1、第二课第二课线性代数 2012.3.8对换v定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。132-奇 231-偶v推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。v行列数同时对换后，行标与列标逆序数总和奇偶性不变。1111ijnjinpipjpnppjpipnpaaaaaaaa全排列中，奇偶排列各占一半v这两者必然一个奇排列一个偶排列，形成一对。v在全排列中，可以这样完美配对。v所以全排列中，奇偶排列数量相同，各占一半。v123,231,312;v213,321,132。11nnabccbaccv定理2:n阶行列式也可以定义为v证明：两种写法中总有对应相同
2、的项。v两个排列的逆序数的奇偶性是相同的。1212(1)ntppp naaa1111(1)(1)iijnnjtpipjpnpsqq iqjq naaaaaaaa1423314231422314422331143,4,2,4,3,1,22,3,1,45514,2,3,1572a a a aa a a aa a a av行标排好v列标逆序数v列标排好v行标逆序数v混排v行标逆序数v列标逆序数以上计算方法都可以确定单项的正负号5、行列式的性质行列式的性质第一章转置可以理解为以主对角线为轴翻转。行变成列，列变成行124221342123224412TDD 11121221111121111222221
3、2nnnnnnnnnTnnnaaaaaaDaaaaaaaaaDaab性质1：行列式与它的转置行列式相同221112211211nnnnnTnbbbbbbbbbD1111(1)(1)Dijninjtpp ip jTtpipjpppnnbbbbaaaa 221121112121nTnnnnnaaaaaaaabDTDD这条性质决定了行列式的行与列具有完全类似的性质。性质2:互换行列式两行（列），行列式变号2211122111211nnnnnnbbbbbbbbbD 221112212111nnnnnnaaaaaaDaaa对换i，j两行11111111111(1)(1)(1)(1)ijininjnjji
4、ntpipjpnptpjpipnptpipjpnptpipjpnpDbbbbaaaaaaaaDaaaaD ijijijijrc对换，两行。r对换，两列。c*abcd*acbdabcd两个行列式都有这个单项，但是符号不同。v左边的行列式中：v右边的行列式中：13213442a a a a31423 13243142a a a a34124 124214214221221432342432221 4 3212(1)(1 234)243411122224333444 23124124221221,0221221rDDrD 推论：两行（列）相同，则行列式为0*TDD上三角下三角性质3:行列式的某一行（
5、列）的所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式v推论：行列式某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。v 特例：某行（列）都是0，则行列式等于0 21022124124114202010 10221 20211342342322rc 3312412123221223342346c v行列式中的公因子，每行单独提取v将来学习矩阵的时候，注意对比不同（P33）310101010101010101010abcabcdefdefghighi10101010101010101010abcabcdefdefghighi特别注意性质4:行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零10
6、10522122152210342342 13411426132210392332 性质5:若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D可以分解如下：22211121111212122221222111121112122211122212()()(niiniinnniniiiiinnnnnnnnnnnnnnniniDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD181418041142461240126132923202392 114114104104261221241241392332362362 这个效果等同于第二列减掉第一列！性质6:把行列式的某一列（
7、行）的各元素乘以同一数加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。111111222111111112222122()(jninjnijninnijjninjnjnjnijnninjnkaaaaaaaaaaaaaaaaaakaaaaaaaaack ckaxbyabyxbyabayxbxyczdwcdwzdwcdcwzdzw2141324342235541312131213121534084602110211021108465133016270162713121312021140211 400081000810850010150002rrrrrrDrrrrrr 12341213141311113
8、1111311113666613111131111311111311/66113111131111020064800200002rrrrrrDrrrrDr4332214332434232432363106300232036300020030002000rrrrrrabcdaababcabcdDaababcabcdaababcabcdabcdaababcaababcaababcabcdraababcrraabaababcdaababcrarrabaa122112122121(rrrrabacbdacbdrrrrcdcdabababcdrrrrcdcadabacbdcdcadbbcadb错误）行操
9、作要一步一步完成，不能同时进行！*0*0*0*0*0*0*0*0*00*00*00*0*0*00*0*0*0*000*00*0*全部过程可以只用行变换 或者 列变换完成。Gauss消元法消元法1111111111111111111111111111211111111111211de0D,t(),det()0DkknkijijknknnnkknnknkkkkkknnnknnkknkknnaaaabbaaDDccbbaabbccbbpqDpqppqqpppccqcabpDq1111112nknnnkknncqqDppqD Dq前k行，只做行变换；后n列只做列变换。使得两块变成下三角行列式。1234
10、712585 30073449990801293.1490012341313125712138957348934571011891011101122nnababDcdcd2(22)2000000(1)00nnabcdabDabcdcd 222(1)2(1)2122(2)2()()()()nnnnnnnDD Dabbc DDadbcDadbcDadbc逐行前移，把最后一行移到第二行位置。逐列前移，把最后一列移到第二列位置。其它的列相互关系不会被破坏。这是个分块行列式，利用之前的例题可以快速得出结果。继续迭代下去，问题即可解决。总结行列式变换方式v换行（列）v提取公因子v行列消元1212343412rr22 121123432c 21212103432cc
