1、双曲线定义 一、同步知识梳理 一双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双 曲 线 定 义 ： 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2| ） 的 点 的 轨 迹 （ PF （ a 为常数） 这两个定点叫双曲线的焦 点 1 PF 2a F F 2 1 2 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支； 当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、
2、F2 为端点向外的两条射线； 当 2a|F1F2|时，动点轨迹不存在. x y y x 2 2 2 2 2.双曲线的标准方程： 1和 1（a0，b0）.这里b2 c2 a2 ，其中| a b a b 2 2 2 2 意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. F 1 F |=2c.要注 2 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 x2 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正数，则焦点 在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴 上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置；
3、设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二双曲线的内外部： (1)点 P(x , y ) 在双曲线 0 0 x y x y 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0) 的内部 a b 2 2 1 0 0 . a b a b x y x y 2 2 2 2 (2)点 P x y 在双曲线 2 2 1( 0, 0) 的外部 ( , ) a b 2 2 1. 0 0 0 0 a b a b 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x y 2 2 (1）若双曲线方程为 1 a b 2 2 渐近线方程： x y 2 2 b 2 2 0 y x . a b a x y b (2)若渐近线方程为 y x 0 a a
4、 b x y 2 2 双曲线可设为 a b 2 2 . x y x y 2 2 2 2 (3)若双曲线与 1有公共渐近线，可设为 a b a b 2 2 2 2 上）. 四双曲线的简单几何性质 （ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴 2 x 2 a 2 y 2 b =1（a0，b0） y M1 P M2 范围：|x|a，yR 对称性：关于 x、y 轴均对称，关于原点中心对称 顶点：轴端点 A1（a，0），A2（a，0） 渐近线： F1 K1 o A1 K2 A2 F2 x 1 x y 2 2 若双曲线方程为 1 a b 2 2 x y 2 2 渐近线方程 0 a b 2 2 y b
5、 a x x y b 若渐近线方程为 y x 0 a a b x y 2 2 双曲线可设为 a b 2 2 x y x y 2 2 2 2 若双曲线与 1有公共渐近线，可设为 a b a b 2 2 2 2 轴上） （ 0，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点 在 y x y x y 2 2 2 2 与双曲线 1共渐近线的双曲线系方程是 a b a b 2 2 2 2 ( 0) x y x y 2 2 2 2 与双曲线 1共焦点的双曲线系方程是 1 a b a k b k 2 2 2 2 六.弦长公式：若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A、B， 且 x1, x 2 分别为 A、B 的横坐标
6、，则 AB 1 k x x ， 若 2 1 2 y1, y 2 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB 1 1 y y 。 k 2 1 2 二、同步题型分析 题型 1：运用双曲线的定义 x y 2 2 例.、P 是双曲线 1的右支上一点，点 M , N 分别是圆(x 5)2 y2 4和 (x 5)2 y2 1上 的动点， 9 16 则 PM PN 的最小值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D4 【答案】C 【解析】 由题已知，两圆圆心为双曲线的焦点 由此 PF 1 PF 2a 6 2 F 和 1 F ， 2 M 和 N 分别为圆上点，所以 PM PN 最小值为 1 r PF r 2a r r 6
7、 3 3 PF 1 2 2 1 2 x y 2 2 举一反三、如图所示， F 为双曲线C : 1的左 9 16 焦点，双 曲线C 上的点 P7 i i 关于 y 轴对称， P 与 1,2,3 i 则 P1F P F P F P F P F P F 的值是（ ） 2 3 4 5 6 A9 B16 C18 D27 【解析】 P1F P F P2F P5F P3F P4F 6 ，选 C 6 2 y 2 举一反三、设 P 为双曲线 x2 1上的一点 F1、F 2 是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则 PF1F2 12 的面积为 （ ） A 6 3 B12 C12 3 D24 【解
8、析】 a 1, 12, 13,由| 1 |:| | 3: 2 b c PF PF 2 又| 1 | | PF | 2a 2, PF 2 由、解得| PF 1 | 6,| PF | 4. 2 | P F 1 | PF | 52,| F F |2 | 2 2 2 1 2 52, 1F 为直角三角形， PF 2 1 1 PF | PF | | PF | 6 4 12.故选 B。 S F 1 2 1 2 2 2 举一反三、已知动圆 M 与圆 C1： （ x+4）2+y2=2 外切，与圆 C2： （ x-4）2+y2=2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方 程. 【解析】 设动圆 M 的半径为 r， 则由已
9、知|MC1|=r+ 2 ， |MC2|=r- 2 ， |MC1|-|MC2|=2 2 . 又 C1（-4，0） ， C2（4，0） ， |C1C2|=8，2 2 |C1C2|. 根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1（-4，0） 、 C2（4，0）为焦点的双曲线的右支. a= 2 ，c=4， b2=c2-a2=14， 2 y 2 x 点 M 的轨迹方程是 2 14 =1（x 2 ）. 题型 2 求双曲线的标准方程 例、已知双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 A x 2 20 - y 2 5 =1
10、 B. x 2 5 - y 2 20 =1 C. x 2 80 - y 2 20 =1 D. x 2 20 - y 2 80 =1 3 【答案】A 【解析】设双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 的半焦距为 c ，则 2c 10,c 5 . 又C 的渐近线为 b b y x ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，1 2 ，即 a 2b . a a 又 c2 a2 b2 ，a 2 5,b 5 ，C 的 方程为 x 2 20 - y 2 5 =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是 近年来常考题型. 举一反三、
11、已知双曲线 C 与双曲线 程 2 x 16 2 y 4 =1 有公共焦点，且过点（3 2 ，2）.求双曲线 C 的方 【解析】设双曲线方程为 2 x 2 a 2 y 2 b =1.由题意易求 c=2 5 . 又双曲线过点（3 2 ，2）， (3 2 2) 2 a 4 2 b =1. 又a 2+b 2，a2=12，b2=8. 2=（2 5 ） 故所求双曲线的方程为 2 x 12 2 y 8 =1. 举一反三、1 已知双曲线的渐近线方程是 x y ，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方 程 2 为 ； 【解析】设双曲线方程为 x2 4y2 ， x y 5 2 2 当 0 时，化为 1，2
12、10 20 4 4 ， y y 5 2 2 当 0 时，化为 1，2 10 20 ， 4 4 综上，双曲线方程为 x y y x 2 2 2 2 1或 1 20 5 5 20 举一反三、已知点 M (3, 0) ， N(3,0)， B(1, 0) ，动圆C 与直线 MN 切于点 B ，过 M 、 N 与圆C 相切的两直 线相交于点 P ，则 P 点的轨迹方程为（ ） A y 2 x2 1(x 1) B 8 y 2 x2 1(x 1) 8 4 y 2 C x2 1（x 0） D 8 y 2 x2 1(x 1) 10 【解析】 PM PN BM BN 2 ， P 点的轨迹是以 M 、 N 为焦点，
13、实轴长为 2 的双曲线的右支，选 B 题型 3 与渐近线有关的问题 x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） y 2 例 3.焦点为（0，6），且与双曲线 1 2 2 x y B 1 y D 1 A 1 2 2 2 2 2 2 2 2 y C 1 x x x y 12 24 12 24 24 12 24 12 2 【解析】具有相同的渐近线的双曲线 y x ， 2 焦点（0，6），推出 a b 2 2 ， c 6 y x 得到 a 2 3,b 2 6 ，得到 1 12 24 2 2 1 举一反三、过点（1，3）且渐近线为 y x 的双曲线方程是 2 x 2 【 解 析 】 设 所 求 双 曲 线
14、为 y2 k 1 点 （ 1 ， 3 ） 代 入 ： 4 1 35 k 9 . 代 入 （ 1 ） ： 4 4 x 2 35 4y x 2 2 2 y 1即为所求. 4 4 35 35 题型四、离心率 例、双曲线的渐近线方程为 3 y x 4 ，则双曲线的离心率是 。 5 5 3 或 4 【答案】 【解析】 双曲线焦点位置不固定，所以要分类讨论， 当焦点在 x 轴上， b a 3 4 5 ，得出 e 当焦点在 y 轴上， 4 a b 3 4 ， 得 出 e 5 3 举一反三、若圆 (x 2)2 y2 2 与双曲线 x y 2 2 2 2 1( 0, 0) 的渐近线相 切，则双曲线的离心率是 .
15、 a b a b 【答案】 2 5 【解析】圆心坐标 2,0，半径 r 2 ，渐进线bx ay 0，由于圆与直线相切 2a 得出 d r 2 ，解得 e 2 a b 2 2 举一反三、如图，双曲线 x y 2 2 2 2 1 (a,b 0) 的两顶 点为 a b A ， 1 A ，虚轴两端点为 2 B ， 1 B ，两焦点为 2 F ， 1 F . 若 2 以 A A 为直径的圆内切于菱形 1 2 F B F B ，切点分别为 A, B, C, D . 则 1 1 2 2 双曲线的离心率 e ； 5 1 【答案】 e ; 2 考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几
16、何图形的面积计算. 【解析】（）由于以 A A 为直径的圆内切于菱形 1 2 F B F B ，因此点 O 到直 线 1 1 2 2 F 的距离为 a ，又由于虚轴两 2 B 2 端 点 为 B ， 1 B ， 因 此 2 OB 的 长 为 b ， 那 么 在 2 F 中 ， 由 三 角 形 的 面 积 公 式 知 ， 2OB 2 1 2 1 1 bc 2 ( ) ，又由双曲线中存在关系 c2 a2 b2 联立可得出 (e2 1)2 e2 ，根据 a | B F | a b c 2 2 2 2 5 1 e(1,) 解出 e ; 2 三、课堂达标检测 检测题 1：等轴双曲线C 的中心在原点，焦点
17、在 x轴上，C 与抛物线 y2 16x 的准线交于 A, B 两点，AB 4 3 ； 则C 的实轴长为（ ） (A) 2 (B) 2 2 (C) (D) 6 检测题 2：双曲线 x y 2 2 2 1的右焦点与抛物线 y2 12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到 其渐近线的距 离等 4 b 于（ ） A 5 B 4 2 C3 D5 检测题 3：由双曲线 2 y2 x =1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1、F2 构成PF1F2，求PF1F 2 9 4 的内切圆与边 F1F2 的切点坐标. 【解析】 由双曲线方程知 a=3,b=2,c= 13 . 如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双
18、曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a. 由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a. |NF1|+|NF2|=2c. 由得|NF1|= 2 2a c =a+c. 2 |ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3. 故切点 N 的坐标为（3，0）. 根据对称性，当 P 在双曲线左支上时，切点 N 的坐标为（-3，0）. 7 检测题 4：根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线 2 y2 x =1 有共同的渐近线，且过点（-3，2 3 ） ； 9 16 （2）与双曲线 2 y2 x =1 有公共焦点，且过点（3 2 ， 2）. 16 4 【解析】（1）设所求双
19、曲线方程为 2 y 2 x = ( 0), 9 4 将点（-3,2 3 ）代入得 = 1 , 4 所以双曲线方程为 2 y2 x = 9 16 1 ，即 4 4x 2 y2 =1. 9 4 (2)设双曲线方程为 2 x 2 a 2 y =1.由题意易求 c=2 5 . 2 b 又双曲线过点（3 2 ，2）， 2 3 2 2 a - 4 2 b =1. 又a 2，a2=12，b2=8. 2+b2=（2 5 ） 故所求双曲线的方程为 2 y2 x =1. 12 8 检测题 5：已知双曲线的渐近线的方程为 2x3y=0, （1）若双曲线经过 P（ 6 ，2），求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是
20、2 13 ，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是 6，求双曲线方程. 【解析】（1）由双曲线的渐近线方程 y= 2 x 及点 P（ 6 ，2）的位置可判断出其焦点在 y 轴上，（a0,b0） 3 2 2 y x . 故可设双曲线方程为 1 2 2 a b 依题意可得 a 2 b 3 4 6 2 b 2 a 1 2 a 2 b 4 3 . 3. 3 2 2 1 故所求双曲线方程为 y 1. x 4 3 2 2 x y . (2)若焦点在 x 轴上，可设双曲线方程为 1 2 2 a b 依题意 b 2 a 3 2 2 b a 13 2 a 2 b 9, 4. 此时所求双曲线方程为 2 y
21、2 x =1. 9 4 8 2 2 y . x 若焦点在 y 轴上，可设双曲线方程为 1 2 2 a b 依题意 a 2 b 3 2 b a 2 13 2 a 2 b 4, 9. 2 2 y . x 此时所求双曲线方程为 1 4 9 故所求双曲线方程为 2 y2 2 2 x y x . =1 或 1 9 4 4 9 （3）若焦点在 x 轴上，则 a=3,且 b = a 2 . 3 a=3,b=2,双曲线方程为 2 y 2 x =1. 9 4 若焦点在 y 轴上，则 a=3,且 a = b 2 . 3 a=3,b= 2 2 9 ,双曲线方程为 y 1. 4x 2 9 81 故所求双曲线方程为 2
22、 y2 2 2 x y 4x . =1 或 1 9 4 9 81 检测题 6：椭圆 x y 2 2 2 2 1 （ab0）的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1，F2。若|AF1|， |F1F2|， a b |F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_. 【答案】 5 5 【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知： AF a c ， 1 F F c ， 1 2 2 F B a c .又 已 1 知 AF ， 1 F F ， 1 2 F B 成等比数列，故 (a c)(a c) (2c)2 ，即 a2 c2 4c2 ，则 a2 5c2 .故 1 e c 5 . a 5 即
23、椭圆的离心率为 5 5 . 【考点定位】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化 归思想.求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a,c 的方程，然后化为有关 a,c 的齐次式方程，进而转 化为只含有离心率 e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长 轴，短轴长及其标准方程的求解等. 检测题 7：在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x y 2 2 2 1 的离心率为 5 ，则 m 的值为 m m 4 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 9 【解析】由 x y 2 2 2 1得 a= m，b= m
24、2 4，c= m m2 4 。 m m 4 c m m2 4 e= = = 5 a m ，即 m2 4m 4=0 ，解得 m=2 。 设点和设直线的解法 一、专题精讲 题型一、弦中点问题设而不求法 例 1：双曲线 x2 y2 1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. y 2x 1 B. y 2x 2 C. y 2x 3 D. y 2x 3 A x y B x y .则 有： 【解析】设弦的两端分别为 1, 1 , 2, 2 x y 1 y y x x 2 2 1 1 1 2 1 2 x x y y 0 2 2 2 2 1 2 1 2 x y 1 x x y y 2 2 2
25、 2 1 2 1 2 . 弦中点为（2，1）， x x 1 2 y y 1 2 4 y y x x .故直线的斜率 k 1 2 1 2 2 x x y y 1 2 1 2 2 . 则所求直线方程为： y 1 2x 2 y 2x 3 ，故选 C. y 2 例 2、在双曲线 x2 1上，是否存在被点 M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存 2 在，请说明理由. 【 错 解 】 假 定 存 在 符 合 条 件 的 弦 AB ， 其 两 端 分 别 为 ： A （ x1 ， y1 ） ， B （ x2 ， y2 ） . 那 么 ： 1 x y 1 2 2 1 1 1 2 0 1 x
26、 x x x y y y y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x y 1 2 2 2 2 2 . 10 M（1，1）为弦 AB 的中点， x x 2 y y 1 2 1 2 代入 1 ：2 x x y y 0， k 2 1 2 1 2 AB y y 2 x x 1 2 1 2 故存在符合条件的直线 AB，其方程为： y 1 2x 1，即 y 2x 1 . 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了： y 2 其一：将点 M（1，1）代入方程 x2 1，发现左式 =1- 2 1 1 1，故点 M（1，1）在双曲线的外部；其 二： 2 2 所求直线 AB 的斜率 k 2 ，而双曲线的渐近
27、线为 y 2x .这里 2 2 ，说明所求直线不可能与双曲线相 交， AB 当然所得结论也是荒唐的. 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 y 2 x 1 2 2 2 2 1 2 2 4 3 0 2 2 x x x x 2 2 y 2x 1 这里 16 24 0 ，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 结论；不存在符合题设条件的直线. y 2 举一反三、已知双曲线 x2 1,问过点 A（1，1）能否作直线l ,使l 与双曲线交于 P、Q 两点，并且 A 为线 2 段 PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由
28、。 【解析】设符合题意的直线l 存在，并设 P( , )、 ( 2 , y ) x 1 x Q x 2 2 则 2 x 1 2 x 2 y 1 2 y 2 2 2 1 1 (1) (2) 1 1 (2) 得(x )( ) (y )( ) (3) 因为 A （1， 1 x x x 1 y y y 2 1 2 2 1 2 2 2 1）为线段 PQ 的中点，所以 x 1 y 1 x 2 y 2 2 2 (4) (5) 1 将(4)、(5)代入（3）得 x ( ) 1 x y y 2 1 2 2 若 y y x ，则直线l 的斜率 k 1 2 1 x 2 2 x x 1 2 ， 其方程为 2x y 1
29、 0 y 2x 1 2 2 y x 1 2 得 2x2 4x 3 0 根据 8 0 ,说明所求直线 不存在。 举一反三、已知中心在原点，顶点 A1、A 2 在 x 轴上，离心率 e= (1)求双曲线方程 21 的双曲线过点 P(6， 6) 3 11 (2) (2)动直线 l 经过A1PA 2 的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 【 解 析 】 (1) 如 图 ， 设 双 曲 线 方 程 为 2 x 2 a 2 y =1 由 已 知 得 2 b y P 2 6 2 a N G A1 o A2 M x x x 4 12x 9y 1
30、08 y y 12 4 2 2 1 2 1 1 1 2 , y y x y x x 4 12 2 9 2 108 9 3 1 2 2 2 1 2 ，k l= 4 l 的方程为 3 y= 4 3 12 2 2 x 9y 108 (x2)+2,由 4 y (x 2) 3 ,消去 y,整理得 x24x+28=0 =164280,所求直线 l 不 存在 题型二、综合问题-设直线求解 1.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为2, 0，右顶点为 3,0. （）求双曲线 C 的方程 （）若直线 l : y kx 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且OAOB 2 （其中 O 为原点），求 k 的
31、取 值范围 【解析】（1）设双曲线方程为 x y 2 2 2 2 1 由已知得 a 3,c 2 ，再由 a2 b2 22 ，得 b2 1 a b 故双曲线C 的方程为 x 2 3 y2 1. （2）将 y kx 2 代 入 x 2 3 y 得 (13k )x 6 2kx 9 0 2 1 2 2 由直线l 与双曲线交与不同的两点得 2 1 3k 0 2 2 2 6 2k 36(13 ) 36(1 k ) 0 即 2 1 k 且 k2 1. 设 Ax , y ,B(x , y ), ，则 A A A B 3 6 2 9 x y ,x y A B A B 2 2 13k 13k ，由OAOB 2 得
32、 x x y y 2， A B A B 而 x x y y x x (kx 2 )(kx 2) (k 2 1)x x 2k (x x ) 2 A B A B A B A b A B A B 12 9 6 2k 3k 7 2 (k 1) 22k 2 2 13k 13k 3k 1 2 2 2 . 于是 3k 7 2 3k 1 2 2 ，即 3k 9 2 3k 1 2 0 解此不等式得 1 2 3. k 3 由+得 1 3 k 1 2 3 3 故的取值范围为 (1, ) ,1 3 3 举一反三、已知两定点 F1( 2, 0), F 2 ( 2, 0), 满足条件 PF 2 PF 1 2 的点 P 的
33、轨迹是曲线 E，直线kx 1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 （）求的取值范围； （）如果 AB 6 3, 且曲线 E 上存在点 C，使OAOB mOC, 求 m的值和ABC 的面积 S。 【解析】（）由双曲线的定义可知，曲线 E 是以 F1 2,0 ,F 2 2,0 为焦点的双曲线的左支，且c 2,a 1， 易知b 1，故曲线 E 的方程为 2 2 1 0 x y x A x y B x y ，由题意建立方程 组 设 1, 1 , 2 , 2 y kx 1 x y 1 2 2 消去 y ，得 1 k x 2kx 2 0，有 2 2 1 k 0 2 2k 81 k 0 2 2 2k x x
34、0 1 2 2 1 k 2 x x 0 1 2 2 1 k 解得 2 k 1 AB k x x 1 1 k x x 4x x 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2k 2 1 k 4 2 1 k 1 k 2 2 2 1 k 2 k 2 2 2 1 k 2 依题意得 1 k 2 k 2 2 2 6 3 2 1 k 2 ，整理后得 28k4 55k2 25 0 2 5 5 k 或 k2 ，但 2 k 1 7 4 k 5 2 13 故直线 AB 的方程为 5 2 x y 1 0 C x 0 , y 0 ，由已知OAOB mOC 设 ，得 x1, y 1 x 2 , y 2 mx 0 ,my0 x x
35、 y y 1 2 1 2 mx 0 ,my 0 , ，m 0 m m 又 2 x x 4 5 1 2 2 k 1 2k 2 2 ， 2 2 8 y y k x x 1 2 1 2 2 2 k 1 k 1 点 C 4 5 , 8 m m ，将点C 的坐标代入曲线 E 的方程，得 80 64 1得 m 4， m m 2 2 但当 m 4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 5 m 4 ，点C 的坐标为 5,2 ， C 到 AB 的距离为 5 2 1 2 1 2 3 5 2 1 2 ABC的面 积 1 1 S 6 3 3 2 3 二、专题过关 x y 2 2 检测题 1 ：12、已知直线 l 和双
36、曲线 1(a 0,b 0) a b 2 2 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、D。 求证： AB CD 。 【解析】设 A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD 中点为 M(x0，y0)直线 l 的斜率为 k，则 x 2 2 1 a x 2 2 2 a y b y 2 1 2 2 2 2 b 1 1 2x 2y -得 0 0 k 0 a b 2 2 设 B(x1, y),C(x , y ), BC 中点为 M (x , y ) ， 1 2 2 0 0 1 2 x 1 则 a2 2 x 1 2 2 a 2 y 1 1 b 2 2 y 1 2 b 2 0 0 2x 2y 1 -得 1 k
37、 0 0 a b 2 2 2x 2y 由、知 M、 M 均在直线 : 2 0 l k 上，而 M、 M 又在直线 l 上 ， a b 2 14 若 l 过原点，则 B、C 重合于原点，命题成立 若 l 与 x 轴垂直，则由对称性知命题成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直，则 M 与 M 重合 AB CD 检测题 2：已知双曲线 C : x y 2 2 2 2 1 (a 0 , b 0) 与圆 O : x y 3 相切，过C 的左焦点且斜率为 3 的 2 2 a b 直线也与圆O相切 （1）求双曲线C 的方程； （2） P 是圆O上在第一象限内的点，过 P 且与圆O相切的直线l 与C 的右支
38、交于 A 、 B 两点， AOB 的面 积 为3 2 ，求直线l 的方程 【解析】：（1）双曲线C 与圆O相切， a 3 ， 由过C 的左焦点且斜率为 3 的直线也与圆O相切，得 c 2，进而b 1 故双曲线C 的方程为 x 2 3 y2 1 （2）设直线l： y kx m ， (k 0 , m 0) ， ( , ) 2 y A x 1 y ， B(x , ) 1 2 圆心O到直线l 的距 离 m d ，由 d 3 得 m2 3k2 3 k2 1 y kx m 由 2 x y2 1 3 得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 3 0 * 则 6km x x 1 2 2 3k 1 ， 3m 3
39、2 x x 1 2 2 3k 1 AB k2 1 x x 2 1 k 2 1 (x x ) 4x x 2 2 1 1 2 k 2 36k m 12(m 1) 2 2 2 1 (3k 1) 3k 1 2 2 2 k 2 36k (3k 3) 12(3k 4) 2 2 2 1 (3k 1) 3k 1 2 2 2 又 AOB 的面 积 1 3 S OP AB AB 3 2 ， AB 2 6 2 2 15 由 4 3 k 1 2 3k 1 2 2 6 ， 得 k 1， m 6 ，此时* 式 0 直线l 的方程为 y x 6 . 即 2y (x 3x 4) 3 2 x y 1从而直线 PN 恒过定点 G
40、(1, 0) 0 0 0 x 4x 2x 8x 8 4 3 2 0 0 0 0 检测题 3:设点 P 在以 x y 2 2 F 、F 为左、右焦点的双曲线C ： 1(a 0,b 0) 上，PF x 2 轴 ，PF 2 3， 1 2 2 2 a b 点 D 为其右顶点，且 F1D 3DF . 2 （）求双曲线C 方程； （）设过点 M (2,0) 的直线l 与交于双曲线C 不同的两点 A 、 B ，且满 足 2 2 2 OA OB AB , (其中O 为原 点)，求直线l的斜率的取值范围. b 2 【解析】（）由题意，得 3,a c 3(c a) 且 c2 a2 b2 ， a 解得 a 1,b
41、3,c 2， y 2 则双曲线C 的方程为 x2 1 3 （）设 A(x1, y ) ， ( 2 , y ) B x ，由 1 2 2 2 2 OA OB AB ，有 0 AOB 90 AOB 0 OA OB x1x y y cos 0 2 1 2 0 显然， k 0不合题意； AB 当 AB x 轴时， A(2,3), B(2,3)，OAOB 5 ，也不合题意 于是，由 y k(x 2) ，消去 y ，整理得：(3 k 2 )x2 4k 2 x 4k 2 3 0 3 x2 y2 3 (4k 2 )2 4(3 k 2 )(4k 2 3) 0 k 2 0 ， 4k 2 x x ， 1 3 2 2
42、 k 4k 3 2 x x 1 2 3 2 k 由 x1x y y 0 x x k(x 2)k(x 2) 0 2 1 2 1 2 1 2 (1 k2 )x x 2k (x x ) 4k2 2 1 2 1 2 0 4k 3 4k 3 2 2 (1 k ) 4k 2 0 k 2 2 2k 2 3 k 3 k 5 2 2 3 15 15 故l 斜率的取值范围是 ( 3, ) ( , 3). 5 3 16 检测题 4：在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线C : 2x2 y2 1 （1）设 F 是C 的左焦点， M 是C 右支上一点，若 MF 2 2 ，求点 M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C
43、的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为 k （ k 2 ）的直线l 交C 于 P 、Q 两点，若l 与圆 x2 y2 1相切，求证：OP OQ 【解析】（1）双曲线 : 2 y2 1 C x ，左焦点 F( , 0) . 6 1 2 2 设 M (x, y) ，则| MF |2 (x ) y ( 3x )2 ， 6 2 2 2 2 2 由 M 是右支上一点，知 x 2 ，所以| | 3 2 2 MF x 2 ，得 2 2 x . 6 2 所以 M ( 6 , 2) . 2 （2）左顶点 ( , 0) A 2 ，渐近线方程： y 2x . 2 过 A 与渐近
44、线 y 2x平行的直线方程为： 2( ) y x 2 ，即 y 2x 1. 2 解方程组 y y 2 2 x x x ，得 1 y 1 2 2 4 . 所求平行四边形的面积为 S | OA | y | 2 . 4 | b| ， （3）设直线 PQ 的方程是 y kx b .因直线与已知圆相切，故 2 1 k 1 即b2 k2 1 (*). 由 y kx b ，得 (2 k2 )x2 2kbx b2 1 0 . 2x2 y2 1 x x 2kb 1 2 2k 2 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 x x 1 b 2 1 2 2 2k y 1 y (kx b)(kx b) ，所以 2
45、 1 2 . OP OQ x1x y y (1 k )x x kb(x x ) b 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (1 )(1 . k b ) 2 2 2k b 1b k 2 2 2 2 2k 2k 2k 2 2 2 由(*)知OP OQ 0，所以 OPOQ. 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系特别要注意直线与双曲线 的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 y x ，并且相互垂 直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 17 三、学法提炼 1、专题特点：1、通过设点及方程的关系，求解直线斜率
46、2、通过设直线联立方程，求解交点的关系 2、解题方法：1、点差法，设而不求求解直线方程 2、联立方程，运用韦达定理求解根的关系 3、注意事项：1、设点过后注意点的取值范围 2、设直线后要关注判别式，综合题型里面的条件的应用要合理 一、能力培养 综合题 1：已知双曲线 C : x y 2 2 2 2 1 (a 0 , b 0) 与圆O : x2 y2 3 相切，过C 的左焦点且斜率 为 3 的 a b 直线也与圆O相切 （1）求双曲线C 的方程； （2） P 是圆O上在第一象限内的点，过 P 且与圆O相切的直线l 与C 的右支交于 A 、 B 两点， AOB 的面 积 为3 2 ，求直线l 的方
47、程 【解析】（1）双曲线C 与圆O相切， a 3 ， 由过C 的左焦点且斜率为 3 的直线也与圆O相切，得 c 2，进而b 1 故双曲线C 的方程为 x 2 3 y2 1 （2）设直线l： y kx m ， (k 0 , m 0) ， ( , ) 2 y A ， ( , ) x 1 y B x 1 2 圆心O到直线l 的距 离 m d ，由 d 3 得 m2 3k2 3 k2 1 18 y kx m 由 2 x y2 1 3 (3k 1)x 6kmx 3m 3 0 * 2 2 2 得 则 6km x x 1 2 2 3k 1 ， 3m 3 2 x x 1 2 2 3k 1 AB k2 1 x
48、x 2 1 k 2 1 (x x )2 4x x 2 1 1 2 k 2 36k m 12(m 1) 2 2 2 1 (3k 1) 3k 1 2 2 2 k 2 36k (3k 3) 12(3k 4) 2 2 2 1 (3k 1) 3k 1 2 2 2 又 AOB 的面 积 1 3 S OP AB AB 3 2 ， AB 2 6 2 2 由 4 3 k 1 2 3k 1 2 2 6 ， 得 k 1， m 6 ，此时 * 式 0 直线l 的方程为 y x 6 . 即 2y (x 3x 4) 3 2 x 0 0 0 y 1 x 4x 2x 8x 8 4 3 2 0 0 0 0 从而直线 PN 恒过定点G(1, 0) 综合题 2：如图，动点 M 到两定点 A(1, 0) 、B(2, 0) 构成 MAB ，且MBA 2MAB ，设动点 M 的轨迹 为 C 。 （）求轨迹C 的方程； （）设直线 y 2x m 与 y 轴交于点 P ，与轨迹C 相交于点Q、R ，且| PQ | PR |，求 | PR | | PQ | 的取值范围。 【分析】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定
