1、专 题 1 导 数 的 三 板 斧 之 切 线 切线、同构、分而治之被称为导数的三板斧，这也是导数求最值证明不等式的核心力量， 如果需要一个打辅助的，那就是“指数找基友，对数单身狗”，以此作为本章开篇是因为这 三板斧均在秒 1 和秒 2 中闪亮登场，作为指对跨阶新贵，同构更是大篇幅介绍，点燃了 2019 年的一把火，相比之下，有一个绝招却被大家忽视了，这就是分而治之。2020 年，三板斧 聚齐，才能形成闭环效应，缺一不可。 第一讲 切线的根基玩法 y x 在点 (0， 1) 处的切线方程为 y x 1，我们通常表示为 ex x 1，当仅当 x 0 e 时等号成立； y ln x 在点 (1，
2、0) 处的切线方程为 y x 1，我们通常表示为 ln x x 1，当 仅当 x 1 时等号成立；这两个是全天下皆知的事情，殊不知所有切线，都可以按照这个套 路法来求。 x y e 在点 (1， e) 处的切线方程我们可以按照不等式等效替换法求得，抓住 x 1 是切 点，故将原来的 x 替换为 x 1，即 ex 1 (x 1) 1 ex ex ，故切线方程为 y ex ，同理， 1 2 x 1 ex 1 x 求得 y e 在点 (1， e ) 处的切线方程可以根据 (x 1) 1 e x e e y 1 2 x ； e e x y e 的切线方程为 y 2x b ，抓住 k 2 ，由于我们所知
3、道的切线方程斜率为 1， 故 可 以 通 过 除 法 变 成 熟 悉 形 式 ： x e b ex 2 xln2 ln 2 1 x 2 2ln 2 2 2 ，根据此不等式， x b x e x e x x b 2 2 我们可以得出三个结论： y ex 在斜率为 2 的位置的切线方程为 y 2x 2 2ln 2 ，若 ex 2 恒成立，则 b 2 2 ln 2 ； ex ax 2 2ln 2 恒成立，则 0 a 2 . x b y ln x 的 切 线 方 程 为 y 2x b ， 抓 住 2x 为 整 体 ， ln ，根据此不等式，我们可以得出三个结论： ylnx 2x 2x 1 ln x 2
4、x 1 ln 2 2x b 在斜率为 2 的位置的切线方程为 y 2x 1 ln 2 ，若 ln x 2x b 恒成立，则 b 1 ln 2 ； ln x ax 1 ln 2 恒成立，则 a 2 . x y ln x 在点 (2， ln 2) 处的切线方程，我们抓住 x 2 是切点，即 1，故将原来的 x 2 替 换 为 x 2 x x x x ， 即 ln 1 ln x ln 2 1 ln x 1 ln 2 2 2 2 2 ， 故 切 线 方 程 为 x y 1 ln 2 ，同理， y ln x 在点(e，1)处的切线方程可以根据 lnex ex 1 ln x ex ，求 2 得切线 y e
5、x ； 秒杀秘籍：指数对数切线找点 指数切线切点找点： 0 1 e 0 x e x ex x x x ，转化为 ex x x ( 1) 0 0 0 x x x 对数切线切点找点： ln 1，转化为 ln x 1 ln x 0 x x x 0 0 0 指数切线斜率找点： b 0 ln k b k(1 ln k) ex ， kx x 1 对数切线斜率找点： ln x kx b x 0 ， b 1 ln k k 总结归纳起来，就是指数平移找点，对数倍缩找点，那么在一些其它常见函数，是否也有类 似性质呢？ 1 我们介绍几个常见的切线不等式，在 x 1 作为切点时， x2 2x 1， x 2 x ； 用
6、 x 2 替换 x 1 当中切线不等式的 x ，可得在 x 2 作为切点时， x2 4x 4 ， 1 x 1 ； x 4 同理，当 x x 作为切点时， 用 0 x x 0 替换 x 得： 2 2x x x 2 x ， 0 0 1 x 2 x ； 这个都是倍 x x 2 0 0 缩找点，通常都是按照 x 1 的切线方程进 行 x x 0 替换，这种方式适合对数函数、反比例函数、 对勾函数和飘带函数等，这一系列函数通常为凸函数，通常在 x 0 处没有意义。 关于平移找点，通常出现在 x 0 有切线的凹函数，比如指数函数，二次函数，三次函数等， 关于 ex x 1、 x2 0 和 x3 0 这三个
7、在 x 0 处的切线不等式，为了求得 x 1 处的切线不 等 式 ， 我 们 分 别 用 x 1 替 换 ， ex 1 x ex ex ， (x 1)2 0 x2 2x 1 ， (x 3 x3 x2 x x x x ，虽然三次函数切线式我们很少这 1) 0 3 3 1 3 (2 1) 3 1 3 2 样求，但我们仅用此来解释切线找点方法. 当然，有的也需要根据题意去变化， x ln(x 1) 和 e2x 2x 1 这些式由于题目给到了 ln(x 和 e2x 这类非原始的指数对数函数，关键问题还是找准切点进行放缩. 1) 秒杀秘籍：切线求和定理 y ) 与 y g(x) 在点 x x 0 的切线
8、方程分别为 y l1(x) 和 y l 2 (x) ， 则 y f (x) g(x) 在 f (x 点 x x 处的切线方程为 l1(x) l (x) y .例如：y ex ln 2x ex (ln x ln 2) 在 点 x 1 处 0 2 切 线 方 程 为 y ex 切 线 y ex 与 y ln x ln 2 的 切 线 y (x 1 ln 2) 的 和 ， 即 y (e 1)x 1 ln 2 . 例 1.（2019上高县校级月考）已知 f（x）为奇函数，当 x0 时，f（x）ln（x）x， 则曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程是（ ） A2x+y10 B2xy10 C2x
9、+y+10 D2xy30 解：法一：设 x 0 ，则 x 0 ， f (x) 为 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， f (x) ln(x) x ， f (x) f (x) lnx x ， 则 1 f (x) 1(x 0) ， x 则 f (1) 2 ， 又 f (1) 1 ， 曲 线 y f (x) 在 点 (1 ， f (1) ) 处 的 切 线 方 程 是 y 1 2(x 1) ， 即 2x y 1 0故选： A 法二：根据奇函数定理可知 x 0 时， f (x) f (x) ln x x ，由 于 y x 切线为 y x ， y ln x 在 x 1 处切线为 y x 1，即 y
10、f (x) 切线为 y 2x 1故选：A 例 2.（2018南山区校级期末）已知曲线 C 的方程为 yl n（x+1）+e2x，则曲线 C 在点 A（0， 1）处的切线方程为（ ） Ay3x+1 By2x+1 Cy3x+1 Dy2x+1 例 3 （ . 2019河南月考）若曲线 yex+1 在 x0 处的切线，也是 ylnx+b 的切线，则 b （ ） A1 B2 Ce D3 解：法一：yex，x0 处的切线斜率为 k1，又切点（0，2），x0 处的切线方 程为 yx+2， ylnx+b 的导数为 y ，设切点坐标为（x0，y0）， 1，x01，y0x0+23， 切点坐标为（1，3），代入 y
11、lnx+b，得：b3，故选：D 法二： ex 1 x 11 x 1 3 ln x 3，得：b3，故选：D 例 4.（2019河南月考）若函数 f（x）e2x+1，则曲线 yf（x）在点晦 ，晦 处的切 线方程为（ ） A2x+y+20 B2xy+20 C2x+y20 D2xy20 1 1 f ( ) e 1，又 f (x) 2e2x 1 ， 2 2 解：法一： f (x) e2x 1 ， 0 f ( ) 2 1 1 曲线 y f (x) 在点 ( , f ( ) 处的切线方 程为 2 2 1 y 1 2x ( )， 即 2x y 2 0 故选： 2 B 法二：抓住切点 1 x ，即 2x 1
12、0 ，故 e2x 1 2x 11， ，即 2x y 2 0 故选：B 2 例 5.（2019南阳期中）设函数 f (x) x ex ，直 线 y kx b 是曲线 y f (x) 的切线，则 k b 的最大值为 ( ) A e B2 C1 e D1 e 例 6.（2019烟台期中）已知函数 f (x) x2 的在 x 1处的切线与函数 g(x) e x 的图象相 切， a 则实数 a ( ) A e B e e 2 C e 2 D e e 例 7（. 2019昌江区校级期中）函数 f (x) x2 ，g(x) 2lnx a 的图象有公共点，则 a ( ) Ae,) B (1,) C1， ) D
13、 (,1 例 8.（2019福建月考）若直线 y kx b 既是曲线 y lnx 2 的切线，又是曲线 y ln(x 3) 的切线，则 b 注意：此题有一个结论，就是两个形状完全相同的函数公切线，斜率一定为平移的纵坐标（下 移）比上横坐标（左移）的比值，本题 2 k ，即为 y ln x 2 经过下移 2 个单位和左 移 3 3 个单位后得到 y ln(x 3) ，这个具体的证明可以参考秒 1 的数形结合秒杀公切线专题。 第二讲 六大函数切线问题 x 学习导数，一定要拿下常规的六大函数为 y xex 、 y 、 y x e x e 、 y xln x 、 y x ln x 、 x y x ，由
14、于在之前秒 2 的同构式介绍了很多六大函数，这里就只介绍他们切线的表达 式. ln x 先选取函数 y xex 在 x 0 处切线不等式 xex x ，再选取 x 1 处进行变换，根据切线找点 定理，用 x 1 替换 x 得： (x 1)ex 1 x 1 xex ex ex e ，再根据切线求和定理得 xex x 2 ，再同除以 x 得： e ex e ex e e xex 2 x 2 ，故 ex e e e x ex1 2ex 1 1 x ，如 图可知，由于 x y e 和反比例函数属于凹凸不一致，故此函数的切线切点变化空间相对比 较 狭窄，变化更多的显然在对数函数，这也印证了那句口诀，指对
15、混合型不等式，往往“放对 再放指，不行找基友”。 关 于 y x 2 ex e e ， 通 常 的 切 线 在 x 2 处 ， 即 x ， 其 实 就 是 来 自 x x 4 x 2 ex e ex x 的推导式； ex e e x 2 2 2 4 ln x 关于对数切线，最常见的就是切线的不等式连串， x x xln x x 1 ln x 2 ，当仅当 x x 1 时等号成立（如图），证明过程均来自不等式 x 1 ln x 的推导，具体切线放缩技巧 我们会在例题中一一道来； 例 9.（2019贵州期末）若曲线 f (x) mxex n 在点 (1 ， f (1) ) 处的切线方程为 y ex
16、 ，则 m n 的值为 ( ) A e 1 2 B e 1 2 C 1 2 D e 2 解：法一：由 f (x) mxex n ， 得 f (x) mex mxex ，又曲线 f (x) mxex n 在点 (1 ，f (1) ) 处的切线方程为 y ex ， f (1) me m e f (1) me me e ，解得 1 m 2 e n 2 e 1 ，m n 故选： A 2 法二： 1 e xex x 2ex e mxe n 2mex me n ex m n 故选：A 2 例 10.（2019香坊区校级期末）已知函数 f (x) e x1 x 1 ，则函数 f (x) 在 x 1处的切线方
17、程 为 ( ) A x 4y 1 0 B x 4y 1 0 C x y 0 D x 4y 3 0 例 11.（2019内考月考）曲线 f (x) x2 xlnx 在点 (1 ，f (1) ) 处的切线与直线 x ay 1 0 平 行，则 a ( ) A 1 3 B 1 2 C1 D2 例 12.（2019临夏市校级月考）函数 f (x) 1 lnx 的图象 在 x x 1 处的切线方程是 ( ) e A ex y 1 0 B ex y 1 0 C e2 x y e 0 D e2 x y e 0 例 13.（2019南平期末）设函数 f (x) xlnx 的图象与直线 y 2x m 相切，则实数
18、 m 的值为 ( ) A e B e C 2e D 2e 例 14.（2019杏花岭区校级月考）若 P 是函数 f (x) xlnx 图象上的动点，点 A(0， 1) ，则 直线 AP 斜率的取值范围是 ( ) 1 A1， ) B0 ，1 C ( e ， e D ( ， 1 e 例 15.（2019沙坪坝区校级月考）曲线 y (2x 1)ex 在点 (0,1) 处的切线方程为 例 16.（2019安康月考）若曲线 f (x) (ax 1)ex 2 在点 (2 ， f (2) ) 处的切线过点 (3， 3) ， 则函数 f (x) 的单调递增区间为 ( ) A (0,) B (,0) C (2,
19、) D (,2) 第二讲 双变量乘积最值问题 秒杀秘籍：找点+同构秒杀双变量乘积最值根据指数切线斜率找点： 2 2 2 a e a a e ex ， 2 根据对数切线斜率 ax b x ln a b a(1 ln a) ab a ln ln 0 e 2 e e 2 2 2 找点： ln 1 1 x ax b x ， b 1 ln a ab a(1 ln a) aeln ae 0 a e 1 2 e 有关 ex ax b 或者 ln x ax b 恒成立，求 ab 的最大值问题，最早来自于 2012 高考， 此类型题就是切线+同构求出最值，在之前秒 1 里面，我们介绍了零点比大小来秒杀双变量 比
20、值以及双变量加法问题，其几何本质就是在零点位置相切，双变量乘法本质来自于切线斜 率和截距乘积，在最后最值得处理中往往需要用到同构. 1 例 17.（2012新课标）已知函数 f (x) 满足 f (x) f (1) e 1 f (0)x x2 ； x 2 （1）求 f (x) 的解析式及单调区间； 1 （2）若 f (x) x2 ax b ，求 (a 1)b 的最大值 2 例 18.（2020四川模拟）已知直线 y 2x 与曲线 f (x) ln(ax b) 相切，则 ab 的最大值为 ( ) A e 4 B e 2 C e D 2e 解：法一：设切点为 (x ，ln(ax b) ，则 由 0
21、 0 a f (x ) 2 0 ax b 0 1 ，得 ax b a(a 0) ， 0 2 又由 ln(ax b) 2x ， 得 0 0 1 1 a a a a a x ln(ax b) ln ，则 b ax ln ， 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a 1 1 a 有 ab a2 a2ln (a 0) 令 g(a) a2 a2ln ， 则 g(a) 2 2 2 2 2 2 1 a a( ln ) 2 2 故当 0 a 2 e 时， g(a) 0 ；当 a 2 e 时， g(a) 0 当 a 2 e 时， g(a) 取极大值 也 是 最 大 值 为 g(2 e) e 故 选 ：
22、 C 法 二 ： 2 a a 2b a 2b a 2b a 2x ln(ax b) ln (2x ) 2x ln (2x ) 1 ln ln(2x ) ab (1 ln ) 2 a 2 a 2 a 2 2 2 2 2 2 1 a a a a a a 1 2 2 ，同构， h(x) xln x ，则 ab (1 ln ) ln e ln e e e 2 2 2 2e 4e 4e e . 2 2 a 2 2 2x a a ln a 2b 法三： 2x ln(ax b) e x ax b e x ) 1 2 ab (1 ln 2 2x ln 2 a 2 2 ， 法 四 ： 暴 力 结 论 ： e x
23、 ln(ax b) ab ， 则 2 a a e 2x ln(ax b) x ln( x b) b ab e ，俗话说大题用套路，小题用结论，虽然 2 2 2 某些老师反感用结论来秒杀，但在摸清楚结论来源后，才知道结论如何关键时候关键使用， 从而达到高观点低运算。 例 19.（2019沧州月考）已知常数 a ，b R ，且不等式 x alnx a b 0 解集为空集，则 ab 的最大值为 例 20.（2020景德镇一模）已知函数 1 1 f (x) ( a)ln(x )(x 0) x a （1）当 a 1时，证明函数 f (x) 是增函数；（2）是否存在实数 k ，使得只有唯一的正数 a ， 当 x 0 时恒 有： 1 f (x) k(x ) ，若这样的实数 k 存在，试求： k ， a 的值，若不存在， 请 a 说明理由
