1、课时一分步与分类计数原理课时一分步与分类计数原理 我校将举行男生乒乓球比赛，比赛分成我校将举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶个阶段进行。段进行。第第1阶段：阶段：将参加比赛的将参加比赛的48名选手分成名选手分成8个小组，个小组，每组每组6人，分别进行单循环赛，分组时，先将人，分别进行单循环赛，分组时，先将8名种名种子选手分别安排在子选手分别安排在8个小组，然后用抽签方法确定其个小组，然后用抽签方法确定其余各选手分在哪个小组。余各选手分在哪个小组。第第2阶段：阶段：将将8个小组产生的前个小组产生的前2名共名共16人再分人再分成成4个小组，每组个小组，每组4人，分别进行单循环赛。人，分别进行单循环
2、赛。第第3阶段：阶段：由由4个小组产生的个小组产生的4个第个第1名进行名进行2场场半决赛和半决赛和2场决赛，确定场决赛，确定1到到4名的名次。名的名次。那么，整个赛程那么，整个赛程一共一共要进行要进行多少场多少场比赛呢？比赛呢？问题一：问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班班.那么一天中，乘那么一天中，乘坐这些交通工具坐这些交通工具从甲地到乙地从甲地到乙地共有多么种不同的共有多么种不同的走法？走法？分析：要完成从甲地到乙地这件事，从交通工具交通工具上可以有两类类选择，即乘火车或者乘汽车，无论乘
3、坐哪一类都可达到目的。解：解：因为一天中乘火车有因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 325种不同的走法。种不同的走法。火车火车火车汽车汽车甲甲乙乙分类计数原理：分类计数原理：完成一件事，有完成一件事，有n类类办法办法：第第1类类：有有m1种不同的方法种不同的方法；第第2类类：有有m2种不同的方法种不同的方法；第第n类类：有有mn种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.完成一件事，有完成一件事，有n类办法，类办法，在第
4、在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法类办法中有中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中有类办法中有mn种种不同的方法不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法.分类计数原理：分类计数原理：（1）各类方法之间相互各类方法之间相互独立独立，都能完成这件事；，都能完成这件事；（2）分类时，首先要确定一个分类的分类时，首先要确定一个分类的标准标准；（3）分类要做到）分类要做到不重不漏不重不漏。注：注：加法原理加法原理问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于
5、次日从丙地乘汽车到乙地再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？汽车汽车1汽车汽车2问题一：问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班班.那么那么一天中，乘坐这些交通工具一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地从甲地到乙地共有多么种不同的走法？共有多么种不同的走法？火车火车火车汽车汽车甲甲乙乙问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地从
6、甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，一天中，火车有火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，班，那么两天中，从甲地到乙地从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有多少种不同的走法？这两个问题这两个问题有什么有什么不同之处不同之处？思考汽车汽车1汽车汽车2问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？这两个问题这两个问题
7、有什么有什么不同之处不同之处？思考 在问题一中，采用乘火车或乘汽车在问题一中，采用乘火车或乘汽车 的的任何一种方式任何一种方式，都可以从甲地到乙地。而，都可以从甲地到乙地。而在问题二中，必须经过先乘火车、后乘汽车在问题二中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤两个步骤，才能从甲地到乙地。，才能从甲地到乙地。汽车汽车1汽车汽车2问题二：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？有多
8、少种不同的走法？解：解：因为乘火车有因为乘火车有3种走种走法，乘汽车有法，乘汽车有2种走法，所种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有车从甲地到乙地，共有 32=6种不同的走法种不同的走法.所有走法所有走法火车火车1汽车汽车1火车火车1汽车汽车2火车火车2汽车汽车1火车火车2汽车汽车2火车火车3汽车汽车1火车火车3汽车汽车2分析：要完成从甲地到乙地这件事，需要分成两个步步骤，即第一步乘火车，第二步乘汽车.并且两步依次依次完成后才能达到目的.汽车汽车1汽车汽车2分步计数原理：分步计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步个步骤骤：第第1步步：有
9、有m1种不同的方法种不同的方法；第第2步步：有有m2种不同的方法种不同的方法；第第n步步：有有mn种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法.完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个个步骤，做第步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n步有步有mn种不同的方种不同的方法法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法.分步计数原理：分步计数原理：注：注：（1）与）与“分步分步”有关，各个步骤相互有关，各个步骤相互依存依存，只有各个步
10、骤完成了，这件事才算完成；只有各个步骤完成了，这件事才算完成；（2）分步时首先要确定一个分步的）分步时首先要确定一个分步的标准标准；乘法原理乘法原理例题：例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层层放有放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？解：解：(1)分三类分三类:第一类第一类:从第一层取从第一层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法种方法;第二类第二类:从第从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；
11、第三类第三类:从第从第3层取层取1本体育书，有本体育书，有2种方法种方法.根据分类计数原理，不同取法的数是根据分类计数原理，不同取法的数是4+3+2=9（种）（种）答：从书架上任取答：从书架上任取1本书，有本书，有9种不同的取法种不同的取法.例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层层放有放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多少种不本书，有多少种不同的取法？同的
12、取法？(2)分三步：分三步：第一步第一步:从第一层取从第一层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法种方法;第二步第二步:从第从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第三步第三步:从第从第3层取层取1本体育书，有本体育书，有2种方法种方法.根据分步计数原理，不同取法的数是根据分步计数原理，不同取法的数是4 3 2=24（种）（种）答：从书架的第答：从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有本书，有24种不同的取法种不同的取法.解：例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层层放有放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2
13、本不同的体育书本不同的体育书.(1)从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多少种不本书，有多少种不同的取法？同的取法？(3)从书架的不同层取从书架的不同层取2本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？(3)分三类分三类:第一类第一类:从第从第1、2层中取，有层中取，有4 312种方法种方法;第二类第二类:从第从第2、3层中取，有层中取，有3 26种方法；种方法；第三类第三类:从第从第3、1层中取，有层中取，有2 48种方法种方法.根据分类计数原理，不同取法的数是根据分类计数原理，不同取法
14、的数是12+6+8=26（种）（种）答：从书架答：从书架的不同层取的不同层取2本书，有本书，有26种不同的取法种不同的取法.注：注：有时需综合运用两个原理有时需综合运用两个原理,一般情形是一般情形是先分类后分步先分类后分步.解：分析:要完成“从不同层取2本书”这件事,有从1、2层或2、3层或1、3层取三类办法,且各类办法之间互相独立,故先用分类计数原理,但每类又需分两步.练习：练习：1.填空：填空：(1)一件工作可以用一件工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人会用第人会用第1种方种方 法完成，另有法完成，另有4人会用第人会用第2种方法完成，从中选出种方法完成，从中选出1人人来完成工作，不
15、同选法的种数是来完成工作，不同选法的种数是 ；(2)从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村的道路有村的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同走法的种数是村，不同走法的种数是 .2.现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3名，高中二年级有学生名，高中二年级有学生5 名，名，高中三年级的学生高中三年级的学生4 名名.(1)从中任选从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？的选法？(2)从从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？(3
16、)从不同年级的学生中选从不同年级的学生中选2人参加接待外宾的活动，有人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？多少种不同的选法？962.现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3名，高中二年级有学生名，高中二年级有学生5 名，名，高中三年级的学生高中三年级的学生4 名名.(1)从中任选从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？的选法？解：解：(1)分三类分三类:第一类第一类:从高一学生中选，有从高一学生中选，有3种选法种选法;第二类第二类:从高二学生中选，有从高二学生中选，有5种选法；种选法；第三类第三类:从高三学生中选，有从高三学生中选，有4种选法
17、种选法.根据分类计数原理，共有不同选法根据分类计数原理，共有不同选法N=35412（种）（种）答答:从从中任选中任选1人参加接待外宾的活动人参加接待外宾的活动,有有12种不同的选法种不同的选法.练习：练习：2.现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3名，高中二年级有学生名，高中二年级有学生5 名，名，高中三年级的学生高中三年级的学生4 名名.(1)从中任选从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？的选法？(2)从从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？(2)分三步
18、分三步:第一步第一步:从高一学生中选，有从高一学生中选，有3种选法种选法;第二步第二步:从高二学生中选，有从高二学生中选，有5种选法；种选法；第三步第三步:从高三学生中选，有从高三学生中选，有4种选法种选法.根据分步计数原理，共有不同选法根据分步计数原理，共有不同选法解：3 5 460（种）（种）答答:从从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，人参加接待外宾的活动，有有60种不同的选法种不同的选法.2.现有高中一年级的学生现有高中一年级的学生3名，高中二年级有学生名，高中二年级有学生5 名，名，高中三年级的学生高中三年级的学生4 名名.(1)从中任选从中任选1人参加接待
19、外宾的活动，有多少种不同人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？的选法？(2)从从3个年级的学生中各选个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？(3)从从不同不同年级的学生中选年级的学生中选2人参加接待外宾的活动人参加接待外宾的活动,有有多少种不同的选法？多少种不同的选法？解：(3)分三类分三类:第一类第一类:从高一、高二学生中选，有从高一、高二学生中选，有3 515种选法种选法;第二类第二类:从高二、高三学生中选，有从高二、高三学生中选，有5 420种选法；种选法；第三类第三类:从高三、高一学生中选，有从高三、高一学生中选，有4
20、 312种选法种选法.根据分类计数原理，共有不同选法根据分类计数原理，共有不同选法15201247(种种)答答:从不同年级的学生中选从不同年级的学生中选2人参加接待外宾的活动人参加接待外宾的活动,有有47种不同的选法种不同的选法.例例2 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从个拨号盘，每个拨号盘上有从0到到9共共10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？码？分析：要完成组成四位数字号码这件事，需分4步，即第一步从A拨号盘上取第1个数(不妨把4个拨号盘分别标记为A、B、C、D)；第二步从B拨号盘上取第2个数；。且四步依次完成后才可
21、组成四位数字号码。又由于每个拨号盘有从0到9这10个数字，故每个拨号盘上的数字有10种取法.分四步分四步:第一步第一步:从从A拨号盘上取拨号盘上取1个数字，有个数字，有10种法种法;根据分步计数原理，共有四位数字号码的个数是根据分步计数原理，共有四位数字号码的个数是解：第二步第二步:从从B拨号盘上取拨号盘上取1个数字，有个数字，有10种法种法;N1010101010 000（个）答：可以组成可以组成10 000个四位数字号码个四位数字号码.例例3 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？班，有多少种不同的选法？分析：分析：
22、要完成要完成“选出选出2名工人名工人”这件事，可以看成是经过这件事，可以看成是经过先先选选1名上日班，名上日班，再再选选1名名上晚班这两个上晚班这两个步步骤完成。骤完成。另：另：被选上日班的人不能再上晚班。被选上日班的人不能再上晚班。分两步分两步:第一步第一步:从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名工人中选名工人中选1名上日班，有名上日班，有3种选法种选法;第二步第二步:从剩下的从剩下的2人中选人中选1名上晚班，有名上晚班，有2种选法；种选法；根据分步计数原理，共有不同选法数是根据分步计数原理，共有不同选法数是解：326（种）答：从答：从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，有名分别上日班和晚
23、班，有6种不种不同的选法同的选法.注注：利用分步计数原理时，需注意第：利用分步计数原理时，需注意第2步选取步选取的的元素元素与第与第1步选取的结果是否步选取的结果是否有关有关。练习：练习：4.从从5位同学中产生位同学中产生1名组长、名组长、1名副组长，有多少种不名副组长，有多少种不同的选法？同的选法？3.我市的电话号码由七位数字组成，其中第一位数字统我市的电话号码由七位数字组成，其中第一位数字统一为一为7，后六位数字都是，后六位数字都是0到到9之间的一个数字，那么我之间的一个数字，那么我市最多可以安装多少门电话？市最多可以安装多少门电话？练习：练习：3.我市的电话号码由七位数字组成，其中第一位
24、数字统我市的电话号码由七位数字组成，其中第一位数字统一为一为7，后六位数字都是，后六位数字都是0到到9之间的一个数字，那么我之间的一个数字，那么我市最多可以安装多少门电话？市最多可以安装多少门电话？分六步分六步:解：每步都可从每步都可从09之间选取，有之间选取，有10种取法种取法.根据分步计数原理，共有不同号码根据分步计数原理，共有不同号码N10101010 1010 106(门门)答：我市最多可以安装答：我市最多可以安装106门电话门电话.4.从从5位同学中产生位同学中产生1名组长、名组长、1名副组长，有多名副组长，有多少种不同的选法？少种不同的选法？分两步分两步:解：第一步：从第一步：从5
25、位同学中选位同学中选1 名组长，有名组长，有5种不同的选法；种不同的选法；第二步：从剩下的第二步：从剩下的4位同学中选位同学中选1 名副组长，有名副组长，有4种不同的选法；种不同的选法；根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有N5420(种)答：答：从从5位同学中产生位同学中产生1名组长、名组长、1名副组长，有名副组长，有20种不同的选法种不同的选法.二二.解决计数问题必须审清：做什么解决计数问题必须审清：做什么“事事”？怎样才算怎样才算“完成完成”？采用何种？采用何种“方式方式”完成；完成；若若每一种方法每一种方法都能都能独立独立完成这件事完成这件事,用分类计数用分类计数原理原理;若需若
26、需各步依次各步依次完成后这件事才算完成完成后这件事才算完成,则则用分步计数原理时用分步计数原理时.小小 结：结：三三.有时需综合运用两个原理有时需综合运用两个原理,一般情形是一般情形是先分类先分类后分步后分步.四四.利用分步计数原理时，需注意第利用分步计数原理时，需注意第2步选取步选取的的元素元素与第与第1步选取的结果是否步选取的结果是否有关有关。一一.分类计数原理与分步计数原理，解决的分类计数原理与分步计数原理，解决的都是都是有关做一件事的有关做一件事的不同方法种数不同方法种数问题问题.思考题思考题1.4名同学选报跑步、跳高、跳远名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目且每人报一项三个项目且每人报
27、一项,共有多少种共有多少种报名方法报名方法?2.4名同学争夺跑步、跳高、跳名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军远三项冠军(每项冠军只有一个每项冠军只有一个),共共有多少种可能的结果有多少种可能的结果?1.4名同学名同学选报选报跑步、跳高、跳远跑步、跳高、跳远三个项目且每人报一项三个项目且每人报一项,共有多少种共有多少种报名方法报名方法?分析分析:要完成的是要完成的是“4名同学每人从三个项目中名同学每人从三个项目中选一项报名选一项报名”这件事这件事,因为每人必报一项因为每人必报一项,四人四人都报完才算完成都报完才算完成.于是于是,可按人分步可按人分步,可分可分4步步.又又每人可在三项中选一项每人可
28、在三项中选一项,选法为选法为3种种解解:可分可分4步步 每人可在三项中选一项每人可在三项中选一项,选法为选法为3种种,所以共所以共有有 3 3 3 3=81(种种)答答:共有共有81种报名方法种报名方法.2.4名同学争夺跑步、跳高、跳名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军远三项冠军(每项冠军只有一个每项冠军只有一个),共共有多少种可能的结果有多少种可能的结果?分析分析:要完成的是要完成的是“三个项目冠军的获取三个项目冠军的获取”这件这件事事.因为每项冠军只能有一人获得因为每项冠军只能有一人获得,三项冠军都有三项冠军都有得主得主,这件事才算完成这件事才算完成.于是应以于是应以“确定三项冠军确定三项冠
29、军得主得主”为标准进行分步为标准进行分步.解解:分分3步步:每项冠军是四人中的某一人每项冠军是四人中的某一人,有有4种可种可能情况能情况,于是共有于是共有 4 4 4=64(种种)可能的结果可能的结果.1有不同的中文书有不同的中文书9本，不同的英文书本，不同的英文书7本，不同的日文书本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同本，问有多少种不同的取法？的取法？2集合集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4 从从A,B 中各取中各取1个元素作个元素作为点为点P(x,y)的坐标的坐标（1）可以得到多少个不同的点？）可以得到多少个不同的点？（
30、2）这些点中，位于第一象限的有几个？）这些点中，位于第一象限的有几个？3某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯，问从处楼梯，问从1楼到楼到5楼共楼共有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？4.集合集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,从从A到到B的映射有多少个？的映射有多少个？讲讲练练讲讲练练97957514334432422228333381例例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？少个？分析与解：分析个位数字，可分以下几类分析与解：分析个位数字，可分以下几类个位是个位是9，则十位可以是，则十位可以
31、是1，2，3，8中的一个，故有中的一个，故有8个；个；个位是个位是8，则十位可以是，则十位可以是1，2，3，7中的一个，故有中的一个，故有7个；个；与上同样：与上同样：个位是个位是7的有的有6个；个；个位是个位是6的有的有5个；个；个位是个位是2的只有的只有1个个由分类计数原理知，满足条件的两位数有由分类计数原理知，满足条件的两位数有例例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？少个？分析与解：分析个位数字，可分以下几类分析与解：分析个位数字，可分以下几类个位是个位是9，则十位可以是，则十位可以是1，2，3，8中的一个，故有中
32、的一个，故有8个；个；个位是个位是8，则十位可以是，则十位可以是1，2，3，7中的一个，故有中的一个，故有7个；个；与上同样：与上同样：个位是个位是7的有的有6个；个；个位是个位是6的有的有5个；个；个位是个位是2的只有的只有1个个由分类计数原理知，满足条件的两位数有由分类计数原理知，满足条件的两位数有说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对对“做一件事，完成之可以有做一件事，完成之可以有n类办法类办法”的理解，所谓的理解，所谓“做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法类办法”，这里是指对完，这里是指对完成这件事情的所有办法
33、的一个分类分类时，首先要根成这件事情的所有办法的一个分类分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足只有满足这些条件，才可以用分类计数原理这些条件，才可以用分类计数原理 例2（1993年全国高考题）同室年全国高考题）同室4人各写人各写1张贺年卡，先集中
34、张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡张贺年卡不同的分配方式有（不同的分配方式有（）A6种种 B9种种 C11种种 D23种种例3某艺术组有某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中其中7人会钢琴，人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，人，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1
35、人的选法分为两类：第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6212种，故共有20种不同的选法例例5.用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位号码；位号码；用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可以组成多少个无重复数字的4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字的可以组成多少个有重复数字的4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的可
36、以组成多少个无重复数字的4位奇数；位奇数；用用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的可以组成多少个有两个重复数字的4位整位整数等等数等等101010101010101010891010101010101091079987453691010109000先定个位，再定千位，最后定百、十位先定个位，再定千位，最后定百、十位58872240整数个数有0无0 987330重复9860不重复3398例例6.自然数自然数2520有多少个约数？有多少个约数？解：解：2520233257分四步完成：分四步完成：第一步：取第一步：取20，21，22，23，24有有4种种;第二步：取第二步：取30，31，32
37、有有3种；种；第三步：取第三步：取50，51有有2种；种；第四步：取第四步：取70，71有有2种。种。由分步计数原理，共有由分步计数原理，共有432248种种练习：练习：5张张1元币，元币，4张张1角币，角币，1张张5分币，分币，2张张2分币，可组成分币，可组成多少种不同的币值？（多少种不同的币值？（1张不取，即张不取，即0元元0分分0角不计在内）角不计在内）元：元：0，1，2，3，4，5角：角：0，1，2，3，4分：分：0，2，4，5，7，96561179深入应用深入应用例例1 五名旅客在三家旅店投宿的方法有多少种？五名旅客在三家旅店投宿的方法有多少种？解：完成这件事，可分成五个步骤：第一步
38、安排旅客解：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排旅客A，有有3种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步都各自有都各自有3种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有三家旅店投宿的方法有N3333335243答：五名旅客在三家旅店投宿的方法有答：五名旅客在三家旅店投宿的方法有243种。种。例例2 一个口袋内装有一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有个小球，另一个口袋装有4个小球，个小球，所有这些小球的颜色互不相同所有这些小球的颜色互不相同(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法
39、？从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？解：解：(1)从两个口袋内任取从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从个小球，可以从5个小球中任取个小球中任取1个，有个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从以从4个小球中任取个小球中任取1个，有个，有4种方法，根据分类计数原理，种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是得到不同的取法的种数是
40、Nm1m2549答：答：从两个口袋内任取从两个口袋内任取1个小球，有个小球，有9种不同的取法种不同的取法(2)从两个口袋内各取从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有个小球，有5种方法；第二种方法；第二步从第二个口袋内取步从第二个口袋内取1个小球，有个小球，有4种方法，根据分步计数种方法，根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是原理，得到不同的取法的种数是Nm1m25420答：答：从两个口袋内各取从两个口袋内各取1个小球，有个小球，有20种不同的取法种不同的取法例例3 现有高一学生现有高一学生8名
41、，高二学生名，高二学生12名，高三学生名，高三学生10名组名组成课外活动小组：成课外活动小组：(1)选其中一人为组长，有多少种不同选法？选其中一人为组长，有多少种不同选法？(2)每一年级选一名组长，有多少种不同选法？每一年级选一名组长，有多少种不同选法？解：（1）选一人作组长，有三类方法：第一类从高一选一名学生，有8种方法；第二类从高二选一名学生，有12种方法；第三类从高三选一名学生，有10种方法，选一人作组长的方法总数为 8+12+10=30 答：选一人作组长的方法总数为30。（2）每年级选一人作组长，可分三步来完成：第一步从高一选一名学生，有8种方法；第二步从高二选一名学生，有12种方法；
42、第三步从高三选一名学生，有10种方法，即各选一人作组长的方法总数为 81210=960 答：各选一人作组长的方法总数为 960。例例4.5名同学报名参加名同学报名参加4个课外活动小组个课外活动小组(每人限报每人限报1个个)，共有多少种不同报名方法？共有多少种不同报名方法？例例5.5名同学争夺名同学争夺4项竞赛冠军获得者共有多少种可能？项竞赛冠军获得者共有多少种可能？解：五名学生依次报名，可分五步来完成每名学生在四解：五名学生依次报名，可分五步来完成每名学生在四个项目中可任报一项，即每一步都有四种可能根据分步个项目中可任报一项，即每一步都有四种可能根据分步计数原理，不同的报名方法共有计数原理，不
43、同的报名方法共有 N44444451024(种种)答答:不同的报名方法共有不同的报名方法共有 1024种种解：确定四项冠军人选可分四步来完成：第一步确定第一解：确定四项冠军人选可分四步来完成：第一步确定第一项冠军人选，有项冠军人选，有m15(种种)可能；第二步确定第二项冠军可能；第二步确定第二项冠军人选的方法种数人选的方法种数,直至第四步都与第一步相同，根据分步直至第四步都与第一步相同，根据分步计数原理，冠军获得者共有计数原理，冠军获得者共有 N555554625(种种)可能可能答答:确定四项冠军人选的方法种数共有确定四项冠军人选的方法种数共有625种种.例例575600有多少个正约数？有多少
44、个正奇约数？有多少个正约数？有多少个正奇约数？解：解：(1)75600的每个正约数都可以写成的每个正约数都可以写成2i3j5k7l(其中其中i、j、k、l为整数为整数)的形式，其中的形式，其中 0i4，0j3，0k2，0l1于是，要确定于是，要确定 75600的一个的一个正约数，可分四步完成，即分别对正约数，可分四步完成，即分别对i、j、k、l在各自的范在各自的范围内任取一个数字，这样，围内任取一个数字，这样，i有有5种选法，种选法，j有有4种选法，种选法，k有有3种选法，种选法，l有两种选法，根据分步计数原理，有两种选法，根据分步计数原理，75600的的正约数个数是：正约数个数是：N5432
45、120(2)正奇数中不含有正奇数中不含有2的因数，所以要确定的因数，所以要确定75600的一的一个正奇数只需要分三步，即分别对个正奇数只需要分三步，即分别对j、k、l在各自的范围在各自的范围内任取一个数字根据分步计数原理，内任取一个数字根据分步计数原理，75600的正奇约数的正奇约数的个数是的个数是 N43224答：答：75600有有120个正约数，个正约数，24个正奇约数个正奇约数练习练习:1.某同学有若干本课外参考书，其中外语某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学本，数学6本，物理本，物理2本，化学本，化学3本，他欲带参考书到图书馆看书本，他欲带参考书到图书馆看书(1)若从这些参考书
46、中带一本去图书馆，有多少种不若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？同的带法？(2)若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同的带法？多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？书馆，有多少种不同的带法？2.有有A、B、C三组人，三组人，A组有组有6个人，个人，B组有组有5个人，个人，C组组有有4个人现根据下列条件选人去外地参观，则有多少种个人现根据下列条件选人去外地参观，则有多少种不同的选法？不同的选法？(1)任选出任选出1人人(2)选取
47、两个不同组的人选取两个不同组的人(3)三组中各选取一个三组中各选取一个 展开后有多少项？、多项式例98765434321211bbbbbaabbbbaa的点有多少个？第一、二象限不同坐标，则在直角坐标系各取一个元素作为点的，若从这两个集合中，、已知集合例7654N321M3综合提高练习综合提高练习的不同映射有多少个？到集合，那么集合，、如果集合例BA101B,A2edcba？为奇数的映射有多少个的映射，那么满足到集合表示从集合，、如果例xfxxfxfBA75432B101A4有多少种？付方法元的货款，则不同的支元来支付元、元、用例2015105在内）？和有多少个正约数（包括、例63016306
48、综合提高练习综合提高练习的整数？整除且数字不允许重复）有多少个能被（整数？整除且数字允许重复的）有多少个能被（上，问：，、已知在区间例52518004008综合提高练习综合提高练习共有多少组？，问适合条件的数组，且、已知例yxyxyx,5N,7例例9、同室、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿一张别人送出的贺年卡，则从中各拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的张贺年卡不同的分配方式有多少种？分配方式有多少种？85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快
49、乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时
50、把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.
