blades,gas turbines,circular saws 容量容量(磁盘密度磁盘密度):增长了增长了25M25M倍，倍，100%/100%/每年每年驱动电机：驱动电机：几百转几百转/分钟分钟 7500转转/分钟分钟 上万上万尺寸：尺寸：24 24英寸英寸 1.0 1.0 英寸英寸盘片：盘片：24 24片片 2 2-3 3片、单片片、单片 现代高密磁盘发展现代高密磁盘发展 磁盘工业与设计中磁盘工业与设计中(HDD)HDD)的力学问题的力学问题1磁头悬臂的振动、动力稳定性；磁头悬臂的振动、动力稳定性；1读写磁头的悬浮、定位与控制；读写磁头的悬浮、定位与控制；1磁记录介质表面
33、摩擦学；磁记录介质表面摩擦学；1磁盘的噪声与控制；磁盘的噪声与控制；1高速旋转磁盘空气弹性失稳高速旋转磁盘空气弹性失稳颤振，及其控制颤振，及其控制.v Rotating Disk Flutter（颤振颤振）Hydrodynamic instability caused by aeroelastic coupling between rotating disk and surrounding airflow.Critical speed for disk flutter Flutter Speed(临界旋转速度临界旋转速度)旋转振动圆盘具有稳定性旋转振动圆盘具有稳定性:1)屈曲失稳屈曲失稳(行波
34、频率之一行波频率之一 等于零等于零)2)颤振失稳颤振失稳(负阻尼负阻尼)目前盘片颤振抑制研究目前盘片颤振抑制研究 By enhancing the disk stiffness 422)1(12 odrvEhFlutter speedBy designing the base casting Heo et al.(2000)实验实验 Base castingReduce disk-rim to shroud gapSmooth the shroudBy employing air squeeze film Bittner and Shen(1999),Ono and Maeda(2000)，D
35、eeyiengyang and Ono(2001).实验实验 本文研究本文研究 磁盘颤振稳定性分析、临界转速的预测；磁盘颤振稳定性分析、临界转速的预测；提出一种主动控制方式，抑制磁盘颤振失稳；提出一种主动控制方式，抑制磁盘颤振失稳；进行相关实验并给出实验结果；进行相关实验并给出实验结果；与理论预测和数值模拟结果进行对比与理论预测和数值模拟结果进行对比。vTHEORETICAL MODELING（理论模型）（理论模型）rDisk Actuator(Speaker)Disk SensorEnclosureiGeirorerezez Indirect,non-contact method 非接触控制
36、非接触控制 封闭或周边开口封闭或周边开口 问题描述问题描述 Air-coupling force,Acoustic pressure loading,Control acoustic force.Description of rotating disk vibration),(112)()(2422222trqwrrwrrrwwtwtwrBoundary Conditiona)At the clamped edge:0rrrwwb)At the free edge:01)(,0)11(12222122222)(rrrwrwrwrwrrwrrw Mathematical Modeling 数学模
37、型数学模型 空气压力粘性旋转流体压力控制力旋转磁盘振动旋转磁盘振动-空气泡耦合等(Flutter)“多区域(Multi-domain)”边界耦合 各场间有明显的边界，场之间通过按照顺序进行两次或更多次的相关场分析。Description of loadings of system=1200 for mode(0,3);等于零)智能材料的本构关系；High density and high speed“多尺度(Multi-scale)”coefficient matrixCalculation ProcessingBy designing the base casting Heo et al.假
38、设含有参数的变形场、声场的解(1).Aerodynamic Force Induced By Rotating Disk-Airflow Coupling -Rotating Damping Model )1(),(wtwCtrqdfC:Damping coefficient d/:Rotation speed ratioDescription of loadings of system(2).Acoustic Force Induced By Acoustic-Structure Coupling),0,(),0,(),(ttzrttzrtrqaaaThe boundary conditio
39、ns,match conditions on the disk surface and at the clearance between the disk rim and enclosure:Where a is the acoustic velocity potential,and is governed by0 ,0eezzarrazr,)1()0(0 0rtwrzza)(1 00ezarr,0 ,0eezzarrazr2222tMaa声场声场(3).Acoustic Control Force Induced By ActuatorWhere c is the acoustic velo
40、city potential,and is governed byttzrtrqcc),0,(),(控制声场控制声场2222tMcc,0 ,00errczcrz),0,)(aainnzzcSrSrtwerazsre )()(),(sDescription of loadings of system),(trq+),(trqf(1),(trqa(2),(trqc(3)两个问题：两个问题：（1）旋转盘片的空气弹性动力学行为？）旋转盘片的空气弹性动力学行为？（2）颤振反馈控制的实施？）颤振反馈控制的实施？Yasuda et al.(JSME Int J.1992):Aerodynamic force
41、,“damping”and“lift”，the ratio proportional to.Kim et al.(J Sound Vib.2000),Hansen et al.(J Fluids Struct.2001)in an aeroelastic model to include a series of parameters determined for each mode at each rotation speed.),(dmnmnmncS),(nmWang X,Huang,X,Acta Mechanica Sinica,2006Renshaw et al.(J Sound Vib
42、.1994)taking into account the air coupling and examining the eigenvalues of the whole disk systems.?Solutions 半解析半数值求解半解析半数值求解 o Characteristics Difficulties arising from couplings All equations should be solved synchronously),(trwTransverse Displacement),(),(tzrtzrcaDisturbed Acoustic FieldsCouplin
43、gsMatching conditions of velocitiesOn the surface of disk:and the surfaces of actuators:twza),(ssrctwzEquation of disk vibration Solutions 半解析半数值求解半解析半数值求解 )(0)(),(tnimmnmerRctrw,)()(cosh)(1tniknekkakaerJzzd)(1)()cosh(tniknkkckcerJzd假设含有参数的变形场、声场的解假设含有参数的变形场、声场的解 satisfy partial boundary conditions
44、or governing equations caw,(m,n):Disk vibration mode m=:Nodal circle number n=:Nodal diameter number =:EigenvalueGalerkins Method 0cPPPBcafB ,cafPPPc-free vibration of rotating disk-aerodynamic,acoustic,control forces-unknown coefficient matrix Natural FrequencyRe()DampingIm()0 0Unstable Im()0=10000
45、rpm11000rpm12000rpm00.20.40.60.80100200300400500Radial width(r2-r1)GminMode(0,3)Mode(0,4)Mode(0,5)Effect of actuator size on control performance for one actuator(a)Gmin vs.Radial width(Fixed=100)050100150200250020406080Annulus sector angle (Degree)GminMode(0,3)Mode(0,4)Mode(0,5)about 400(b)Gmin vs.S
46、ector angle (Fixed r1=0.7,r2)Case(a)v Disable for control:=1200 for mode(0,3);=900,1800 for mode(0,4);=720,1440,2160 for mode(0,5).Actuatorr2-r1Control performance for two actuators102030405060708090020406080Sector angle (Degree)GminMode(0,3)Mode(0,4)Mode(0,5)About 400(a)Gmin vs.Sector angle (Fixed
47、=900)_Upper Cover Plate#1#2ActuatorActuator Fixed relative angle90Change sector angle Case(b)-Two piezo-patches(G1=G2,1=2)Control performance for two actuators50100150200020406080Relative angle (Degree)GminMode(0,3)Mode(0,4)Mode(0,5)About 750 _(b)Gmin vs.Relative angle (=400/2)_v By dividing one pat
48、ch into two patches and arranging with a proper relative angle,the control gains are smaller.Upper Cover Plate#1#2ActuatorActuatorFixed sector angle Relative angleChange relative angleCase(b)Case(c)-Three piezo-patches (G1=G2=G3)Control performance for three actuators02040608010012001234Sector angle
49、 (Degree)GminMode(0,3)(a)Gmin vs.Sector angle (1=2=3)v Flutter control for modes(0,4)and(0,5)is disable.Change sector angleActuatorUpper Cover Plate12012#1#2Actuator#3Actuator24013Case(c)Control performance for three actuators-150-100-50050100150020406080Relative phase shift 123(Degree)G minMode(0,3
50、)Mode(0,4)Mode(0,5)About-1600(b)Gmin vs.Relative phase shift 123 Fixed locations.Fixed size=400/3.Different phase shift:1,2=1+123,3=2+123.Wang X,Huang,X,AIAA Journal,2006程序设计相关问题程序设计相关问题1.1.程序设计的一般原则程序设计的一般原则v 针对具体问题的特点选择合适的数值方法针对具体问题的特点选择合适的数值方法 问题的复杂程度，数学描述的可选途径 理论知识理论知识 各种方法的优缺点要有认识 阅读与学习阅读与学习 多种
