1、增分微课增分微课 1:“平均”方法在高中物理中的应用“平均”方法在高中物理中的应用 题型综述 高中物理中有许多涉及到“平均”的概念，例如平均速度、 平均功率、 平均电流、 平均电动势、 分子平均动能、 平均结合能 （比 结合能）等等。那么，“平均”在这些问题中有什么意义？高中物 理中涉及到了哪些类型的平均值？在使用各种平均值概念时， 需要 注意一些什么？本文将就这一系列问题展开探讨。 应考策略 首先需要明白“平均”方法的意义，其次要明白各种具体情 况属于哪种“平均”，其三要熟悉各种常见的“平均”，以及相应 的结论、技巧和注意事项。下面先简单介绍一下“平均”的意义。 1、给出物理量取值的大致范围
2、，以便总体把握物理量的情况、给出物理量取值的大致范围，以便总体把握物理量的情况 比如平均身高、平均分数、平均寿命、平均冲力、分子平均 动能、平均结合能以及实验误差中的标准差等，就属于这种情形。 2、将一个状态量不均匀变化的过程，等效简化成一个状态量 均匀变化的过程 、将一个状态量不均匀变化的过程，等效简化成一个状态量 均匀变化的过程 比如平均速度、平均加速度、平均作用力、平均功率、平均 电场强度、平均电流、平均电动势、交变电流有效值等。 3、有效的减小实验误差、有效的减小实验误差 比如多次测量取平均值（图像法是其变种），就是有效的减 小实验的偶然误差的方法；某些实验中采用复称法（用到了几何平
3、均值），是为消除实验系统误差。 应用举例 1、算术平均值、算术平均值 （1）自由电子定向移动平均速率、分子平均速率、分子平均 动能、平均结合能等 【例】分子平均速率将所有分子速率相加后，除以分子 的总数：v v1v2. vN vi NN （2）多次测量取平均值减小实验的偶然误差 测量次数越多，偶然因素导致的测量值相对真实值偏大偏小 的概率越接近相等，绝对误差（测量值真实值）中正值、负值 出现的情况接近相同，则将所有的测量值相加求算术平均值，即可 将偶然误差接近消除，例如长度测量： 120102012 00 .()().(). NNN llllll lll NNN 其中 l0为待测量的真实值。
4、拓展很多实验采用图像法，其要点是测量数据要多，作图时 要求用平滑的曲线将尽可能多的点连起来， 不能落在曲线上的点均 匀的分布在曲线两侧，其实就是多次测量取算术平均值的思路。 2、平方平均值（幂平均值）、平方平均值（幂平均值） （1）分子方均根速率将所有分子速率平方后相加，除以 分子总数，然后再开方： 2 222 2 12 . i N v vvv v NN ；分 子方均根速率涉及分子平均动能的计算， 与分子平均速率一般不相 等，注意不要混淆。 （2）实验误差中的标准差绝对误差的方均根： 2 2i N ，实验数据的误差范围通常表示为： 0 ll 。 3、几何平均值、几何平均值 【例 1】不等臂天平
5、测质量 左盘放物体，右盘加砝码，称量值为 m1；然后将物体放右盘， 左盘放砝码称量值为 m2，设天平左臂长为 l左，右臂长为 l右，物体 质量为 m，则： 第一次天平平衡时： 1 =mglm gl右 左 第二次天平平衡时： 2 =m glmgl右 左 两式相乘并整理得到： 12 mm m 此式与天平臂长无关，消除了由于ll 右左 引起的系统误差。 【例 2】电桥法测电阻 若定值电阻 R1、R2的具体阻值不准确，我们可以先按如图接 好电路，调节电阻箱 R0的阻值为 R01时， 电桥达到平衡，有： 1 012 x RR RR 然后将电阻箱与待测电阻 Rx对调， 再调节电阻箱为 R02时，电桥再次达
6、到平 衡，则有： 2 021 x RR RR 两式联立，有： 0102x RR R ，此式与 R1、R2的阻值无关， 从而消除了 R1、R2的阻值不准确引起的系统误差。 4、调和平均值、调和平均值 【 例 3 】 N 个 定 值 电 阻 并 联 后 的 总 电 阻 R 满 足 ： 12 1111 . N RRRR ，即H R R N ，其中 RH为这 N 个电阻的调和 平均值： H 12 111 . N N R RRR 。 5、加权平均值 （ 、加权平均值 （1）三大类型 比值定义的物理量： ）三大类型 比值定义的物理量：平均速度、平均加速度、平均作用力、 平均功率、平均电场强度、平均电流、平
7、均电动势、平均密度、平 均压强等 【例 4】平均速度速度对时间的加权平均值：一个过程由 N 个阶段组成，各阶段的速度和时间分别为 vi、ti，则全过程的平 均速度为 112212 12 12 . =. . NNN N N xvtvtvtttt vvvv ttttttt 总 总总总总 拓展若t取值相同，则加权平均值可退化为算术平均值： = tN t 总 ，则 12 1212 .111 = N NN xvvvttt vvvvvvv ttttNNNN 总 总总总总 【例 5】平均电场强度电场强度对距离的加权平均值：如 图所示，点电荷的电场中一根电场线上有 A、B、C 三个点，且有 AB=BC，试比较
8、 UAB与 UBC的大小关系。 解析这个问题可以采用平均电场强度的方式来解决，若将 AB 段等分为 N 段，每一小段上电场强度可视为不变，设为 E1、 E2、EN，则这段长度 d=AB 上的平均电场强度为： 1212 . = NNAB AB EdEdEdEEEU E ddN 同理： 12 . = BCN BC UEEE E dN 由 于 所 有 的 Ei都 大 于 i E ， 因 此 易 知 ABBC EE ， 则 ABBC EdEd ，即 ABBC UU 。 交变电流有效值：交变电流有效值：“电流平方对时间的加权平均值”的平 方根 【解释】交变电流的有效值设为 I，则有 22 1 N ii
9、i QI RtI R t ，即 2 ii It I t 。 拓展若所有 i t取值相同，则加权平均值可退化为平方平均 值： 22 ii ItI I tN 。 均匀重力场中物体的重心（质心）坐标均匀重力场中物体的重心（质心）坐标坐标对质量的 加权平均值 【解释】N 个质点组成的质点组，其中 mi对应的坐标为（xi， yi，zi），则这组质点的重心的位置坐标（xC，yC，zC）定义是： ii C i m gx x m g ， ii C i m gy y m g ， ii C i m gz z m g 。 拓 展 由 这 个 定 义 易 知 ， 该 质 点 组 的 重 心 的 高 度 为 ii C
10、i m gh h m g ，则该质点组的重力势能为 iiC m ghMgh ，即 可以用质点组总重力 Mg 乘以重心高度 hC来计算。 同理， 该质点组 质心的速度为 ii C i mv v m ，即 Cii Mvmv ，也就是说，该质 点组的总动量，可以用总质量 M 与质点组的质心速度 vC乘积来计 算。 （2）注意事项）注意事项 看清楚是对什么物理量取加权平均值，算出来的加权平均 值只能乘以该物理量，以得到对应的乘积物理量。 【例 6】作用力对时间的平均值、对位移的平均值的区别 弹簧模型 如图所示，一水平弹簧左端固定在竖 直墙面上，右端固定在一个滑块 P 上，滑 块与地面接触面光滑。现将滑
11、块 P 向右拉 离弹簧原长位置后由静止释放， 则在物块向左回到弹簧原长位置过 程中，弹簧弹力随位移和时间变化的图像如图所示，易知 弹力对位移的平均值为 01 22 i x F x kx Fkx x 弹力对时间的平均值为 01 22 i t F t kx Fkx t 即 tx FF 不仅如此， x F还只能与位移相乘计算这个过程中弹簧弹力的 功，而不能与时间相乘计算冲量；而 t F只能与时间相乘来计算这 个过程中弹力的冲量，也不能与位移相乘计算功。 【例 7】交变电流平均值和有效值的区别 平均电流的定义为： ii i It q I tt ，有效值的定义为： 22 iiii ii I R tIt
12、Q I RtRtt ， 显然两者存在着本质区别， 平均值只能用来计算电量，不能用于计算电功、电功率，而有效值 只能用于计算电功、电功率，不能用来计算电量。只有恒定电流电 路中，电流的平均值和有效值才相等。 看清楚是在哪个区间内取加权平均值 【例 8】交变电流在不同时间区间有效 值不同 如图所示， 正弦交变电流在 0 4 T内的有 效值为 /4 2 m 0 1m 2 (sin) d 2 / 42 T Itt T II T ，但是 0 8 T 内的有效值为 /8 2 m 0 2m 2 (sin) d 22 1 /82 T Itt T II T ，而 8 T 4 T 内的有效值 为 /4 2 m /
13、8 3m 2 (sin) d 22 1 /82 T T Itt T II T 。 很明显，不同的时间区间内，交变电流的有效值是不同的。 （3）几个推论）几个推论 若 y 随 x 均匀变化，则 y 对 x 的加权平均值，可以用平均区 间的初、末 y 值的算术平均值计算 【例 9】匀变速运动 做匀变速直线运动的物体，若将全过程分成等时间间隔的 N 段 ， 则 各 个 时 间 间 隔 内 的 速 度 vi为 一 等 差 数 列 ， 有 1 121 () . 2 2 N NN N vv vvvvv v NN ，N时，v1=v0， vN=vt，则有 0 2 t vv v ，即初末速度的算术 平均值。 【
14、例 10】导体棒旋转切割磁感线 如图所示，导体棒旋转切割磁感线的情 况，将导体棒 AB 分成等长的 N 份， 第 i 份对 应的速度为 vi，由( ) iiA vrri l 可知，vi为一等差数列，而感应电动势为 1 1 () 22 N iiN vvlN EB l vB lvBvvBl N N 时 ， v1=vA， vN=vB， 则 有 2 AB vv EBl ；若 A 点就是转轴 O，则 vA=0，有 2 1 222 B vl EBlBlBl 。 【例 11】质量分布均匀的物体的重心在物体的几何中心 比如一根质量分布均匀的细棒 ab，将其分成等长的 N 份，有 i xi l ，可知 xi为一
15、等差数列，则有： 1 1 1 () 22 i N CiN mgx xxmN xxxx mgMN N时，x1=xa，xN=xb，则有 2 ab C xx x ，即细棒重心位于 细棒中点。 若 g 与 y 是一一对应关系，则 g 对 x 的加权平均值，与 y 对 x 的加权平均值也对应 这类情况的例子有：平均速度与平均功率、平均电动势与平 均电流、平均电流与平均安培力 【例 12】平均电动势与平均电流 ( )ee t， ( )ee t i RrRr ，而 ( ) e tt E t ，则 ( ) ( )( ) 1 e t t i tte tt E Rr I ttRrtRr 因此，在电磁感应现象中，计算感应电量qIt时，可以用 E I Rr 算平均电流，其中 EN t 。 B
