1、5.1.2数列中的递推反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.a5=a4+a3=5+3=8.a2=a1+(21-1)=0+1=1,解:(1)an=an-1+an-2(n3),且a1=1,a2=2,a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.(2)由Sn=2n2+n+3知:典例已知数列an满足前n项和Sn=2n-1,且an4n-2对一切nN+恒成立,则实数的取值范围是.典例已知数列
2、an满足前n项和Sn=2n-1,且an4n-2对一切nN+恒成立,则实数的取值范围是.已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项典例已知数列an满足前n项和Sn=2n-1,且an4n-2对一切nN+恒成立,则实数的取值范围是.如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).a4=a3+(23-1)=4+5=9,思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.名师点析 通项公式与递推公式的区别与联系(1)写
3、出此数列的前5项;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1(2n-1).an=若a1适合an(n2),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n2),则要用分段函数的形式表示an.已知数列an的首项a1=1,且an=3an-1+1(n2),则a4为()典例已知数列an满足前n项和Sn=2n-1,且an4n-2对一切nN+恒成立,则实数的取值范围是.所以数列an的通项公式为an=2n-1,此时不可不求a1而直接求an.解析:a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2),如果递推关系可以变形为an+1=g(n)an的形式,且g(n)能够求积,则
4、可用累乘法求数列的通项公式.a3=a2+(22-1)=1+3=4,激趣诱思知识点拨斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的算盘全书.他在书中提出了著名的兔子繁殖问题:如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而子兔在出生后第三个月里就又能生一对子兔.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.此时不可不求a1而直接求an.又当n=1时,a1=(-1)1+11=1,适合上式,an=(-1)n+1(2n-1).解析:当n=1时,a1=S1=1-2+2=1.a5=a
5、4+(24-1)=9+7=16.an=an-1,a1=1(n2)是递推公式a2=a1+(21-1)=0+1=1,(2)由Sn=2n2+n+3知:他在书中提出了著名的兔子繁殖问题:如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而子兔在出生后第三个月里就又能生一对子兔.名师点析 由数列的前n项和Sn求通项an当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5.(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法an的通项公式为2+ln n.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的
6、项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1.反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法典例已知数列an满足前n项和Sn=2n-1,且an4n-2对一切nN+恒成立,则实数的取值范围是.当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n+3)-2(n-1)2+(n-1)+3=4n-1.已知数列an的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n2)给出,则该数列的第5项等于()都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=2(n-1
7、),即an-a1=2(n-1).当n2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1(2n-1).当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+延伸探究将本例(2)中条件“an+1=2an”改为“an+1=an+an(n2)”,其他条件不变,则an=.解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.a5=a4+a3=5+3=8.an=an-1(n2)与an=2an-1
8、(n2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.激趣诱思知识点拨一、数列的递推关系如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).名师点析 通项公式与递推公式的区别与联系类别区别联系通项公式an是序号n的函数式an=f(n)都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式激趣诱思知识点拨微思考所有的数列都有递推公式吗?提示:递推公式是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都
9、有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排列成一列数1,1.4,1.41,1.414,就没有递推公式.激趣诱思知识点拨微练习已知数列an的首项a1=1,且an=3an-1+1(n2),则a4为()A.13B.15C.30 D.40答案:D激趣诱思知识点拨二、数列的前n项和一般地,给定数列an,称Sn=a1+a2+a3+an为数列an的前n项和.名师点析 由数列的前n项和Sn求通项an(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.延伸探究将本例(2)中条件“an+1
10、=2an”改为“an+1=an+an(n2)”,其他条件不变,则an=.延伸探究将本例(2)中条件“an+1=2an”改为“an+1=an+an(n2)”,其他条件不变,则an=.延伸探究将本例(2)中条件“an+1=2an”改为“an+1=an+an(n2)”,其他条件不变,则an=.(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;an=an-1(n2)与an=2an-1(n2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.解析:a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2),解:(1)(方法一:累加法)a1=1,an+1-an
11、=2,如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).都是给出数列的方法,都可求出数列中任意一项(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.an=an-1,a1=1(n2)是递推公式显然a1=-1也适合n2时的an=4n-5.an的通项公式为2+ln n.典例已知数列an满足前n项和Sn=2n-1,且an4n-2对一切nN+恒成立,则实数的取值范围是.此时不可不求a1而直接求an.名师点析 由数列的前n项和Sn求通项an已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几
12、项)间的关系式当n=1时,a1=S1=6;思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.解:(1)an=an-1+an-2(n3),且a1=1,a2=2,a5=a4+(24-1)=9+7=16.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的算盘全书.已知数列an满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.解:(1)an=an-1+an-2(n3),且a1=1,a2=2,名师点析 通项公式与递推公式的区别与联系a2=a1+(21-1)=0+1=1,激趣诱思知识点拨微练习已知数列an的前
13、n项和Sn,求数列的通项公式.(1)Sn=(-1)n+1n;(2)Sn=2n2+n+3.解:(1)由Sn=(-1)n+1n知,当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又当n=1时,a1=(-1)1+11=1,适合上式,an=(-1)n+1(2n-1).(2)由Sn=2n2+n+3知:当n=1时,a1=S1=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n+3)-2(n-1)2+(n-1)+3=4n-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测由递推关系写出数列的项例1已知数列an中,a1=1,a2=2,以后各项由
14、an=an-1+an-2(n3)给出.(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式bn=构造一个新的数列bn,写出数列bn的前4项.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)an=an-1+an-2(n3),且a1=1,a2=2,a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故数列an的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算.(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面
15、的项的形式,如an=2an+1+1.(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知数列an的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项.探究一探究二探究三素养形成当堂检测例2(1)已知a1=1,an+1-an=2,求数列an的通项公式.(2)已知a1=1,an+1=2an,求数列an的通项公式.思路分析递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究.解:(1)(方法一:累加法)a1=1,an+1-an=2,a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3
16、=2,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1).又a1=1,数列an的通项公式为an=2n-1.(方法二:迭代法)an=an-1+12=an-2+22=a1+(n-1)2=2n-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测又a1=1=20,数列an的通项公式为an=2n-1.(方法二:迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=2n-1a1=2n-1,即数列an的通项公式为an=2n-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 由递推公式求通项公式的方法(1)归纳法一般是根
17、据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,有时易发生错误.(2)累加法当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1累加来求通项公式an.(3)累乘法如果递推关系可以变形为an+1=g(n)an的形式,且g(n)能够求积,则可用累乘法求数列的通项公式.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究将本例(2)中条件“an+1=2an”改为“an+1=an+an(n2)”,其他条件不变,则an=.探究一探究二探究三素养形成当堂检测数列中an与Sn的关系例3(1)若数列an的前n项和Sn满足Sn=
18、2n2-3n,求通项an;(2)若数列an的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)当n=1时,a1=S1=212-31=-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5.显然a1=-1也适合n2时的an=4n-5.故数列an的通项公式为an=4n-5.(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=45n-1,显然a1=2不适合n2时的an=45n-1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 由Sn求an的方法an=若a1适合an(n2
19、),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n2),则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知数列an的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列an的通项公式为.解析:当n=1时,a1=S1=1-2+2=1.当n2时,Sn-Sn-1=n2-2n+2-(n-1)2-2(n-1)+2=2n-3.探究一探究二探究三素养形成当堂检测数列中的恒成立问题典例已知数列an满足前n项和Sn=2n-1,且an4n-2对一切nN+恒成立,则实数的取值范围是.解析:当n=1时,a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1,
20、a1适合上式.所以数列an的通项公式为an=2n-1,探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:3,+)探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列说法错误的是()A.递推公式也是数列的一种表示方法B.an=an-1,a1=1(n2)是递推公式C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法D.an=2an-1,a1=2(n2)是递推公式解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n2)与an=2an-1(n2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.答案
21、:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知数列an的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n2)给出,则该数列的第5项等于()A.6 B.7C.8D.9解析:a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2),a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.(2020黑龙江鹤岗一中高一月考)设数列an的前n项和Sn=n3,则a4的值为()A.15B.37C.27 D.64解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.答案:B探究一
22、探究二探究三素养形成当堂检测4.在数列an中,a1=2,an+1=an+ln ,则通项公式an=.探究一探究二探究三素养形成当堂检测a1=2,an=2+ln n.a1=2+ln 1=2,an的通项公式为2+ln n.答案:2+ln n 探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知数列an满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.解:a1=0,an+1=an+(2n-1),a2=a1+(21-1)=0+1=1,a3=a2+(22-1)=1+3=4,a4=a3+(23-1)=4+5=9,a5=a4+(24-1)=9+7=16.故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.
