1、几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型 假如某公司每天向你投资假如某公司每天向你投资10万万元元,共投资共投资30天天.公司要求你给他的回公司要求你给他的回报是报是:第一天给公司第一天给公司1分钱，第二天给分钱，第二天给公司公司2分钱，以后每天给的钱都是前分钱，以后每天给的钱都是前一天的一天的2倍，共倍，共30天天,你认为这样的交你认为这样的交易对你有利吗？易对你有利吗？阅读课本阅读课本95 97页例页例1，边阅读边思考，边阅读边思考下面的问题：下面的问题：【例例1 1】假设你有一笔资金用于投资假设你有一笔资金用于投资,现有三种现有三种投资方案供你选择投资方案供你选择,这三种方案的回报如
2、下：这三种方案的回报如下：方案一：方案一：每天回报每天回报4040元；元；方案二：方案二：第一天回报第一天回报1010元，以后每天比前一天元，以后每天比前一天多回报多回报1010元；元；方案三：方案三：第一天回报第一天回报0.40.4元元,以后每天的回报比以后每天的回报比前一天翻一番前一天翻一番.请问请问,你会选择哪种投资方案？你会选择哪种投资方案？在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？数描述这些数量关系？投资天数、回报金额投资天数、回报金额解解:设第设第x天所得回报是天所得回报是 y元，则元，则方案一：方案一：方案二：方案二：方案三：方案
3、三：在本问题中涉及哪些数量关系？在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函如何用函数描述这些数量关系？数描述这些数量关系？上述的三个数学模型上述的三个数学模型,第一个是第一个是常数函数常数函数,另两个都是另两个都是递增的函数模型递增的函数模型,你如何对三个方你如何对三个方案作出选择？案作出选择？方法方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长我们来计算三种方案所得回报的增长情况：情况：请同学们对函数增长情况进行分析请同学们对函数增长情况进行分析,方法方法是是列表观察列表观察或作出或作出图象观察图象观察.x/天天 方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增加量增加量/元元y/元元增加量增加量/元元y/
4、元元增加量增加量/元元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.83040030010214748364.8107374182.4 根据表格中所提根据表格中所提供的数据供的数据,你对三种方你对三种方案分别表现出的回报案分别表现出的回报资金的增长差异有什资金的增长差异有什么认识？么认识？三种方案每天回报表三种方案每天回报表x42681012y20
5、406080100120140o 底 数 为底 数 为 2 的指数函数模的指数函数模型比线性函数型比线性函数模型增长速度模型增长速度要快得多要快得多.从中从中你对你对“指数爆指数爆炸炸”的函数有的函数有什么新的理解？什么新的理解？你能通你能通过图象描述过图象描述一下三种方一下三种方案的特点吗？案的特点吗？方法方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：我们来作出三种方案的三个函数的图象：1234567891011方案一方案一4080120160200240280320360400440方案二方案二103060100150210280360450550660方案三方案三0.41.22.8612.
6、425.250.8102204.4409.2818.8结论结论:投资投资16天天,应选择方案一应选择方案一;投资投资7天天,应选择方案一或二应选择方案一或二;投资投资810天天,应选择方案二应选择方案二;投资投资11天天(含含11天天)以上以上,则应选择方案三则应选择方案三.回报回报天数天数方案方案累计回报表：累计回报表：方案一方案一方案二方案二方案三方案三你你30天内给公司的回报为天内给公司的回报为:0.01+0.012+0.0122+0.01229300万元万元解答解答:公司公司30天内为你的总投资为天内为你的总投资为:假如某公司每天向你投资假如某公司每天向你投资10万元万元,共投资共投资
7、30天天.公司要求你给他的回报是公司要求你给他的回报是:第一天给公司第一天给公司1分钱，第二天给公司分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的分钱，以后每天给的钱都是前一天的钱都是前一天的2倍，共倍，共30天天,你认为这样的交你认为这样的交易对你有利吗？易对你有利吗？=10737418.231074(万元万元).1074-300=774(万元万元).实际应用问题实际应用问题分析、联想分析、联想抽象、转化抽象、转化构建数学模型构建数学模型解答数学问题解答数学问题审审 题题数学化数学化寻找解题思路寻找解题思路还原还原(设设)(列列)(解解)(答答)解答例解答例1的过程实际上就是建立函数模型的的过程实际
8、上就是建立函数模型的过程过程,建立函数模型的程序大概如下：建立函数模型的程序大概如下：【例例2 2】某公司为了实现某公司为了实现10001000万元利润的目标万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销在销售利润达到售利润达到1010万元时万元时,按销售利润进行奖励按销售利润进行奖励,且且奖金奖金y(单位单位:万元万元)随销售利润随销售利润x(单位单位:万元万元)的的增加而增加增加而增加,但奖金总数不超过但奖金总数不超过5 5万元万元,同时奖同时奖金不超过利润的金不超过利润的25%.25%.现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：y=0.25x,y=l
9、og7 7x+1,+1,y=1.002x,其中哪个模型能符其中哪个模型能符合公司的要求？合公司的要求？本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？实质是什么？一次函数模型一次函数模型 实质实质:分析三种函数的不同增长情况对分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况长情况 y=0.25xy=log=log7 x+1,+1,对数函数模型对数函数模型 指数函数模型指数函数模型y=1.002x 销售利润达到销售利润达到10万元时，按销售利润万元时，按销售利润进行奖励进行奖励,且部门销售利润一般不
10、会超过公司且部门销售利润一般不会超过公司总的利润总的利润1000万元万元,所以销售利润所以销售利润x可用不等可用不等式表示为式表示为_.依据这个模型进行奖励时依据这个模型进行奖励时,奖金不超过奖金不超过利润的利润的25%,所以奖金所以奖金y可用不等式表示为可用不等式表示为_.依据这个模型进行奖励时，奖金总数依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过不超过5万元万元,所以奖金所以奖金y可用不等式表示为可用不等式表示为_.10 x10000y50y25%x 你能用数学语言描述符合公司奖励方案的你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗条件吗?你能根据问题中的数据，判定所给的奖励你能根据问题中的数据，判
11、定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？模型是否符合公司要求吗？奖励模型符合公司要求就是依据这个模奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时型进行奖励时,符合条件：符合条件：(1)(1)奖金总数不超过奖金总数不超过5万元；万元；(2)(2)奖金不超过利润的奖金不超过利润的25%.因此因此,在区间在区间10,1000上上,不妨作出三个不妨作出三个函数模型的图象函数模型的图象,通过观察函数的图象通过观察函数的图象,得到得到初步的结论初步的结论,再通过具体计算确认结果再通过具体计算确认结果.400 600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyoy=5y=0.25x 通过观察图象
12、通过观察图象,你认为哪个模型符合公司你认为哪个模型符合公司的奖励方案？的奖励方案？通过观察图象通过观察图象,你认为哪个模型符合公司你认为哪个模型符合公司的奖励方案？的奖励方案？对于模型对于模型y=0.25x,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,当当x20时时,y5,因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求;通过观察图象通过观察图象,你认为哪个模型符合公你认为哪个模型符合公司的奖励方案？司的奖励方案？对于模型对于模型y=1.002x,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,观察观察图象并结合计算可知图象并结合计算可知,当当x806时时,y5,因此该模型不符因此该模型不符合要求合要求.
13、通过观察图象通过观察图象,你认为哪个模型符合公你认为哪个模型符合公司的奖励方案？司的奖励方案？对于模型对于模型y=log7x+1,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知,当当x=1000时时,y=log71000+14.551),幂函数幂函数y=xn(n0)与指数函数与指数函数y=ax(a 1)在区间在区间(0,+)上上都是增都是增函数函数,但它们的增长是有差异的但它们的增长是有差异的.那么这种差异那么这种差异的具体情况到底是怎样呢的具体情况到底是怎样呢?以函数以函数y=2x,y=log2x,y=x2为例.制作函数值表制作函数值表(借助计算器制
14、表借助计算器制表).).观察表格观察表格,三个函数的增长速度是不同的三个函数的增长速度是不同的.总体来讲总体来讲随着随着x的增大的增大,y=log2x的增长速度的增长速度最慢最慢;y=2x和和y=x2的增长速度有变化的增长速度有变化,一开始一开始,y=2x的增长速度快的增长速度快,后来后来y=x2增长速度快增长速度快.1234xyo1y=log2xy=x2y=2x画函数图象(描点或借助计算机作图).观察图象可以看出观察图象可以看出:三个三个函数的增长速度是不同函数的增长速度是不同的的,你能根据图象分别标你能根据图象分别标出不等式出不等式log2x2xx2和和 log2xx22x成立的成立的x的
15、取的取值范？值范？(1)0 x4时时,(2)2 x x2,有时有时2xx2但当但当x越来越来越大时越大时,2x的增长速度远快于的增长速度远快于x2.问题问题(2)(2)观察图象观察图象,试求出可使下列不等式成试求出可使下列不等式成立的立的x的取值范围的取值范围.(1)0 x4时时,(2)2x1),指数函数指数函数y=ax(a 1)与幂函数与幂函数y=xn(n0)都是增函数都是增函数,但它们的增长速度不同但它们的增长速度不同,而且不在而且不在同一个同一个“档次档次”上上.随着随着x的增大的增大,y=ax(a 1)的增长速度越的增长速度越来越快来越快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=xn(n0
16、)的增长的增长速度速度,而而y=logax(a1)的增长速度则会越来越的增长速度则会越来越慢慢.因此总存在一个因此总存在一个x0,当当 x x0时时,就会有就会有3.幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论般结论结论结论1:的增长快于的增长快于 的增长，所以存在一个的增长，所以存在一个 ，使使x 时时,有有 .结论结论2:的增长快于的增长快于 的增长，所以存在一个的增长，所以存在一个 ，使使x 时时,有有 .结论结论3：在区间（：在区间（0，+）上，函数）上，函数 (a1(a1）（a1),(n0)a1),(n0)都是增函数，都是增函数，但它们的增长速度
17、不同。随着但它们的增长速度不同。随着x x的增大的增大 (a1(a1）的增长速度越来越快，远远大于的增长速度越来越快，远远大于 （n0)n0)的增长速度，而的增长速度，而 (a1)(a1)的的增长速度则越来越慢，因此，会存在一个增长速度则越来越慢，因此，会存在一个 ，当，当 时，有时，有探究探究以函数以函数 为例为例.思 考思 考:你 能 用 同 样 的 方 法你 能 用 同 样 的 方 法,讨 论 函 数讨 论 函 数y=logax(0a1),y=ax(0a1)与幂函数与幂函数y=xn(n0)在区间在区间(0,+)上衰减情况吗上衰减情况吗?结论结论:在区间在区间(0,+)上上,尽管对数函数尽
18、管对数函数y=logax(0a1),y=ax(0a1)与与y=xn(n0)都是减函数都是减函数,但它们的衰减速度不同但它们的衰减速度不同,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上上.随着随着x的增大的增大,y=logax(0a1)的的衰减速度衰减速度越来越快越来越快,会超过并远远大于会超过并远远大于y=ax(0a1)的的衰衰减速度减速度,而而y=xn(nx0时时,就会有就会有3.你能用同样的方法你能用同样的方法,讨论函数讨论函数y=logax(0a1),y=ax(0a1)与幂函数与幂函数y=xn(n0)在区间在区间(0,+)上上衰减情况吗衰减情况吗?【1】四个变量四个变量y1,y2,y3,y
19、4随变量随变量x变化的变化的数据如下表：数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050关于关于x呈指数型函数变化的变量是呈指数型函数变化的变量是_.(练习练习P.981)【2】某种计算机病毒是通过电子邮件进某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的染没被感染的20台计算机台计算机.现在现在10台计算机在台计算机在第第1轮病毒发作时被感染，问在第轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？作时可能有多少台计算机被感染？(练习练习P.982)2.答案答案:第第5 5轮病毒发作时最多会有轮病毒发作时最多会有160160万台被万台被感染感染确定函数模型确定函数模型利用数据表格、函数图象讨论模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数增长体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义等不同函数类型的增长含义 课本课本P.39A 5P.39 2
