1、绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数 学（文史类）学（文史类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后
2、，再 选涂其他答案标号。 2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式：参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么()( )( )P ABP AP B. 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R，则()ACB （A）2 （B）2，3 （C）-1，2，3 （D）1，2，3，4 （2）设变量 x，y 满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x
3、y 则目标函数4zxy 的最大值为 （A）2 （B）3 （C）5 （D）6 （3）设xR，则“05x”是“|1| 1x”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 （A）5 （B）8 （C）24 （D）29 （5）已知 0.2 23 log 7,log 8,0.3abc，则 a，b，c 的大小关系为 （A）cba （B）abc （c）bca （D）cab （6）已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分
4、别 交于点 A 和点 B，且| 4|ABOF（O 为原点），则双曲线的离心率为 （A） 2 （B） 3 （C）2 （D） 5 （7）已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，且 f x的最小正周期为 ，将 yfx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x. 若2 4 g ，则 3 8 f （A）-2 （B） 2 （C） 2 （D）2 （8）已知函数 2,01, ( ) 1 ,1. xx f x x x 若关于 x 的方程 1 ( )() 4 f xxa a R恰有两个互异的实数解， 则 a 的取值范围为 （A） 5 9 , 4 4
5、（B） 5 9 , 4 4 （C） 5 9 ,1 4 4 （D） 5 9 ,1 4 4 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 （9）i 是虚数单位，则 5i 1i 的值为_. （10）设xR，使不等式 2 320xx成立的 x 的取值范围为_. （11）曲线cos 2 x yx在点(0,1)处的切线方程为_. （12）已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条 侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
6、则该圆柱的体积为_. （13）设0,0,24xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为_. （14）在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点 E 在线段CB的延长线上， 且AEBE，则BD AE _. 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）（本小题满分 13 分） 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利 息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用 分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专
7、项附加扣除的享受情况. （）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为, , , , , A B C D E F.享受 情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访. 员工 项目 A B C D E F 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率. （16）（本小题满分 13 分） 在ABC中，内角, ,A B C所对的边
8、分别为, ,a b c.已知2bca ，3 sin4 sincBaC. （）求cosB的值； （）求sin 2 6 B 的值. （17）（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC 平 面PCD，,2,3PACD CDAD. （）设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH平面PAD； （）求证：PA 平面PCD； （）求直线 AD 与平面PAC所成角的正弦值. （18）（本小题满分 13 分） 设 n a是等差数列， n b是等比数列，公比大于 0，已知 112332 3,43abba ba. （）求 n a和 n b的
9、通项公式； （）设数列 n c满足 2 1 n n n c bn ， 为奇数, ， 为偶数.求 * 1 12222 () nn a ca ca cnN. （19）（本小题满分 14 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，左顶点为 A，上顶点为 B.已知3| 2|OAOB（O 为 原点）. （）求椭圆的离心率； （）设经过点 F 且斜率为 3 4 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切， 圆心 C 在直线 x=4 上，且OCAP，求椭圆的方程. （20）（本小题满分 14 分） 设函数( )ln(1)exf xxa x
10、，其中aR. （）若 a0，讨论( )f x的单调性； （）若 1 0 e a， （i）证明( )f x恰有两个零点； （ii）设 0 x为( )f x的极值点， 1 x为( )f x的零点，且 10 xx，证明 01 32xx. 绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数数 学（文史类）参考解答学（文史类）参考解答 一、选择题一、选择题 1.【答案】D 【分析】先求AB，再求()ACB。 【详解】因为1,2AC ，所以()1,2,3,4ACB .故选 D。 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的
11、要先化简，同时注意数形结合，即 借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算 2.【答案】D 【分析】画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线4yxz在y轴 上的截距，故目标函数在点A处取得最大值。 由 20, 1 xy x ，得( 1,1)A ，所以 max 4 ( 1) 15z 。故选 C。 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次 确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求
12、 3.【答案】B 【分析】求出11x的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】11x等价于02x，故05x推不出11x；由11x能推出05x。故 “05x”是“|1| 1x”的必要不充分条件。故选 B。 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据 pq，qp 进行判断； (2)集合法：根据由 p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个 方法特别适合以否定形式给出的问题 4.【答案】B 【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。 【详解】1,2Si 1 1,1 2 25,3jSi
13、8,4Si ，结束循环，故输出8故选 B。 【点睛】解决此类型问题时要注意：要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执 行循环体；要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化； 要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体 5.【答案】A 【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小。 【详解】 0.20 0.30.31c ； 22 log 7log 42； 33 1log 8log 92。 故cba。故选 A。 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。 6.【答案】D 【分析】只需把4ABOF用
14、, ,a b c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】l的方程为1x，双曲线的渐近线方程为 b yx a ，故得( 1,),( 1,) bb AB aa ， 所以 2b AB a ， 2 4 b a ，2ba，所以 22 5 cab e aa 。故选 D。 【点睛】双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率 2 1 cb e aa . 7.【答案】C 【分析】只需根据函数性质逐步得出, ,A 值即可。 【详解】 ( )f x为奇函数，可知(0)sin0fA ， 由可得0； 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得 1 ( )sin 2 g xAx， 由(
15、 )g x的最小正周期为2可得2，由()2 4 g ，可得2A， 所以( )2sin2f xx， 33 ()2sin2 84 f 。故选 C。 8.【答案】D 分析】画出 f x图象及直线 1 4 yxa ，借助图象分析。 【详解】如图，当直线 1 4 yxa 位于B点及其上方且位于A点及其下方， 或者直线 1 4 yxa 与曲线 1 y x 相切在第一象限时符合要求。 即 1 12 4 a ，即 59 44 a，或者 2 11 4x ，得2x， 1 2 y ，即 11 2 24 a ，得1a ，所 以a的取值范围是 5 9 ,1 4 9 。故选 D。 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常
16、把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此 法。 二、填空题二、填空题 9.【答案】13 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 【详解】解法一： 5(5)(1) 2313 1(1)(1) iii i iii 。 解法二： 5526 13 112 ii ii 。 【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形 式，再根据题意求解 10. 【答案】 2 ( 1,) 3 【分析】通过因式分解，解不等式。 【详解】 2 320xx，即( 1)(32)0xx ，即 2 1 3 x ，故x的取值范围是 2 ( 1,) 3 。
17、【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二 次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集容易出现的错误有：未将二次项系数化正， 对应错标准形式；解方程出错；结果未按要求写成集合 11. 【答案】 220xy 【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。 【详解】 1 sin 2 yx ，当0x时其值为 1 2 ，故所求的切线方程为 1 1 2 yx ，即220xy。 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0)为切点的切线方程的求解步骤： 求出函数 f(x)的导数 f(x)； 求切线的斜
18、率 f(x0)； 写出切线方程 yf(x0)f(x0)(xx0)，并化简 (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组 00 10 0 10 () () yf x yy fx xx 得切点(x0，y0)，进而 确定切线方程 12.【答案】 4 . 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。 【详解】四棱锥的高为5 12 ，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为 1 2 ， 故其体积为 2 1 1 24 。 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。 13. 【答案】 9 2 14. 【答案】1. 【分析】可利用向量的线性运算
19、，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】详解：解法一：如图，过点B作AE的平行线交AD于F， 因为AEBE，故四边形AEBF为菱形。 因为30BAD，2 3AB ，所以2AF ，即 2 5 AFAD. 因为 2 5 AEFBABAFABAD， 所以 22272 () () 555 BD AEADABABADAB ADABAD 73 2 3 512 101 52 . 解法二：建立如图所示的直角坐标系，则(2 3,0)B， 5 3 5 (, ) 22 D。 因为ADBC，30BAD，所以30CBE， 因为AEBE，所以30BAE， 所以直线BE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 (2 3
20、) 3 yx， 直线AE的斜率为 3 3 ，其方程为 3 3 yx 。 由 3 (2 3), 3 3 3 yx yx 得3x ，1y ，所以( 3, 1)E。 所以 3 5 (, ) ( 3, 1)1 22 BD AE 。 【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为 方便。 三三. .解答题解答题 15.【分析】 （I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的 概率是相等的，结合样本容量求得结果； （II） （I）根据 6 人中随机抽取 2 人，将所有的结果一一列出； （ii）根据题意，找出满足条件的基本事
21、件，利用公式求得概率. 【详解】 （I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人. （II） （i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 ,A BA CA DA EA F, ,B CB DB EB F, ,C DC EC F, ,D ED FE F,共 15 种； （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ,A BA DA EA F, ,B DB EB F, ,C EC F, ,D FE F,共 11 种，所以， 时间 M 发生的概率 11 () 15 P M .
22、【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公 式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 16. 【分析】()由题意结合正弦定理得到, ,a b c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值；()利用 二倍角公式首先求得sin2 ,cos2BB的值，然后利用两角和的正弦公式可得2a的值. 【详解】()在VABC中，由正弦定理 sinsin bc BC 得sinsinbCcB， 又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba. 又因为2bca ，得到 4 3 ba， 2 3 ca. 由余弦定理可得 222
23、 cos 2 acb B ac 222 416 1 99 2 4 2 3 aaa aa . ()由()可得 2 15 sin1 cos 4 BB， 从而 15 sin22sincos 8 BBB ， 22 7 cos2cossin 8 BBB . 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB . 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正 弦定理余弦定理等基础知识.考查计算求解能力. 17. 【分析】 （I）连接BD，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH PD，利用线 面平行的
24、判定定理证得结果； （II）取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得 到DNPA，利用线面垂直的判定定理证得结果； （III）利用线面角的平面角的定义得到DAN为直线AD与平面PAC所成的角，放在直角三角形中求得 结果. 【详解】 （I）证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH， 又由BGPG，故GHPD，又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD， 所以GH平面PAD. （II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC， 又因为平面PAC 平面PCD，平面PAC平面PCDPC， 所以DN 平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA， 又已
25、知PACD，CDDND，所以PA 平面PCD. （III）解：连接AN，由（II）中DN 平面PAC， 可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角. 因为PCD为等边三角形，2CD且N为PC的中点， 所以3DN ，又DNAN， 在Rt AND中， 3 sin 3 DN DAN AD ， 所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 . 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基 础知识，考查空间想象能力和推理能力. 18. 【分析】 （I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 3 3 d q ，进而 求得等差数
26、列和等比数列的通项公式； （II）根据题中所给的 n c所满足的条件，将 1 12 222nn aca ca c表示出来，之后应用分组求和法，结合 等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果. 【详解】 （I）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 依题意，得 2 332 3154 qd qd ，解得 3 3 d q ， 故3 3(1)3 n ann ， 1 3 33 nn n b ， 所以， n a的通项公式为3 n an， n b的通项公式为3n n b ； （II） 1 12 222nn aca ca c 135212 14 26 32 ()() nn
27、n aaaaa ba ba ba b 123 (1) 36(6 312 318 363 ) 2 n n n nn 212 36 (1 32 33 ) n nn ， 记 12 1 32 33n n Tn 则 231 313233 n n Tn 得， 231 233333 nn n Tn 1 1 3(1 3 )(21)33 3 1 32 nn n n n ， 所以 1 22 1 12 222 (21)33 3633 2 n nnn n a ca ca cnTn 22 (21)369 () 2 n nn nN . 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查数列求
28、和的基 本方法和运算求解能力，属于中档题目. 19. 【详解】 （I）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有32ab， 又由 222 abc，消去b得 222 3 () 2 aac，解得 1 2 c a ， 所以，椭圆的离心率为 1 2 . （II）解：由（I）知， 2 ,3ac bc ，故椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc ， 由题意，(,0)Fc，则直线l的方程为 3 () 4 yxc， 点P的坐标满足 22 22 1 43 3 () 4 xy cc yxc ，消去y并化简，得到 22 76130xcxc， 解得 12 13 , 7 c xc x ，代入到l的方程，解得 12 39 ,
29、 214 yc yc ， 因为点P在x轴的上方，所以 3 ( ,) 2 P cc， 由圆心在直线4x 上，可设(4, )Ct，因为OCAP， 且由（I）知( 2 ,0)Ac，故 3 2 42 c t cc ，解得2t ， 因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为 2， 又由圆C与l相切，得 2 3 (4)2 4 2 3 1 ( ) 4 c ，解得2c ，所以椭圆的方程为： 22 1 1612 xy . 【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆 锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 20. 【分析】 （I） ；
30、首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； （II） （i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果； （ii）首 先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果. 【详解】 （I）解：由已知， ( )f x 定义域为(0,)， 且 2 11 ( )(1) x xx ax e fxaea xe xx ， 因此当0a 时， 2 10 x ax e，从而 ( )0fx ， 所以 ( )f x在(0,)内单调递增. （II）证明： （i）由（I）知， 2 1 ( ) x ax e fx x ， 令 2 ( )1 x g xa
31、x e ，由 1 0a e ，可知( )g x在(0,)内单调递减， 又(1)10gae ，且 22 1111 (ln)1(ln)1 (ln)0ga aaaa ， 故( )0g x 在(0,)内有唯一解， 从而( )0fx 在(0,)内有唯一解，不妨设为 0 x， 则 0 1 1lnx a ，当 0 (0,)xx时， 0 ()( ) ( )0 g xg x fx xx ， 所以 ( )f x在 0 (0,)x内单调递增； 当 0 (,)xx时， 0 ()( ) ( )0 g xg x fx xx ， 所以 ( )f x在 0 (,)x 内单调递减， 因此 0 x是( )f x的唯一极值点. 令
32、( )ln1h xxx，则当1x 时， 1 ( )10h x x ，故( )h x在(1,)内单调递减， 从而当1x 时，( )(1)0h xh，所以ln1xx， 从而 1 ln 111111 (ln)lnln(ln1)lnlnln1(ln)0 a faeh aaaaaaa ， 又因为 0 ()(1)0f xf，所以( )f x在 0 (,)x 内有唯一零点， 又 ( )f x在 0 (0,)x内有唯一零点 1，从而，( )f x在(0,)内恰有两个零点. （ii）由题意， 0 1 ()0 ( )0 fx f x ，即 0 1 12 0 11 ln(1) x x ax e xa xe ， 从而 10 1 1 2 0 1 ln xx x xe x ，即 10 2 01 1 ln 1 xx xx e x ， 以内当1x 时，ln1xx，又 10 1xx，故 10 2 2 01 0 1 (1) 1 xx xx ex x ， 两边取对数，得 10 2 0 lnln xx ex ，于是 1000 2ln2(1)xxxx，整理得 01 32xx， 【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函 数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
