1、第三节第三节由导数公式由导数公式vuvuuv )(积分得积分得:xvuxvuuvdd 分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd 或或uvvuvudd 1)v 容易求得容易求得;xvuxvudd)2 比比容易计算容易计算.:)d(的原则的原则或或及及选取选取vvu 分部积分法分部积分法 第四章第四章 定理定理 )()(.)(,)(xvxuIxvxu 若函数若函数上可微上可微在区间在区间设函数设函数 ,则则上的原函数存在上的原函数存在在区间在区间 I .d)()()()(d)()(xxvxuxvxuxxvxu .分部积分公式分部积分公式该公式称为不定积分的该公式称为不定积分的 .函数的积分计算
2、函数的积分计算一个一个数的积分计算转化为另数的积分计算转化为另分部积分公式将一个函分部积分公式将一个函一般说来一般说来,当被积函数为下列形式之一时当被积函数为下列形式之一时,可考虑可考虑运用分部积分法进行计算运用分部积分法进行计算:幂函数与三角函数幂函数与三角函数(或反三角函数或反三角函数)之积之积,指数函数与三角函数指数函数与三角函数(或反三角函数或反三角函数)之积之积,幂函数与指数函数之积幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分一个函数难于用其它方法积分,两个函数的乘积两个函数的乘积.例例1.求求.dcosxxx 解解:令令,xu ,c
3、osxv 则则,1 uxvsin 原式原式xxsin xxdsinCxxx cossin思考思考:如何求如何求?dsin2xxx 提示提示:令令,2xu ,sin xv 则则原式原式xx cos2 xxxdcos2 例例2.求求.dlnxxx 解解:令令,ln xu xv 则则,1xu 221xv 原式原式=xx ln212 xxd21Cxxx 2241ln21例例3.求求.darctanxxx 解解:令令,arctan xu xv 则则,112xu 221xv 原式原式xx arctan212 xxxd12122xx arctan212 xxd)111(212xx arctan212 Cxx
4、 )arctan(21例例4.求求.dsinxxex 解解:令令,sin xu xev ,则则,cosxu xev 原式原式xexsin xxexdcos再令再令,cosxu xev ,则则,sin xu xev xexsin xxexexxdsincos故故 原式原式=Cxxex )cos(sin21说明说明:也可设也可设veux ,为三角函数为三角函数,但两次所设类型但两次所设类型必须一致必须一致.:,可能会出现下列关系式可能会出现下列关系式在运用分部积分法时在运用分部积分法时该例显示该例显示 .)1(d)()(d)(axxfaxxxf ,便可得出便可得出后后任意常数任意常数经移项并在等式
5、右端加经移项并在等式右端加此时此时C 所求的不定积分所求的不定积分 .)(11d)(Cxaxxf 例例5解 .dcos xxex计算计算 dsinsindcos xxexexxexxx)dcoscos(sin xxexexexxx dcoscossin xxexexexxx .)cos(sin21dcos Cxxexxexx 故故解题技巧解题技巧:的一般方法的一般方法及及选取选取vu 把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积,按按“反对幂指三反对幂指三”的的顺序顺序,前者为前者为 后者为后者为u.v 例例6.求求.darccosxx 解解:令令,arccosxu 1 v,则则,21
6、1xu xv 原式原式=xxarccos xxxd12xxarccos)1d()1(212221 xxxxarccos Cx 21反反:反三角函数反三角函数对对:对数函数对数函数幂幂:幂函数幂函数指指:指数函数指数函数三三:三角函数三角函数例例7.求求.dcoscosln2xxx 解解:令令,coslnxu xv2cos1 ,则则,tan xu xvtan 原式原式=xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd)1(sec2xxcoslntan Cxx tan例例8.求求.dxex 解解:令令,tx 则则,2tx ttxd2d 原式原式tettd2 tet(2 Cxxe )
7、1(2,tu tev )te C 令令 如果需要，条件又允许，则不定积分的如果需要，条件又允许，则不定积分的换元法、分部积分法等可以混合起来使用换元法、分部积分法等可以混合起来使用。例例9.求求.)0(d22 axax解解:令令,22axu ,1 v则则,22axxu xv 22axx xaxxd22222axx xaxaaxd)(2222222axx xaxd22 222daxxa 原式原式=2221axx Caxxa )(ln2222 xaxd22例例10.求求.)(d22 nnaxxI解解:令令,)(122naxu ,1 v则则,)(2122 naxxnuxv nIxaxxnnd)(21
8、222 naxx)(22 xaxnnd)(2122 naxx)(22 nIn2 122 nIan得递推公式得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21 222)(aax naxx)(22 利用递推关系式利用递推关系式可以由低次幂函可以由低次幂函数的积分计算出数的积分计算出高次幂函数的积高次幂函数的积分分.说明说明:递推公式递推公式 nnaxxI)(d22已知已知CaxaI arctan11利用递推公式可求得利用递推公式可求得.nI例如例如,3I2222)(41axxa 2243Ia 2222)(41axxa 243a 22221axxa 1221Ia 2222)(41axxa
9、22483axxa Caxa arctan835nnnIannaxxanI22221212)(21 例例11.证明递推公式证明递推公式)2(1tandtan21 nInxxxInnnn证证:xxxInnd)1(sectan22 )d(tantan2xxn 1tan1 nxn2 nI2 nI注注:0IIn或或1I 0I,Cx 1ICx cosln说明说明:分部积分题目的类型分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分直接分部化简积分;2)分部产生循环式分部产生循环式,由此解出积分式由此解出积分式;(注意注意:两次分部选择的两次分部选择的 u,v 函数类型不变函数类型不变,解出积分后加解出积分后加 C
10、)例例43)对含自然数对含自然数 n 的积分的积分,通过分部积分建立递通过分部积分建立递 推公式推公式.例例12.已知已知)(xf的一个原函数是的一个原函数是,cosxx求求.d)(xxfx 解解:xxfxd)()(dxfx )(xfx xxfd)(x xxcosCxx cos xsinCxx cos2说明说明:此题若先求出此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2 例例13.求不定积分求不定积分.d xI 232)1(x 解法解法1 先换元后分部先换元后分部令令,arctan xt 即即,tantx 则则 teIt3sectt
11、dsec2 ttetdcos tetsinttetdsin tetsin ttetdcos tetcos 故故CettIt )cos(sin21 21xearctantx121x 21xx 211x Cxe arctanxeIxdarctan 232)1(x xexIarctand112 xexxxexarctand1arctan1122 )1(arctan112xxex I CxexxI arctan1212解法解法2 用分部积分法用分部积分法xexarctan112 xd 232)1(x xexarctanvu内容小结内容小结 分部积分公式分部积分公式xvuvuxvudd 1.使用原则使用
12、原则:xvuvd 易求出易求出,易积分易积分2.使用经验使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前前 u 后后v 3.题目类型题目类型:分部化简分部化简;循环解出循环解出;递推公式递推公式4.计算格式计算格式:vu 例例14.求求 xxId)ln(sin解解:令令,ln xt 则则texexttdd,tteItdsin tetsintetcos ttetettdcossintsin te Ittet )cos(sinCtteIt )cos(sin21Cxxx )cos(ln)sin(ln21可用表格法求可用表格法求多次分部积分多次分部积分uexexuudd,例例15.求求.d)(ln43 xxx解
13、解:令令则则原式原式,ln xu ue34uueud ueuud44 4uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415 原式原式=ue4414u3u 243u u83 323 C Cxxxxx 323ln83ln43lnln412344 dxxx cos:4练习练习xxDDcos41 34x212xx24240 xsinxcosxsinxcosxsinxx sin4xx cos34xx sin212xxcos24xsin24.c+思考与练习思考与练习1.下述运算是否正确？下述运算是否正确？xxxdsincos xxxxxdsin)sin1(sins
14、in xxxxdsinsincos12 xxxdsincos1,1dsincosdsincos xxxxxx得得 0=1答答:不定积分是原函数族不定积分是原函数族,相减不应为相减不应为 0.求此积分的正确作法是用凑微分法求此积分的正确作法是用凑微分法.xxsinsindCx sinln2.求求 xbxaeIkxd)cos(对比对比 P354 公式公式(128),(129)提示提示:)cos(bxa)sin(bxaa )cos(2bxaa xkek21 xkexkek1备用题备用题.求不定积分求不定积分解：解：.d1 xeexxx方法方法1(先分部先分部,再换元再换元)xexexxd1 )1(d1xxeex x2)1(d xe12 xex xexd12令令,1 xeu则则uuuxd12d2 uuud142212 xex112 uCuu )arctan(44Ceexx 1arctan41412 xex方法方法2(先换元先换元,再分部再分部)令令,1 xeu则则,)1ln(2ux 故故 xexexxd1 uuuuuud12)1ln()1(222 uud)1ln(22)1ln(22uu uuud1422 1)1ln(22uu u4 Cu arctan412 xexCeexx 1arctan4141 uuuxd12d2
