1、增分微课 1:“平均”方法在高中物理中的应用 【例 1】不等臂天平测质量 左盘放物体，右盘加砝码，称量值为 m1；然后将物体放右盘， 题型综述 左盘放砝码称量值为 m2，设天平左臂长为 l 左，右臂长为 l 右，物体 高中物理中有许多涉及到“平均”的概念，例如平均速度、 质量为 m，则： 平均功率、平均电流、平均电动势、分子平均动能、平均结合能（比 第一次天平平衡时： mgl =m gl 左 1 右 结合能）等等。那么，“平均”在这些问题中有什么意义？高中物 第二次天平平衡时： m2gl =mgl 左 右 理中涉及到了哪些类型的平均值？在使用各种平均值概念时，需要 两式相乘并整理得到： m m
2、 m 1 2 注意一些什么？本文将就这一系列问题展开探讨。 此式与天平臂长无关，消除了由于l l 左 右 引起的系统误差。 应考策略 【例 2】电桥法测电阻 首先需要明白“平均”方法的意义，其次要明白各种具体情 若定值电阻 R1、R 2 的具体阻值不准确，我们可以先按如图接 况属于哪种“平均”，其三要熟悉各种常见的“平均”，以及相应 好电路，调节电阻箱 R 0 的阻值为 R 01 时， 的结论、技巧和注意事项。下面先简单介绍一下“平均”的意义。 1、给出物理量取值的大致范围，以便总体把握物理量的情况 R R 电桥达到平衡，有： 1 x R R 01 2 然后将电阻箱与待测电阻 R x 对调，
3、比如平均身高、平均分数、平均寿命、平均冲力、分子平均 动能、平均结合能以及实验误差中的标准差等，就属于这种情形。 2、将一个状态量不均匀变化的过程，等效简化成一个状态量 均匀变化的过程 比如平均速度、平均加速度、平均作用力、平均功率、平均 从而 消除 了 R 、 R 的阻 值不 准确 引起 的系 统误 差。 1 2 再调节电阻箱为 R 02 时，电桥再次达到平 R R 衡，则有： 2 x R R 02 1 两式联立，有： R R R ，此式与 R1、R 2 的阻值无 关， x 01 02 电场强度、平均电流、平均电动势、交变电流有效值等。 4、调和平均值 3、有效的减小实验误差 比如多次测量取
4、平均值（图像法是其变种），就是有效的减 小实验的偶然误差的方法；某些实验中采用复称法（用到了几何平 均值），是为消除实验系统误差。 应用举例 【 例 3 】 N 个 定 值 电 阻 并 联 后 的 总 电 阻 R 满 足 ： 1 1 1 1 R ，即 ，其中 RH 为这 N 个电阻 的调和 . R H ，即 ，其中 RH 为这 N 个电阻的调和 R R R R N 1 2 N 平均值： R H N 1 1 1 . R R R 1 2 N 。 1、算术平均值 5、加权平均值 （1）自由电子定向移动平均速率、分子平均速率、分子平均 （1）三大类型 动能、平均结合能等 比值定义的物理量：平均速度、平
5、均加速度、平均作用力、 【例】分子平均速率将所有分子速率相加后，除以分子 v 1 v2 . vN v 的总数：v i N N （2）多次测量取平均值减小实验的偶然误差 测量次数越多，偶然因素导致的测量值相对真实值偏大偏小 均速度为 的概率越接近相等，绝对误差 （测量值真实值）中正值、负值 出现的情况接近相同，则将所有的测量值相加求算术平均值，即可 将偶然误差接近消除，例如长度测量： l l .l (l ) (l ) . (l ) . l l l 1 2 N 0 1 0 2 0 N 1 2 N N N N 0 0 其中 l0 为待测量的真实值。 拓展很多实验采用图像法，其要点是测量数据要多，作图
6、时 要求用平滑的曲线将尽可能多的点连起来，不能落在曲线上的点均 平均功率、平均电场强度、平均电流、平均电动势、平均密度、平 均压强等 【例 4】平均速度速度对时间的加权平均值：一个过程由 N 个阶段组成，各阶段的速度和时间分别为 vi、ti，则全过程的平 x v t v t . v t t t t 总 v = 1 1 2 2 N N 1 v 2 v . N v 1 2 N t t t . t t t t 总 1 2 N 总 总 总 拓展若 t 取值相同，则加权平均值可退化为算术平均值： t =Nt 总 ，则 x t t t 1 1 1 v v .v 1 2 v 总 = v v . v v v
7、. v N 1 2 N 1 2 N t t t t N N N N 总 总 总 总 【例 5】平均电场强度电场强度对距离的加权平均值：如 图所示，点电荷的电场中一根电场线上有 A、B、C 三个点，且有 匀的分布在曲线两侧，其实就是多次测量取算术平均值的思路。 AB=BC，试比较 U AB 与 U BC 的大小关系。 2、平方平均值（幂平均值） （1）分子方均根速率将所有分子速率平方后相加，除以 2 2 v12 v2 2 . v2N vi 分子总数，然后再开方： ；分 v N N 子方均根速率涉及分子平均动能的计算，与分子平均速率一般不相 等，注意不要混淆。 （ 2 ） 实 验 误 差 中 的
8、标 准 差 绝 对 误 差 的 方 均 根 ： 2 2 i ，实验数据的误差范围通常表示为：l l 。 0 N 3、几何平均值 解析这个问题可以采用平均电场强度的方式来解决，若将 AB 段等分为 N 段，每一小段上电场强度可视为不变，设为 E1、 E2、EN，则这段长度 d=AB 上的平均电场强度为： U E1d E2d . E d E 1 E 2 . E E = N N AB AB d d N 同理： = 1 2 . U E E E E BC N BC d N 由 于 所 有 的 E i 都 大 于 E ， 因 此 易 知 E E ， 则 i AB BC E d E d ，即 U U 。 A
9、B BC AB BC 交变电流有效值：“电流平方对时间的加权平均值”的平 方根 【解释】交变电流的有效值设为 I，则有 N Q I Rt I Rt ， 即 2 2 i i i1 I I2t i i t 。 拓展若所有 t 取值相同，则加权平均值可退化为平方平均 i 值： I 。 I 2t I 2 i i t N T /4 2 (I sin t) dt 2 m T 2 T 内 的 有 效 值 为 I I 0 ， 但 是 0 1 m T / 4 2 8 T /8 2 2 (I sin t) dt m T 2 2 T T 内的有效值 0 I 1 I ，而 2 m T / 8 2 8 4 均匀重力场中
10、物体的重心（质心）坐标坐标对质量的 加权平均值 【解释】N 个质点组成的质点组，其中 m i 对应的坐标为（xi， 为 T /4 2 (I sin t) dt 2 m T 2 2 I 1 I T /8 。 3 m T / 8 2 yi，zi），则这组质点的重心的位置坐标（xC，yC，zC）定义是： 很明显，不同的时间区间内，交变电流的有效值是不同的。 m gx m gy m gz x y z i i ， i i 。 ， i i C C C m g m g m g i i i 拓 展 由 这 个 定 义 易 知 ， 该 质 点 组 的 重 心 的 高 度 为 m gh h i i m gh Mg
11、h ，即 ，则该质点组的重力势能为 C i i C m g i 可以用质点组总重力 Mg 乘以重心高度 h C 来计算。同理，该质点组 m v Mv m v ，也就是说，该质 质心的速度为 i i ，即 v C i i C m i 点组的总动量，可以用总质量 M 与质点组的质心速度 v C 乘积来计 算 。 （2）注意事项 （3）几个推论 若 y 随 x 均匀变化，则 y 对 x 的加权平均值，可以用平均区 间的初、末 y 值的算术平均值计算 【例 9】匀变速运动 做匀变速直线运动的物体，若将全过程分成等时间间隔的 N 段 ， 则 各 个 时 间 间 隔 内 的 速 度 v i 为 一 等 差
12、 数 列 ， 有 N (v v ) v v v v v . 2 1 N v 1 2 N 1 N ，N时， v1=v0， N N 2 v v vN=vt，则有 0 v t ，即初末速度的算术 2 平均值。 看清楚是对什么物理量取加权平均值，算出来的加权平均 【例 10】导体棒旋转切割磁感线 值只能乘以该物理量，以得到对应的乘积物理量。 如图所示，导体棒旋转切割磁感线的情 况，将导体棒 AB 分成等长的 N 份 ，第 i 份对 【例 6】作用力对时间的平均值、对位移的平均值的区别 弹簧模型 应的速度为 vi，由 v r (r il) i i A 可知，v 为一等差数列，而感应电动势为 i 如图所示
13、，一水平弹簧左端固定在竖 l N v v E Bl v Bl v B ( v v ) Bl 1 N 直墙面上，右端固定在一个滑块 P 上，滑 i i 1 N N 2 2 块与地面接触面光滑。现将滑块 P 向右拉 N 时 ， v =v ， v =v ， 则 有 1 A N B v v 离弹簧原长位置后由静止释放，则在物块向左回到弹簧原长位置过 E Bl A B ；若 A 点就是转轴 O，则 2 程中，弹簧弹力随位移和时间变化的图像如图所示，易知 B v l 1 v =0，有 2 A E Bl Bl Bl B 。 弹力对位移的平均值为 0 1 F x kx F kx i 2 2 2 x x 2 2
14、 【例 11】质量分布均匀的物体的重心在物体的几何中 心 弹力对时间的平均值为 0 1 F t kx F kx i 比如一根质量分布均匀的细棒 ab，将其分成等长的 N 份，有 t t 2 2 x il ，可知 x 为一等差数列，则有： i i 即 F F t x mgx x x m 1 N i N x x ( x x ) 1 不仅如此， F 还只能与位移相乘计算这个过程中弹簧弹力的 C i 1 N x mg M N 2 2 功，而不能与时间相乘计算冲量；而 F 只能与时间相乘来计算这 t x x N时，x =x ，x =x ，则有 ，即细棒重 心位于 1 a N b x a b 个过程中弹力
15、的冲量，也不能与位移相乘计算功。 C 2 【例 7】交变电流平均值和有效值的区别 细棒中点。 I i i 平均电流的定义为： q I t t t i ，有效值的定义为： 若 g 与 y 是一一对应关系，则 g 对 x 的加权平 均值，与 y 对 x 的加权平均值也对应 I I 2Rt I 2 t Q i i i i ，显然两者存在着本质区别， Rt R t t i i 平均值只能用来计算电量，不能用于计算电功、电功率，而有效值 只能用于计算电功、电功率，不能用来计算电量。只有恒定电流电 路中，电流的平均值和有效值才相等。 看清楚是在哪个区间内取加权平均值 【例 8】交变电流在不同时间区间有效 值不同 这类情况的例子有：平均速度与平均功率、平均电 动势与平 均电流、平均电流与平均安培力 【例 12】平均电动势与平均电流 ( ) E ， 则 R r R r e(t) t i t t R r e t t E ( ) 1 ( ) I t t R r t R r 如图所示，正弦交变电流在 0 T 内的有 4 效值为 I 因此，在电磁感应现象中，计算感应电量 q It 时，可以用 E R r 算平均电流，其中 E N 。 t
