1、第十二节导数与生活中的优化问题及综合应用考向考向 1 1 利用导数解决实际生活中的优化问题利用导数解决实际生活中的优化问题【典例【典例1 1】(2013(2013烟台模拟烟台模拟)某商场销售某种商品的经验表明某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y(y(单位单位:千克千克)与销售价格与销售价格x(x(单位单位:元元/千克千克)满足关系式满足关系式y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,其中其中3x6,a3x6,a为常数为常数,已知销售已知销售价格为价格为5 5元元/千克时千克时,每日可售出该商品每日可售出该商品1111千克千克.(1)(1)求求a a的值的值
2、.(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/千克千克,试确定销售价格试确定销售价格x x的值的值,使商场使商场每日销售该商品所获得的利润每日销售该商品所获得的利润f(x)f(x)最大最大.ax3【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)根据根据“销售价格为销售价格为5 5元元/千克时千克时,每日可售出该每日可售出该商品商品1111千克千克”可知销售函数过点可知销售函数过点(5,11),(5,11),将其代入可求得将其代入可求得a a的值的值.(2)(2)利润为利润为f(x)=(f(x)=(每件产品的售价每件产品的售价-每件产品的成本每件产品的成本)销量销量,表表示出函数解析式后示出函数
3、解析式后,可借助导数求最值可借助导数求最值.【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为因为x=5x=5时时,y=11,y=11,所以所以 +10=11,+10=11,所以所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知可知,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)+10(x-6)f(x)=(x-3)+10(x-6)2 2=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3x6.,3xf(x)f(x)f(x)，对任意正实数，对任意正实数a a，则
4、下列式子成立的，则下列式子成立的是是()()(A)f(a)(A)f(a)e ea af(0)(B)f(a)f(0)(B)f(a)e ea af(0)f(0)(C)f(a)(C)f(a)(D)f(a)(D)f(a)(2)(2012(2)(2012辽宁高考辽宁高考)设设f(x)=ln x+-1,f(x)=ln x+-1,证明：证明：当当x x1 1时，时，f(x)f(x)(x-1);(x-1);当当1 1x x3 3时，时，f(x)f(x)af 0e af 0ex329 x1.x5【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)观察选项知观察选项知,所要比较的两数为所要比较的两数为 的大小的大小,故可构造函数
5、故可构造函数g(x)=,g(x)=,利用其单调性来比较利用其单调性来比较.(2)(2)构造函数构造函数,借助函数单调性证明不等式借助函数单调性证明不等式.同时应注意对于不同时应注意对于不等式中的无理式等式中的无理式,可利用基本不等式放缩后可利用基本不等式放缩后,变为整式或分式的变为整式或分式的形式后再证明形式后再证明.a0f af 0ee与 xf xe【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.令令g(x)g(x)g(x)g(x)00，g(x)g(x)在在R R上为增函数，又上为增函数，又a0.a0.g(a)g(0)g(a)g(0)，即，即即即f(a)ef(a)ea af(0).f(0).
6、xf xe，xx2xxfx ef x efx f xee a0f af 0,ee(2)(2)方法一：方法一：记记g(x)g(x)ln xln x 1 1 (x(x1).1).则当则当x1x1时，时，g(x)g(x)00，g(x)g(x)在在(1(1，)上单调递减上单调递减.又又g(1)g(1)0 0，有，有g(x)0g(x)0，即，即f(x)(xf(x)1x1时，时，xx1 1，故故 (i).(i).令令k(x)k(x)ln xln xx x1 1，则，则k(1)k(1)0 0，k(x)k(x)1010，故故k(x)0k(x)0，即，即ln xxln x1x1时，时，f(x)(xf(x)(x1
7、).1).2 xx1x221x32方法一：方法一：记记h(x)h(x)f(x)f(x)，得，得h(x)h(x)令令g(x)g(x)(x(x5)5)3 3216x216x，则当，则当1x31x3时，时，g(x)g(x)3(x3(x5)5)2 22160.2160.因此因此g(x)g(x)在在(1,3)(1,3)内是减函数，又由内是减函数，又由g(1)g(1)0 0，9 x 1x521154x2 xx522322x54x5542x4xx5x5x5216x.4x x5得得g(x)0g(x)0，所以，所以h(x)0.h(x)0.因此因此h(x)h(x)在在(1,3)(1,3)内是减函数，又内是减函数，
8、又h(1)h(1)0 0，得得h(x)0.h(x)0.于是当于是当1x31x3时，时，f(x)f(x)方法二：方法二：记记h(x)h(x)(x(x5)f(x)5)f(x)9(x9(x1)1)，则当则当1x31x3时，得时，得h(x)h(x)f(x)f(x)(x(x5)f(x)5)f(x)9 9 (x (x1)1)(x(x5)()5)()9 99 x 1.x53211x2 x 3x(x3x(x1)1)(x(x5)(25)(2 )18x18x 3x(x3x(x1)1)(x(x5)(25)(2 )18x18x (7x(7x2 232x32x25)0.25)0.因此因此h(x)h(x)在在(1,3)(
9、1,3)内单调递减，又内单调递减，又h(1)h(1)0 0，所以所以h(x)0h(x)0，即，即f(x)f(x)f(b)f(a)f(b)的形式的形式.(2)(2)对形如对形如f(x)g(x),f(x)g(x),构造函数构造函数F(x)=f(x)-g(x).F(x)=f(x)-g(x).(3)(3)对于对于(或可化为或可化为)f(x)f(x1 1,x,x2 2)A)A的不等式的不等式,可选可选x x1 1(或或x x2 2)为主元为主元,构造函数构造函数f(x,xf(x,x2 2)()(或或f(xf(x1 1,x).,x).【提醒】【提醒】解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求解决这种问
10、题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论的错误结论.2.2.利用导数证明不等式的基本步骤利用导数证明不等式的基本步骤(1)(1)作差或变形作差或变形.(2)(2)构造新的函数构造新的函数h(x).h(x).(3)(3)对对h(x)h(x)求导求导.(4)(4)利用利用h(x)h(x)判断判断h(x)h(x)的单调性或最值的单调性或最值.(5)(5)结论结论.【变式训练】【变式训练】设设a a为实数为实数,函数函数f(x)=ef(x)=ex x-2x+2a,xR.-2x+2a,xR.(1)(1)求求f(x)
11、f(x)的单调区间与极值的单调区间与极值.(2)(2)求证求证:当当aln2-1aln2-1且且x0 x0时时,e,ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.【解析】解析】(1)(1)由由f(x)=ef(x)=ex x-2x+2a,xR-2x+2a,xR知知f(x)=ef(x)=ex x-2,xR.-2,xR.令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=ln2,x=ln2,于是当于是当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况的变化情况如表如表.故故f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(-,ln2),(-,ln2),单调递增区间是单调递增区间是(ln2,+
12、),(ln2,+),f(x)f(x)在在x=ln2x=ln2处取得极小值处取得极小值,极小值为极小值为2(1-ln2+a).2(1-ln2+a).(2)(2)设设g(x)=eg(x)=ex x-x-x2 2+2ax-1,xR,+2ax-1,xR,于是于是g(x)=eg(x)=ex x-2x+2a,xR.-2x+2a,xR.由由(1)(1)知当知当aln2-1aln2-1时时,g(x)g(x)的最小值为的最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意于是对任意xR,xR,都有都有g(x)0,g(x)0,所以所以g(x)g(x)在在R R内单调递增内
13、单调递增.于是当于是当aln2-1aln2-1时时,对任意对任意x(0,+),x(0,+),都有都有g(x)g(0).g(x)g(0).而而g(0)=0,g(0)=0,从而对任意从而对任意x(0,+),g(x)0.x(0,+),g(x)0.即即e ex x-x-x2 2+2ax-10,+2ax-10,故故e ex xxx2 2-2ax+1.-2ax+1.考向考向 3 3 利用导数研究函数的零点利用导数研究函数的零点【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013台州模拟台州模拟)方程方程x x3 3-3x=k-3x=k有有3 3个不等的实根个不等的实根,则常数则常数k k的取值范围是的取值
14、范围是.(2)(2012(2)(2012福建高考福建高考)已知函数已知函数f(x)=axsinx-(aR),f(x)=axsinx-(aR),且在且在0,0,上的最大值为上的最大值为 ,求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式;判断函数判断函数f(x)f(x)在在(0,)(0,)内的零点个数内的零点个数,并加以证明并加以证明.32232【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)设设f(x)=xf(x)=x3 3-3x-k,-3x-k,利用导数求出利用导数求出f(x)f(x)的极值的极值,由极值符号对方程根的影响来构造不等式组求解由极值符号对方程根的影响来构造不等式组求解.(2)(2)利用导数求出
15、利用导数求出f(x)f(x)在在0,0,的最大值的最大值,据此求出据此求出a a的值的值;先根据零点存在性定理先根据零点存在性定理,判断出根的存在情况判断出根的存在情况,再利用函数再利用函数的单调性证明的单调性证明.2【规范解答】【规范解答】(1)(1)设设f(x)=xf(x)=x3 3-3x-k,-3x-k,则则f(x)=3xf(x)=3x2 2-3,-3,令令f(x)=0f(x)=0得得x=x=1,1,且且f(1)=-2-k,f(-1)=2-k,f(1)=-2-k,f(-1)=2-k,又又f(x)f(x)的图象与的图象与x x轴有轴有3 3个交点个交点,故故 -2k2.-2k2.答案答案:
16、(-2,2)(-2,2)2k02k0,，(2)(2)由已知由已知f(x)f(x)a(sinxa(sinxxcosx)xcosx)，对于任意对于任意x(0 x(0，)，有，有sinxsinxxcosxxcosx0.0.当当a a0 0时，时，f(x)f(x)，不合题意；，不合题意；当当a a0 0，x(0 x(0，)时，时，f(x)f(x)0 0，从而，从而f(x)f(x)在在(0(0，)内单内单调递减，调递减，又又f(x)f(x)在在0 0，上的图象是连续不断的，故上的图象是连续不断的，故f(x)f(x)在在0 0，上的最大值为上的最大值为f(0)f(0)，不合题意；，不合题意；2322222
17、32当当a a0 0，x(0 x(0，)时，时，f(x)f(x)0 0，从而，从而f(x)f(x)在在(0(0，)内单内单调递增，又调递增，又f(x)f(x)在在0 0，上的图象是连续不断的，故上的图象是连续不断的，故f(x)f(x)在在0 0，上的最大值为上的最大值为f()f()，即，即 ，解得，解得a a1.1.综上所述，得综上所述，得f(x)f(x)xsinxxsinx .2222233a22232f(x)f(x)在在(0(0，)内有且只有两个零点内有且只有两个零点.理由如下：理由如下：由由知，知，f(x)f(x)xsinxxsinx ，从而有，从而有f(0)f(0)0.0.0 0，又又
18、f(x)f(x)在在0 0，上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的.所以所以f(x)f(x)在在(0(0，)内至少存在一个零点内至少存在一个零点.又由又由知知f(x)f(x)在在0 0，上单调递增，故上单调递增，故f(x)f(x)在在(0(0，)内有内有且仅有一个零点且仅有一个零点.32323f()222222当当xx ，时，令时，令g(x)g(x)f(x)f(x)sinxsinxxcosx.xcosx.由由g()g()1 10 0，g()g()0 0，且，且g(x)g(x)在在 ，上的上的图象是连续不断的，故存在图象是连续不断的，故存在m(m(，)，使得，使得g(m)g(m)0.0.由由g
19、(x)g(x)2cosx2cosxxsinxxsinx，知，知x(x(，)时，时，有有g(x)g(x)0 0，从而从而g(x)g(x)在在(，)内单调递减内单调递减.当当x(x(，m)m)时，时，g(x)g(x)g(m)g(m)0 0，即，即f(x)f(x)0 0，从而，从而f(x)f(x)在在(，m)m)内单调递增，内单调递增，22222222故当故当xx ，m m时，时，f(x)f()f(x)f()0 0，故故f(x)f(x)在在 ，m m上无零点；上无零点；当当x(mx(m，)时，有时，有g(x)g(x)g(m)g(m)0 0，即，即f(x)f(x)0 0，从而，从而f(x)f(x)在在
20、(m(m，)内单调递减内单调递减.又又f(m)f(m)0 0，f()f()0 0，且，且f(x)f(x)在在m m，上的图象是连续不上的图象是连续不断的，从而断的，从而f(x)f(x)在在(m(m，)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.综上所述，综上所述，f(x)f(x)在在(0(0，)内有且只有两个零点内有且只有两个零点.22232【互动探究】【互动探究】在本例题在本例题(1)(1)中中,若改为若改为“方程只有一个实数根方程只有一个实数根”,其他条件不变其他条件不变,求求k k的取值范围的取值范围.【解析】解析】要使原方程只有一个实数根要使原方程只有一个实数根,只需只需2-k02-k0,-
21、2-k0,解解得得k2k2或或k-2,k0).+cx+d(a0).则则f(x)=3axf(x)=3ax2 2+2bx+c.+2bx+c.方程方程f(x)=0f(x)=0的判别式的判别式=(2b)=(2b)2 2-12ac,-12ac,(1)0(1)0即即b b2 23ac3ac时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立,f(x),f(x)在在R R上为增函数上为增函数,结合函数结合函数f(x)f(x)的图象知的图象知,方程方程f(x)=0f(x)=0有唯一一个实根有唯一一个实根.(2)(2)当当00即即b b2 23ac3ac时时,方程方程f(x)=0f(x)=0有两个实根有两个实根,设为设为x
22、 x1 1,x,x2 2(x(x1 1xm).m(Mm).当当m0m0时时,方程方程f(x)=0f(x)=0有唯一一个实根有唯一一个实根;当当m=0m=0时时,方程方程f(x)=0f(x)=0有两个实根有两个实根;当当m0m0时时,方程方程f(x)=0f(x)=0有三个实根有三个实根;当当M=0M=0时时,方程方程f(x)=0f(x)=0有两个实根有两个实根;当当M0M0时时,方程方程f(x)=0f(x)=0有一个实根有一个实根.【变式备选】【变式备选】(2013(2013安庆模拟安庆模拟)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-1,a0.-3ax-1,a0.(1)(1)求求f
23、(x)f(x)的单调区间的单调区间.(2)(2)若若f(x)f(x)在在x=-1x=-1处取得极值处取得极值,直线直线y=my=m与与y=f(x)y=f(x)的图象有三个的图象有三个不同的交点不同的交点,求实数求实数m m的取值范围的取值范围.【解析】【解析】(1)f(x)=3x(1)f(x)=3x2 2-3a=3(x-3a=3(x2 2-a),-a),当当a0a0,f(x)0,故当故当a0a0a0时时,由由f(x)0f(x)0解得解得x-x ;x ;由由f(x)0f(x)0解得解得-x ,-x0a0时时,f(x),f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,-),(,+);(-,-),(,
24、+);f(x)f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(-,).(-,).aaaaaaaa(2)(2)因为因为f(x)f(x)在在x=-1x=-1处取得极值处取得极值,所以所以f(-1)=3f(-1)=3(-1)(-1)2 2-3a=0,a=1.-3a=0,a=1.所以所以f(x)=xf(x)=x3 3-3x-1,f(x)=3x-3x-1,f(x)=3x2 2-3,-3,由由f(x)=0f(x)=0解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1.=1.由由(1)(1)中中f(x)f(x)单调性可知单调性可知,f(x),f(x)在在x=-1x=-1处取得极大值处取得极大值f(-1)=1,f(
25、-1)=1,在在x=1x=1处取得极小值处取得极小值f(1)=-3.f(1)=-3.因为直线因为直线y=my=m与函数与函数y=f(x)y=f(x)的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点,结合结合f(x)f(x)的单调性可知的单调性可知,m,m的取值范围是的取值范围是(-3,1).(-3,1).【满分指导】【满分指导】导数综合问题的规范解答导数综合问题的规范解答【典例】【典例】(12(12分分)(2012)(2012山东高考山东高考)已知函数已知函数f(x)=f(x)=(k(k为常数为常数,e=2.71828,e=2.71828是自然对数的底数是自然对数的底数),),曲线曲线y=f(x)
26、y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行.(1)(1)求求k k的值的值.(2)(2)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间.(3)(3)设设g(x)=xf(x),g(x)=xf(x),其中其中f(x)f(x)为为f(x)f(x)的导函数的导函数.证明证明:对任意对任意x0,g(x)0,g(x)1+e-2-2.xln xke【思路点拨】【思路点拨】xln xkf xe【规范解答】【规范解答】(1)(1)得得f(x)=2f(x)=2分分由已知由已知,f(1)=0,k=1.3,f(1)=0,k=1.3分分 xln xkf xx0,e由得，x1ln x
27、kx,e1ke(2)(2)由由(1)(1)知知,f(x)=,f(x)=设设k(x)=-ln x-1k(x)=-ln x-1，则，则k(x)=0k(x)=0，即即k(x)k(x)在在(0,+)(0,+)上是减函数，上是减函数，由由k(1)=0k(1)=0知，知，k(x)=0k(x)=0有唯一实根有唯一实根.当当0 x10 x0k(x)0，从而，从而f(x)0f(x)0，当当x1x1时时k(x)0k(x)0，从而，从而f(x)0.f(x)0.综上可知，综上可知，f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(0,1)(0,1)，单调递减区间是单调递减区间是(1,+).7(1,+).7分分x1ln
28、 x1x.e1x211xx(3)(3)由由(2)(2)可知，当可知，当x1x1时，时，g(x)=xf(x)0g(x)=xf(x)01+e1+e-2-2，故只需，故只需证明证明g(x)1+eg(x)1+e-2-2在在0 x10 x1时成立时成立.当当0 x10 x0g(x)0，99分分设设F(x)=1-xln x-xF(x)=1-xln x-x，x(0,1)x(0,1)，则则F(x)=-(ln x+2)F(x)=-(ln x+2)，当当x(0,ex(0,e-2-2)时，时，F(x)0F(x)0，当，当x(ex(e-2-2,1),1)时，时，F(x)0F(x)0，所以当所以当x=ex=e-2-2时
29、，时，F(x)F(x)取得最大值取得最大值F(eF(e-2-2)=1+e)=1+e-2-2.11.11分分 x1xln xxg x1xln xx.e 所以所以g(x)F(x)1+eg(x)0,g(x)0,g(x)1+e-2-2.12.12分分【失分警示】【失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20121.(2012大纲版全国卷大纲版全国卷)已知函数已知函数y=xy=x3 3-3x+c-3x+c的图象与的图象与x x轴恰轴恰有两个公共点有两个公共点,则则c=(c=()(A)-2(A)-2或或2 2(B)-9(B)-9或或3 3(C)-1(C)-1或或1 1 (D)-3 (D)-
30、3或或1 1【解析】解析】选选A.A.设设y=f(x),f(x)=3(x+1)(x-1),y=f(x),f(x)=3(x+1)(x-1),当当x=-1x=-1或或x=1x=1时取得极值时取得极值,f(1)=0,f(1)=0或或f(-1)=0,f(-1)=0,即即c-2=0c-2=0或或c+2=0,c+2=0,解得解得c=2c=2或或c=-2.c=-2.2.(20132.(2013三亚模拟三亚模拟)设函数设函数f(x)=xf(x)=x3 3-4x+a,0a2.-4x+a,0a2.若若f(x)f(x)的三的三个零点为个零点为x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,且且x x1 1xx2 2x-1
31、-1(B)x(B)x2 2000(D)x(D)x3 322【解析】【解析】选选C.C.因为因为f(x)=3xf(x)=3x2 2-4-4，所以由，所以由f(x)f(x)0 0得得x x 或或x x ；由；由f(x)f(x)0 0得得 x x ，即，即f(x)f(x)在在(-,(-,)上递增，在上递增，在(，)上递减上递减,在在(,+)(,+)上递上递增增.又又f(0)=af(0)=a且且0 0a a2 2，f(x)f(x)的三个零点满足的三个零点满足x x1 1x x2 2x x3 3，据，据此可画出函数此可画出函数f(x)f(x)的草图如图，由图可知的草图如图，由图可知x x2 20 0成立
32、成立.2 332 332 332 332 332 332 332 333.(20123.(2012山东高考山东高考)设函数设函数f(x)=f(x)=，g(x)=axg(x)=ax2 2+bx(a+bx(a，b bRR，a0),a0),若若y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与y=g(x)y=g(x)图象有且仅有两个图象有且仅有两个不同的公共点不同的公共点A(xA(x1 1，y y1 1)，B(xB(x2 2，y y2 2)，则下列判断正确的，则下列判断正确的是是()()(A)(A)当当a a0 0时，时，x x1 1+x+x2 20 0，y y1 1+y+y2 20 0(B)(B)当当a a
33、0 0时，时，x x1 1+x+x2 20 0，y y1 1+y+y2 20 0(C)(C)当当a a0 0时，时，x x1 1+x+x2 20 0，y y1 1+y+y2 20 0(D)(D)当当a a0 0时，时，x x1 1+x+x2 20 0，y y1 1+y+y2 20 01x【解析】【解析】选选B.B.令令则则1=ax1=ax3 3+bx+bx2 2(x0),(x0),设设F(x)=axF(x)=ax3 3+bx+bx2 2，F(x)=3axF(x)=3ax2 2+2bx,+2bx,令令F(x)=3axF(x)=3ax2 2+2bx=0,+2bx=0,则则要使要使y=f(x)y=f
34、(x)的图象与的图象与y=g(x)y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共图象有且仅有两个不同的公共点只需点只需 整理得整理得4b4b3 3=27a=27a2 2，21axbxx，2bx3a，322b2b2bF()a()b()13a3a3a，于是可取于是可取a=a=2,b=32,b=3来研究，当来研究，当a=2a=2，b=3b=3时，时，2x2x3 3+3x+3x2 2=1=1，解，解得得x x1 1=-1=-1，x x2 2=，此时，此时y y1 1=-1=-1，y y2 2=2=2，此时，此时x x1 1+x+x2 20 0，y y1 1+y+y2 20 0；当；当a=-2a=-2，b=3b
35、=3时，时，-2x-2x3 3+3x+3x2 2=1=1，解得，解得x x1 1=1=1，x x2 2=-=-，此，此时时y y1 1=1=1，y y2 2=-2=-2，此时，此时x x1 1+x+x2 20 0，y y1 1+y+y2 20.0.答案应选答案应选B.B.12124.(20124.(2012天津高考天津高考)已知函数已知函数f(x)=,f(x)=,xR,xR,其中其中a a0,0,(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间.(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间(-2(-2，0)0)内恰有两个零点，求内恰有两个零点，求a a的取值范围的取值范围.
36、(3)(3)当当a=1a=1时，设函数时，设函数f(x)f(x)在区间在区间t,t+3t,t+3上的最大值为上的最大值为M(t),M(t),最小值为最小值为m(t),m(t),记记g(t)=M(t)-m(t),g(t)=M(t)-m(t),求函数求函数g(t)g(t)在区间在区间-3,-1-3,-1上的最小值上的最小值.3211axxaxa32【解析】【解析】(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),由由f(x)=0,f(x)=0,得得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=a0,=a0,当当x x变化时变化时
37、,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如表的变化情况如表:故函数故函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-,-1),(a,+);(-,-1),(a,+);单调递减区单调递减区间是间是(-1,a).(-1,a).(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)f(x)在区间在区间(-2(-2，-1)-1)内单调递增，在区间内单调递增，在区间(-1(-1，0)0)内单调递减，从而函数内单调递减，从而函数f(x)f(x)在区间在区间(-2(-2，0)0)内恰有两个零点当内恰有两个零点当且仅当且仅当 解得解得0 0a a .所以，所以，a a的取值范围是的取值范围是(0(0，).)
38、.f20f10f 00，1313(3)a=1(3)a=1时，时，f(x)=xf(x)=x3 3-x-1.-x-1.由由(1)(1)知知f(x)f(x)在在-3-3，-1-1上单调递增，在上单调递增，在-1-1，1 1上单调递上单调递减，在减，在1 1，2 2上单调递增上单调递增.当当tt-3-3，-2-2时，时，t+3t+30 0，1 1，-1-1t t，t+3t+3，f(x)f(x)在在t t，-1-1上单调递增，在上单调递增，在-1-1，t+3t+3上单调递减上单调递减.因因此，此，f(x)f(x)在在t t，t+3t+3上的最大值上的最大值M(t)=f(-1)=-M(t)=f(-1)=-
39、，而最小值，而最小值m(t)m(t)为为f(t)f(t)与与f(t+3)f(t+3)中的较小者中的较小者.由由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知，当知，当tt-3-3，-2-2时，时，f(t)f(t+3)f(t)f(t+3)，故，故m(t)=f(t)m(t)=f(t)，所以，所以1313g(t)=f(-1)-f(t)g(t)=f(-1)-f(t)，而，而f(t)f(t)在在-3-3，-2-2上单调递增，因此上单调递增，因此f(t)f(-2)=.f(t)f(-2)=.所以所以g(t)g(t)在在-3-3，-2-2上的最小值为上的最小值为
40、g(-2)=g(-2)=53154().333 当当tt-2-2，-1-1时，时，t+3t+31 1，2 2，且，且-1-1，11t t，t+3t+3.下面比较下面比较f(-1)f(-1)，f(1)f(1)，f(t)f(t)，f(t+3)f(t+3)的大小的大小.由由f(x)f(x)在在-2-2，-1-1，1 1，2 2上单调递增，上单调递增，有有f(-2)f(t)f(-1)f(-2)f(t)f(-1)，f(1)f(t+3)f(2).f(1)f(t+3)f(2).又由又由f(1)=f(-2)=f(1)=f(-2)=，f(-1)=f(2)=f(-1)=f(2)=，从而从而M(t)=f(-1)=M
41、(t)=f(-1)=，m(t)=f(1)=.m(t)=f(1)=.所以所以g(t)=M(t)-m(t)=.g(t)=M(t)-m(t)=.综上，函数综上，函数g(t)g(t)在区间在区间-3-3，-1-1上的最小值为上的最小值为 .5313135343431.1.函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R,R,且满足且满足f(2)=2,f(x)1,f(2)=2,f(x)1,则不等式则不等式f(x)-x0f(x)-x0的解集为的解集为.【解析】【解析】令令g(x)=f(x)-x,g(x)=f(x)-1,g(x)=f(x)-x,g(x)=f(x)-1,由题意知由题意知g(x)0,g(x)g(x
42、)0,g(x)为增函数为增函数,g(2)=f(2)-2=0,g(x)0g(2)=f(2)-2=0,g(x)0的解集为的解集为(2,+).(2,+).答案答案:(2,+)(2,+)2.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+bx+bx2 2+cx+d(b,c,d+cx+d(b,c,d为常数为常数),),当当k(-,0)k(-,0)(4,+)(4,+)时时,f(x)-k=0,f(x)-k=0只有一个实根只有一个实根;当当k(0,4)k(0,4)时时,f(x)-k=0,f(x)-k=0有有3 3个相异实根个相异实根,现给出下列四个命题现给出下列四个命题:f(x)-4=0f(x)-4=0和
43、和f(x)=0f(x)=0有一个相同的实根有一个相同的实根;f(x)=0f(x)=0和和f(x)=0f(x)=0有一个相同的实根有一个相同的实根;f(x)-3=0f(x)-3=0的任一实根大于的任一实根大于f(x)-1=0f(x)-1=0的任一实根的任一实根;f(x)+5=0f(x)+5=0的任一实根小于的任一实根小于f(x)-2=0f(x)-2=0的任一实根的任一实根.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是.【解析】【解析】由题意知由题意知0 0和和4 4为函数的极值为函数的极值,设设f(x)=0f(x)=0的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2,且且x x1 1xx2 2,则则f(x
44、)f(x)在在x x1 1处取极大值处取极大值,在在x x2 2处取极小值处取极小值,故故f(xf(x1 1)=4,f(x)=4,f(x2 2)=0.)=0.由此作出由此作出f(x)f(x)的草的草图图,如图所示如图所示.结合图象可知结合图象可知,正确正确.答案答案:3.3.设设a a0 0，函数，函数f(x)=x+,g(x)=x-ln xf(x)=x+,g(x)=x-ln x，若对任意的，若对任意的x x1 1，x x2 21,e1,e,都有都有f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2)成立，则实数成立，则实数a a的取值范围为的取值范围为_._.【解析】【解析】只需满足只需满足f(x)f(
45、x)minming(x)g(x)maxmax即可即可.g(x)=1-0,g(x)=1-0,所以函数所以函数g(x)g(x)在在1,e1,e上为增函数，上为增函数，g(x)g(x)maxmax=g(e)=e-1.=g(e)=e-1.由由f(x)=1-=0f(x)=1-=0，得，得x=a.x=a.2ax1x22ax当当0 0a1a1时，函数时，函数f(x)f(x)在在1,e1,e上为增函数上为增函数,此时此时f(x)f(x)minmin=f(1)=a=f(1)=a2 2+1,+1,解解 得得 a1;a1;当当1 1aeae时，函数时，函数f(x)f(x)在在(1,a)(1,a)上为减函数，在上为减函数，在(a,e)(a,e)上为上为增函数增函数,此时此时f(x)f(x)minmin=f(a)=2a,=f(a)=2a,解解 得得1 1ae;ae;20a1a1e 1，e21ae2ae 1，当当a ae e时，函数时，函数f(x)f(x)在在1,e1,e上为减函数，上为减函数，此时此时f(x)f(x)minmin=f(e)=e+=f(e)=e+，解，解 得得a ae.e.综上综上,a .,a .答案答案:a a 2ae2aeaee 1,ee2e2
