1、第三章 几何光学的基本概念本课内容：3-2光在平面界面上的折射 光学纤维33光在球面上的反射与折射34光在连续几个球面上的反射与折射作业：作业：P160-6、72（2）折射）折射n2n1A2(x2，0)B1B2OP1(0,y1)yxi2i1i1+i1i2+i2P2(0,y2)P(0，y)A1(x1，0)P(x,y)子子 午午 像像 弧弧 矢矢 像像33.2.2 光束单心性的破坏 光线在折射率不同的两个透明物质的平面分界面上反射时单心光束仍保持为单心光束，但折射时，除平行光束折射时仍为平行光束外，单心光束将被破坏。光束单心性的破坏，并不意味着与衍射有任何联系4现在来讨论折射光束问题 P1点的纵坐
2、标为2122212211)1(xnnynnyP2点纵坐标y2的表式有类似的形式。OB1P(0,y)n2n1B2yxP(x,y)P2P1i1A1A25由附录由附录3-1可得可得P1和和P2点的纵坐标分别是点的纵坐标分别是:22222121222122212121)1()1(xnnynnyxnnynnyP点的坐标为：点的坐标为：132221)1(itgnnyx2312222112)1(1 itgnnnnyyOB1P(0,y)n2n1B2yxP(x,y)P2P1i16如果将右图绕oy 轴转过一个小角度，则顶点为P 的三角形 PA1A2展成一个单心的发散光束。但折射光束的单心性遭到破坏：光束中的各光线
3、相交于两条互相垂直的线段弧矢象线和子午象线。即光在平面界面上的折射发生象散。OB1P(0,y)n2n1B2yx子午象线子午象线P2P1i1A1A2弧矢象线弧矢象线7B1B2折射光束的单心性遭到破坏！折射光束的单心性遭到破坏！OB1Pn2n1B2yxPPP2P28 仅当P点发出的光束垂直于界面时22222121222122212121)1()1(xnnynnyxnnynny132221)1(itgnnyx2312222112)1(1 itgnnnnyyynnyyyxxxi12212110009 此时，弧矢象线和子午象线合为一点，折射光此时，弧矢象线和子午象线合为一点，折射光 束为单心光束，象散消
4、失。束为单心光束，象散消失。OB1P(0,y)n2n1B2yxP(x,y)y2y1i1ynnyyyxi122110010由以上的讨论可知：1）光在平面界面上的反射不破坏光束的单心 性，所成的象为完善虚象。2）光在平面界面上折射，光束的单心性遭到 破坏，折射光束为象散光束，各光线的反 向延长线交于互相垂直的线段和。3）发光点在平面界面上折射所成的象为不完 善虚象（）。113-3 光在球面上的反射和折射3.3.1、符号法则12顶点部分球面的中心点O曲率中心球面的球心C,半径曲率半径r主轴连接顶点和曲率中心的直线CO,主平面通过主轴的平面13符号规定有向距离 都从顶点算起，光线和主轴交点的位置,凡在
5、顶点右方者，线段长度的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负。物点或象点至主轴的距离；在主轴上方为正，在下方为负。14 光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线)算起，并取小于2的角度。由主轴(或球面法线)转向有关光线时。若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负(在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号)。符号规定有向角度1516 在图中出现的长度和角度(几何量)只用正值。例如s表示的某线段值是负的，则应用(-s)来表示该线值的几何长度。以下讨论的都是假定光线自左向右进行。符号规定全正图形173.3.2 球面反射对光束单心性的破坏光线PA
6、P的光程l nnlPPA)(21222122cos)(2)()(cos)(2)()()(rsrrsrnsrrsrrnPPA,lAPlPAsOPsPO式中r是常量,角度是位置的变量,根据费马原理,物象间光程应取常量,为此,对上式求极值有18(3-13)(111lslsrll0sin)(21sin)(21)(rsrlnsrrlndPAPd0:lrslsr得到S为已知,可算出s,但s是 的函数.即从物点发散的单心光束,经球面反射后不再是单心光束,即不能严格成象.19 P ACOP-s -r -s-u i-i-u rssrCPsrrsPCrACuACiCPuACiPCACPPAC,sinsinsins
7、in应用正弦定理可得：和对20结结 论：论：因为因为u u 随光线而变，所以随光线而变，所以s s 也随光线而变，并非唯一值。故球面也随光线而变，并非唯一值。故球面 反射后光束不能保持单心性，即不能严格地理想成象。反射后光束不能保持单心性，即不能严格地理想成象。sinsin1sinsinuuruuss sinsinsinsinsinsinursusriiurirsurisr213.3.3近轴光线条件下球面反射的物象公式 在近轴条件下，值很小，近轴光条件下球面反射的理想成象,若u（u）极小，即入射光仅在傍轴的狭窄范围内传播，则可得:ssrssss1sin)(sinsin,sinsAOusAOuu
8、utguuutgu)()()()(22srsrlssrrlrss211)(111lslsrll22当S=-时，S=r2；焦距，以f表示2rf f的符号取决于r，亦遵循符号法则。fss111球面反射物象公式23 不论对于凹球面或凸球面，不论S、S和f的数值大小和正负怎样，只要在近轴光线的限制下，上式都是球面反射成象的基本公式。只有一个值和给定的S值对应，此时有明确的象点存在。这个象点是一个理想的象点，叫做高斯象点；S称为物距，S称为象距。243.3.4、球面折射对光束单心性的破坏光线PAP的光程为lnnlPPA)(2521222122cos)(2)(cos)(2)()(rsrrsrnsrrsrr
9、nlnnlPPA)(1lnslsnrlnln0ddPAP Pn-u-i1-i2 uCP O r -s s26球面折射：An从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在A点发生折射，折射后的光线交主轴于P点。P点的位置由s确定。sinsinsinsin21uACiCPuACiPCACPPAC应用正弦定理得：和同球面反射一样，对 Pn-u-i1-i2 uCP O r -s s27sruunnrssinsin 显然，s也是随u（u）而变的，不同的光线将有不同的s值，故球面折射时光束亦不能保持单心性。nnursusrnnuCPuPCininrACrsCPsrrsPCsinsinsinsinsinsin21
10、283.3.5 近轴光线条件下球面折射的物象公式在近轴条件下，值很小，cos=1,因此:rnnsnsnrnn 它表征球面的光学特性。光焦度的单位称为屈光度，以字母D表示。光焦度)()(2/12/1srsrlssrrl29物象共轭是光路可逆原理的必然结果。物空间入射光束在其中进行的空间象空间折射光束在其中进行的空间 平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为球面界面的象方焦点F。从球面顶点O到象方焦点的距离称为象方焦距f。rnnnf30 物方焦点F 从球面顶点到物方焦点的距离称为物方焦距 f。rnnnfnnff 焦距之比等于物象两方介质的折射率之比。31ff 上式中的负号表示物方和象方焦点永
11、远位于球面界面的左右两方。由于n的值永远不相等，故32但在球面反射的情况中，物空间与象空间重合，且反射光线与入射光线的进行方向恰恰相反。这一情况，在数学处理上可以认为象方介质的折射率等于物方介质折射率n的负值，即n=n(这仅在数学上有意义)。球面反射的焦点和焦距不必区分物方和象方，反射可以看做是折射的特例。ff 333.3.6、高斯公式和牛顿公式高斯公式牛顿公式1sfsff fxx34理想成象的两个普适公式：1、高斯公式 特点：所有沿轴线段均以球面顶点为起点。将f、f 的表达式分别代入反射、折射理想成象公式中，经 整理后可得到同一表达式：1sfsf 这个表达式称为高斯公式。对于任何形式的成象过
12、程，只要确定相应的f、f，均可 由高斯公式求出象。35 2、牛顿公式：特点：以球面顶点为物、象方焦距的起点，以物方焦点为物 距起点，以象方焦点为象距起点。PF FCP-x -f fX-s s由图可知：（-x）+（-f）=-s x+f=s 代入高斯公式得：ffxx 此式称牛顿公式。与高斯公式一样，可用于任何成象过程。363 近轴物体理想成象的横向放大率：定 义：近轴物体在近轴光条件下理想成象时，所得象高与 物高之比。公 式：yy以高斯公式中相关量表示：以牛顿公式中相关量表示：snnsxffx37 横向放大率横向放大率 的意义的意义 1、可表示象的放大、缩小：2、可表示象的虚、实：虚象。实象；00
13、 3、可表示象的正、倒：倒象。正象；00 缩小。放大；11383-4 光连续在几个球面界面上的折射 虚物的概念3.4.1 共轴光具组 定 义：一光学系统中，所有球面的顶点均位于同一公共 轴线上，该系统称共轴光具组。39 3.4.2 逐个球面成象法：这是解决由多个球面组成的共轴光具组的求象问题的 基本方法。原 则：按规定的光线传播方向，自左向右，对每一球面应用 求象公式，直至最终求得物体经整个光具组所成的象。新问题：确定每一球面成象时的物、象位置和性质。第一个球面的出射光束是第二个球面的入射光束,第一个球面的象即为第二个球面的物.依次求出,最后的象即为整介光具组的象.403.4.3、虚物的概念1
14、、入射光束：发散实物；会聚虚物。2、物所处空间：物空间实物；象空间虚物。会聚光束对于次一个球面来说是入射光束，故仍应将其顶点看做是物，不过这只是算虚物。413-5 薄透镜 把玻璃等透明物质磨成薄片，其两表面都为球面或有一面为平面，即组成透镜42 凡中间部分比边缘部分厚的透镜凸透镜 凡中间部分比边缘部分薄的透镜凹透镜 连接透镜两球面曲率中心的直线透镜的主轴 包含主轴的任一平面主平面 圆片的直径透镜的通光孔径43 透镜两表面在其主轴上的间隔t 透镜的厚度 若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽略厚透镜 若可略去不计薄透镜。tC1C2443.5.1、近轴条件下薄透镜的成象公式OOtlls-s-r2r
15、1PPnn2n1c1c2hNAAMlPAlPAsPOsOP.45 薄透镜物象公式光线的光程PAPA221112rnnrnnsnsn212222222122122121)(2()(22)2()(hrhsnrhrhtnhrhsnPAPA)(21lnNOOMdnln:,0,即得根据费马原理dhd46物方焦距薄透镜的高斯公式)(lim221110rnnrnnnsfs象方焦距)(lim221120rnnrnnnsfs1sfsf47 若透镜两边的折射率相同，则通过O点的光线都不改变原来的方向透镜的光心 透镜的会聚和发散性质，不能单看透镜的形状，还与透镜两侧的介质有关 当透镜放在空气中时，薄凸透镜是会聚的，
16、薄凹透镜是发散的高斯公式fss111牛顿公式f fxx483.5.2、横向放大率 象的横向大小与物的大小之比值为横向放大率，即yyssfxxf利用相似三角形关系有:49 是正值，表示象是正的 是负值，表示象是倒的 1放大 1缩小503.5.3、薄透镜的作图求象法 在近轴条件下，通过物方焦点F与主轴垂直的平面物方焦平面 通过象方焦点，与主轴垂直的平面象方焦平面 副轴51凸透镜主轴上的物点P成象的作图法52 从P点作沿主轴的入射线折射后方向不变；从P点作任一光线PA，与透镜交于A点，与物方焦平面交于B点；作辅助线(副轴)BO，过A作与BO平行的折射光线与沿着主轴的光线交于点P，就是物点P的象点。5
17、3 同样，也可以利用象方焦平面及副轴作图 以上两种作图法，对凹透镜也同样适用，只要注意凹透镜的象方焦平面在物空间，物方焦平面在象空间54利用凹透镜的象方焦平面的成象光路图55 PA为从物点P发出的任一光线，与透镜交于A点；过透镜中心O作PA平行于的副轴OB，与象方焦平面交于点B；连接A、B两点，它的延长线就是光的折射方向，它与沿主轴的光线交于点P，则点即为所求的象点。轴外不远处一物点发出的近轴光线的情况5636 近轴条件下薄透镜的成象公式:221112rnnrnnsnsn定义物方焦距和象方焦距:2211222111limlimrnnrnnnsfrnnrnnnsfss57薄透镜的高斯公式:1sf
18、sf221112rnnrnnsnsn薄透镜的成象公式:2211222111rnnrnnnfrnnrnnnf58ffnn时，21fss1112211222111limlimrnnrnnnsfrnnrnnnsfssfvu11159 薄透镜的牛顿公式：ffxx x和x分别为由两焦点作为起点计算的物距和象距。pp-xx-ssFFO602、横向放大率fxxfssyypp-xx-ssFFQQOy-y，象是缩小的，象是放大的，象是倒立的，象是正立的1100613、作图求象法（自学P190P192）626338 近轴物点近轴光线成象的条件近轴物点近轴光线成象的条件 平面折射 球面反射 光束单心性遭到破坏 球面
19、折射 成像条件：（1）光线必须是近轴的）光线必须是近轴的 （2）物点必须是近轴的）物点必须是近轴的64一、近轴物点近轴光线球面反射的成象公式 （推导过程P193P194）：POPCA-s-r-sQQ65rss211象方与物方焦点重合球面反射的成象公式：2rff球面反射的高斯公式：1sfsf0sysy66二、近轴物点近轴光线球面折射的成象公式 （推导过程P195P196）：rnnsnsn球面折射的成象公式：0synsny物方和象方焦距：rnnnfrnnnf球面折射的高斯公式：1sfsf67【例【例1】习题315：有两块玻璃（折射率1.5）薄透镜的两 表明各为凸球面和凹球面，曲率半径均为10cm。
20、若 物和镜均浸在水中（水的折射率1.33），物在主轴 上距镜20cm处，作图和计算求象的位置。解：对于凸透镜，其焦距cmrnnnrnnrnnnfcmrnnnrnnrnnnf392392水水水水水水水水水水68作图法求得象的位置为P处：FOPPf=39cm-s=20cm-s 此象是虚像。691sfsf利用薄透镜的高斯公式可求得象的位置P为：fss111cmfsf ss413920392070对于凹透镜，其焦距：cmrnnnrnnrnnnfcmrnnnrnnrnnnf392392水水水水水水水水水水71作图法求得象的位置为P处：FOPP-s=20cm-s此象是虚像。-f=39cm721sfsf利用
21、薄透镜的高斯公式可求得象的位置P为：fss111cmfsf ss2.133920)39(2073【例2】习题317极薄的表玻璃两片，曲率半径分别为20cm和25cm，将两片的边缘胶合起来，形成内含空气的双凸透镜，把它置于水中，求其焦距是多少？解：由凸透镜的焦距公式得象方焦距cmnnnrnnrnnnf8.44)25133.12033.11(33.1)251201()(22112水水水74物方焦距为：cmnnnrnnrnnnf8.44)25133.12033.11(33.1)251201()(22111水水水75【例3】有一折射率为1.5半径为4cm的玻璃球，物体在距球表面6cm处，求：1）象离球
22、心之距离；2）象的横向放大率。解：（逐次求象法）1）由球面折射成像公式可得物体发出的光束经第一个球面（凸球面）透射所成象的位置cmssrnnsnsn36415.1615.176此象的横向放大率：4)6(5.1)36(101snsnyysnsnyysynsny象与物在同一方，为一正立放大的虚象。77O-s/P/P-ss/P/此象经第二个球面（凹球面）透射所成象的位置：cmssrnnrsnsn1145.1142365.11)2(78此象对于前一次成像的横向放大率：83)4236(1115.1)2()2(0)2(2 rsnsnyyrsnsnyysynrsyn5.148312 yyyyyy因此，象（对
23、于物）的横向放大率：象为一倒立放大的实象，在球的另一侧离球心距离为（11cm+4cm）=15cm处。793-8 近轴物点近轴光线成象的条件一、近轴物在近轴光线条件下球面反射的成象公式800211rss0sysy 不在主轴上的一个发光点Q能够理想成象于单独一个象点，必须同时满足下列两个限制条件：光线必须是近轴的 物点必须是近轴的81二、近轴物在近轴光线条件下球面折射的物象公式0rnnsnsn0synsnynnssyy82三、亥姆霍兹拉格朗日定理 角度放大率(又可叫光束会聚比)表示任意一条光线和主轴的夹角在通过光具组前后的比，即光束会聚和发散程度之比。nyuuyn横向放大率yyuu 在近轴光线条件
24、下，角度放大率83亥姆霍兹拉格朗日定理 即和的乘积应该是一常数，也就是说横向放大率愈大，角度放大率就愈小。nn 多个界面的情况kkkuynuyn111843-9 理想光具组的基点和基面 最重要的基点和基面是：焦点、主点；焦平面和主平面一、复合光具组的基点和基面85 用(I)的象方焦点和()的物方焦点之间的距离光学间隔 用(I)的象方主点和(II)的物方主点之间的距离d间距dfffff2121焦距2211fdfdffdfp1212fdfdffdfp物方主点象方主点8621ffd2121fffffdfdfp11dfdfp22空气中焦距物方主点象方主点2121111ffdfff87 若这两个光具组互
25、相接触，则d=0。因而有21111fff 光焦度0pp21 两个互相接触的同轴光具组所组成复合光具组的光焦度等于各单光具组的光焦度之和。88二、复合光其组的成象公式 牛顿公式fss111 高斯公式f fxx893-10 理想光具组的放大率 基点和基面的性质 理想光具组的放大率一、理想光具组的横向放大率ssxffx90二、理想光具组的角放大率 角放大率sstguutgxffx91三、基点和基面的性质 光具组的两主平面是共轭平面，面上任一对共轭点到主轴的距离相等，横向放大率=1 节点K和处光线的特征是；=+1 光具组的两边为同一介质时，节平面和主平面重合923-11 一般理想光具组的作图求象法平行光线作图法93任意光线作图法94 步骤：（1）作任一光线PA，交物方焦平面于B点；（2）作辅助线BK通过物方节点K；（3）在象方主平面上取点M，使MH=MH，从M点作M P平行于BK，则M P即为出射光线，它和主轴的交点P，即为象点。95总结薄透镜成象规律：1、f0薄透镜为会聚型（0）具有实焦点。当n1=n2=n，且nn时,为凸透镜。)(lim221120rnnrnnnsfs
