1、刚体的定轴转动刚体的定轴转动1.1.刚体的平动刚体的平动 连接刚体中任意两点连接刚体中任意两点的线段在运动中始终保持的线段在运动中始终保持平行。平行。一、刚体的平动和转动一、刚体的平动和转动 特点特点:刚体上所有点的刚体上所有点的 运动轨迹运动轨迹 、都相同都相同,可用质点运动来描述。可用质点运动来描述。avr、刚体刚体 说明：说明：1.1.刚体是理想模型。刚体是理想模型。2.2.在外力的作用下在外力的作用下,其上任意两点其上任意两点 均不发生相对位移。均不发生相对位移。受力而不形变的物体。受力而不形变的物体。AA BB B A 5-1 5-1 刚体的运动刚体的运动 将刚体的运动看作其将刚体的
2、运动看作其质心的质心的平动平动与相对于通过与相对于通过质心并垂直运动平面的轴质心并垂直运动平面的轴的的转动转动的叠加。的叠加。3.3.刚体的一般运动刚体的一般运动 A A 刚体上各点都绕同一转轴作刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，半径不同的圆周运动，在相同时在相同时间内转过相同的角度。间内转过相同的角度。2.2.刚体的定轴转动刚体的定轴转动特点：特点：刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；刚体上各点的刚体上各点的 均相同。均相同。、二、定轴转动的描述二、定轴转动的描述 参考平面参考平面 与转轴相垂直的平面与转轴相垂直的平面。2.2.运动方程运
3、动方程 位矢与位矢与 ox 轴夹角。轴夹角。)(t 规定：规定：定轴转动只有定轴转动只有两个转动方向两个转动方向 位矢沿位矢沿ox 轴轴 逆时针逆时针方向转动时角位置方向转动时角位置 为正，为正，反之为负。反之为负。1 1.角坐标角坐标 xo 参考参考方向方向参考平面参考平面 22ddddtt 5 5.角加速度角加速度rv 6 6.角量与线量的关系角量与线量的关系4 4.角速度角速度 t dd ra 2 ran 3 3.角位移角位移 rs rv rat rvan2 xO (P.103)xO vr s 三、力矩三、力矩 FrM sin rFM 对于定轴转动对于定轴转动,力矩的方向可用正、负号表示
4、之。力矩的方向可用正、负号表示之。对对 O 点力矩点力矩:大小大小:方向方向:1.1.力矩的定义力矩的定义M右手法则：右手法则：伸出右手伸出右手 四指垂直拇指，让四指指向四指垂直拇指，让四指指向 的方向，的方向，经小于经小于 的角度转向的角度转向 的方向，拇指指向的方向，拇指指向 的的 方向。方向。r FMOM rF ,FrFrM 和和 所决定的平面所决定的平面 222111sinsin FrFrM (3)合力矩的大小等于各力矩的代数和。合力矩的大小等于各力矩的代数和。若力若力F 不在参考平面内不在参考平面内,M =?=?2.2.讨论讨论:例：例：(4)刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。刚体
5、内各质点间内力对转轴不产生力矩。(1)与转轴垂直且通过转轴的力不产与转轴垂直且通过转轴的力不产生生力矩。力矩。(2)与转轴平行的力对转轴不产生力矩。与转轴平行的力对转轴不产生力矩。O1r2r12f21f2d1 2 1O1 2 1F2F1r2r3.3.力矩的计算举例力矩的计算举例例例 1 1：水平桌面上匀质细杆长：水平桌面上匀质细杆长 l，质量，质量 m，绕一端垂直轴转动，绕一端垂直轴转动，已知摩擦系数为已知摩擦系数为 ，求：细杆受的摩擦力矩，求：细杆受的摩擦力矩 Mf 。rrdmdfdO解：解：ddrlmm rglmgmfd d d frfrMd 2sind df 方向：方向：fM d d d
6、 0 f f lrrglmfrMM 21lgm 例例 2 2：水平桌面上匀质薄圆盘半径：水平桌面上匀质薄圆盘半径 R，质量，质量 m ，绕中心垂直轴，绕中心垂直轴 转动，已知摩擦系数为转动，已知摩擦系数为 ，求：圆盘受的摩擦力矩，求：圆盘受的摩擦力矩 MMf f 。解：解：选细圆环，半径选细圆环，半径 r，宽，宽 dr rrRmm d 2 d2 ,d 2 drrS rgmrfM d ddf 方向：方向：d 2 d02 ffrgrrRmMMR R 3 2 Rgm d 2 022 RrrRgm rdr四、转动定律四、转动定律 (重点）（重点）（p p100100）iiiiamfF 1.1.刚体定轴
7、转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 JM 2.2.转动定律的推导转动定律的推导 imOiFif(5-15)刚体上任意刚体上任意质元质元 ,imirir位矢位矢 ,iF合外力合外力 合内力合内力 if由牛顿定律由牛顿定律:故只列故只列切向分量式切向分量式：,sinsin t iiiiiiamfF 两端同乘两端同乘 得：得：ir 自然坐标系中，自然坐标系中，法向分力的力矩为零，法向分力的力矩为零，,对组成刚体的所有质元求和得：对组成刚体的所有质元求和得：JM 外外 sinsin tiiiiiiiiiamrfrFr ,it ira sinsin2 iiiiiiiiiiirmfrFr 刚体的合外力矩
8、刚体的合外力矩 合内力矩合内力矩 =0由此得出：由此得出：其中：其中：iiirmJ2 称刚体的称刚体的 转动惯量转动惯量 转动定律转动定律 (5-15）2iirm 两端同乘两端同乘 得：得：ir,sinsin t iiiiiiamfF ()J3.3.讨论讨论 均对同一转轴均对同一转轴,具有瞬时性，具有瞬时性，MM 指合外力矩。指合外力矩。,JM转动定律转动定律 刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩 =刚体转动惯量刚体转动惯量角加速度。角加速度。J 一定一定，则，则 ，M M 是改变刚体转动状态的原因。是改变刚体转动状态的原因。M MM 一定一定，则，则 ，J 是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯
9、性大小的量度。J1 M M=0，则，则 =0，=常量常量，刚体保持转动状态不变。刚体保持转动状态不变。M=常量常量，则，则 =常量，常量，刚体做匀变速转动。刚体做匀变速转动。21 ,200ttt JM 外五、转动惯量五、转动惯量 J 质点组质点组 2 iirmJ 质量连续分布的刚体质量连续分布的刚体 mrJd21.1.J 的计算的计算 单个质点单个质点 2rmJ 线分布线分布 ,d dlm 面分布面分布 体分布体分布 ,d dSm ,d dVm lmdd 质量线密度质量线密度 质量面密度质量面密度 质量体密度质量体密度 Smdd Vmdd Orm 刚体的总质量；刚体的总质量；3.3.决定决定
10、J 的三个因素的三个因素 2.2.J 的单位的单位 2mkg 转轴的位置。转轴的位置。质量分布；质量分布；同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。结论：结论：J 的意义：刚体转动惯性大小的量度。的意义：刚体转动惯性大小的量度。(1)转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直 取质元：取质元：xlmmdd d d2222 llxlmxmrJ(2)转轴过棒一端与棒垂直转轴过棒一端与棒垂直 31d d2022lmxlmxmrJl 5.5.J 的计算举例的计算举例 讲义讲义 P.9
11、7 例例 5-2 例题例题1:1:计算匀质细杆的计算匀质细杆的 J 。OxxOxdmxdxdmxd 1212lm 取质元：取质元：d dlm d d22lRmRJ 2 Rm RmO其中：其中：RlR 202 d 2 Rm 例例 题题2 2:均匀细圆环的均匀细圆环的 J (质量质量 m，半径，半径 R，轴过圆心垂直环面轴过圆心垂直环面)。2 2RR dm取细圆环取细圆环 d 2 d0 322 RrrRmmrJ dd2mrJ 例题例题3:3:匀质薄圆盘的匀质薄圆盘的 J (质量质量 m，半径半径 R，轴过圆心垂直盘面，轴过圆心垂直盘面)。讲义讲义 P.98 P.98 例例 5-3 2 Rm d 2
12、 drrm 其中：其中：212mR Rrdr d 2 2 2rrRmr 适用情况适用情况:6.6.平行轴定理平行轴定理 2 mdJJCA 说明：说明：两轴平行；两轴平行；JC 为刚体绕为刚体绕质心轴质心轴的转动惯量；的转动惯量；d 为两平行轴间的距离。为两平行轴间的距离。dCACACA(5-7)例：匀质细杆例：匀质细杆 22223141121)2(mlmlmllmJJc 端端 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。选定转轴正方向选定转轴正方向,以确定力矩、角加速度、角速度的正负。以确定力矩、角加速度、角速度的正负。当系统中既有转动物体，又有平动物体时当系统中既有转
13、动物体，又有平动物体时,用隔离法解题。用隔离法解题。对转动物体用转动定律建立方程对转动物体用转动定律建立方程,对平动物体则用牛顿定律对平动物体则用牛顿定律 建立方程。建立方程。注意：注意：六、转动定律的应用六、转动定律的应用（重点）（重点）1.1.隔离法分析研究对象，建立坐标系。隔离法分析研究对象，建立坐标系。2.2.对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。3.3.列出辅助方程。列出辅助方程。解解:隔离法隔离法 列出运动方程列出运动方程amTgm111 Ra 从以上各式解得从以上各式解得 2/21f21221f21mmmRMgmmRJmmRMgm
14、ma T2T1m1gm2gm2m1a辅助方程：辅助方程：amgmT222 f21 JMRTRT :1 m:2 m:m T1T2RmO fM m2m1aRm例题例题4:4:一轻绳跨过定滑轮如图所示，绳两端分别悬挂质量为一轻绳跨过定滑轮如图所示，绳两端分别悬挂质量为 的物体，且的物体，且 ，滑轮可视为质量为，滑轮可视为质量为mm半径为半径为R R的匀质圆盘，轴的匀质圆盘，轴处摩擦力矩为处摩擦力矩为 ，绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求重物的，绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求重物的加速度及绳中的张力。加速度及绳中的张力。21mm、21mm fM 2/)2(2 21f11211mmmRMmgmmma
15、gmT 2/)2(2 21f22112mmmRMmgmmmagmT 若忽略若忽略 Mf ，则：，则：2/2121mmmgmma ,2/)2(221121mmmgmmmT 2/)2(221212mmmgmmmT 则有：则有：若若,0 m2121)(mmRMgmmaf 2111212mmRMmgmmTf 2122122mmRMmgmmTf 则有：则有：若若 ,0,0 mMfgmmmma2121 gmmmmTT2121212 前面例题已求出圆盘所受的的摩擦力矩：前面例题已求出圆盘所受的的摩擦力矩：3 2 f RgmM 解解:设设 的方向为正的方向为正 0 由转动定律由转动定律 JM 得：得：JMf
16、是匀变速转动，是匀变速转动，由由 0 t 21 3 2 2 RmRgm 3 4 Rg 3/40Rg 43 0gR ROm 0,0t 令令 得：得：0 例例 题题5:5:一质量为一质量为 mm半径为半径为R R的匀质圆盘，以角速度的匀质圆盘，以角速度 绕垂直于盘绕垂直于盘面的中心轴旋转，如图所示。今将该圆盘置于水平面上，其间的面的中心轴旋转，如图所示。今将该圆盘置于水平面上，其间的摩擦系数为摩擦系数为 ，问圆盘转动多长时间停止。，问圆盘转动多长时间停止。0 例例 题题6:6:物理练习二物理练习二 填空题填空题 1 1 解解:因为因为 2 kMf 是变力矩是变力矩,与与 方向相反。方向相反。0 当
17、当 20 时，时，,)2(20 kMf ,)2(20 Jk 420Jk tJJkdd2 ,d d 2 tJk t0 0 ,)11(0 tJk,00tkJJ 令令 得：得：20 0 kJt 由由 JM 得：得：由由 JM 得：得：轴转动轴转动,转动惯量为转动惯量为 ,在在 时角速度为时角速度为 ,此后飞轮经历此后飞轮经历制动过程制动过程,阻力矩阻力矩 的大小与角速度的大小与角速度 的平方成正比的平方成正比,比例系比例系数数 为大于为大于0的常数的常数 ,当当 时时,飞轮的角加速度飞轮的角加速度 ,从开始制动到从开始制动到 所经历的时间所经历的时间 飞轮绕中心垂直飞轮绕中心垂直J0 t0 M 20
18、 K_ 20 _ t练习题：质量为练习题：质量为m的物体悬于轻绳的一端，绳绕在一轮轴的物体悬于轻绳的一端，绳绕在一轮轴上，如图所示。轴水平，轮半径为上，如图所示。轴水平，轮半径为 r，物体由静止释放，物体由静止释放，在时间在时间 t内下降距离为内下降距离为h，试求整个轮轴的转动惯量，试求整个轮轴的转动惯量J（用用 m、r 、t和和h表示）表示）rh(1):maTmgm 对对解：解：)2(JTr 对轮轴：对轮轴：(3)ra 联立（联立（1）（3）解得：）解得：)4()(2aragmJ 20 21 0 tahv 22tha 代入（代入（4）式得：）式得：)12(22 hgtmrJ七、力矩的功七、力
19、矩的功 （p p9898）反映力矩的空间累积结果。反映力矩的空间累积结果。dMA2 2.总功：总功：d cosddrFrFA dd MA 1 1.元功元功 3 3.说明说明:恒力矩的功恒力矩的功 MA 合外力的功合外力的功 =合外力矩的功。合外力矩的功。合内力矩的功合内力矩的功 =0 0。(5-11)rF d dd sin MrF rd 八、刚体的转动动能八、刚体的转动动能 (P.94)刚体分为质元刚体分为质元 ,21immm定轴转动时各质元动能：定轴转动时各质元动能：222k2121 iiiiirmvmE 2122kk iiiiirmEE 刚体的转动动能刚体的转动动能 =各质元动能的总和：各
20、质元动能的总和：irim iv 212k JE 刚体的转动动能刚体的转动动能 1.1.是刚体上所有质元动能之和。是刚体上所有质元动能之和。特点特点:(5-5)(2122 iiirm 212 J 2.因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。九、刚体定轴转动的动能定理九、刚体定轴转动的动能定理 (P.100)由转动定律由转动定律 JM 合外力矩对刚体所做的功合外力矩对刚体所做的功=刚体转动动能的增量。刚体转动动能的增量。d d JM 21212 12 2 JJ 得得 刚体的转动动能定理刚体的转动动能定理 21222121d21 JJMA (5-14)ddd tJ
21、 ddd tJ d J d d2121 JMA 说明：说明：1.1.定理描述了力矩作用的空间累积效果定理描述了力矩作用的空间累积效果,适用于定轴转动的刚体。适用于定轴转动的刚体。2.2.定轴转动刚体的机械能定轴转动刚体的机械能 =势能势能 +转动动能。转动动能。221 JmghE （其中（其中 h 为刚体质心到势能零点的垂直高度）为刚体质心到势能零点的垂直高度）3.3.系统系统 (刚体刚体+质点质点 )的动能定理为的动能定理为 4.4.系统仅保守力做功系统仅保守力做功 ,机械能守恒。机械能守恒。)2121()2121(202022 JmvJmvA 解：解：前面已求出摩擦力矩前面已求出摩擦力矩
22、利用转动动能定理求转过的角度。利用转动动能定理求转过的角度。恒摩擦力矩做负功，固有恒摩擦力矩做负功，固有 2 1 0 2 0 JMf 即：即：)31(2 1 212 02 LmLgm 得得 3 2 0gL 转过的圈数：转过的圈数：2 n 6 2 0gL 0Lm,21LgmMf 例例1:1:一质量为一质量为mm，长为，长为L L的匀质细杆，在水平面内绕端点的匀质细杆，在水平面内绕端点O O的铅直的铅直轴转动，如图所示，若初始角速度为轴转动，如图所示，若初始角速度为 ，杆与水平面的摩擦系数，杆与水平面的摩擦系数为为。求（。求（1 1）细杆所受的摩擦力矩）细杆所受的摩擦力矩MMf f；（；（2 2）
23、若细杆只受此摩擦）若细杆只受此摩擦力矩的作用，它转动多少圈能静止？力矩的作用，它转动多少圈能静止？o 另解另解:前面已求出摩擦力矩前面已求出摩擦力矩 21LgmMf 利用转动定律求转过的角度利用转动定律求转过的角度,根据转动定律根据转动定律:JM 恒恒量量）(2331212lgmlmglJM 2202 利用公式利用公式:则有则有:gl 32020 转过的圈数：转过的圈数：gln 6220 例题例题2 P 109 510 解：（解：（1）开始摆动时，重力矩为：）开始摆动时，重力矩为：,2mglM 根据转动定律：根据转动定律：lgmlmglJM233122 lm,（2）解法一）解法一 取杆为研究对
24、象，外力矩为重力矩，在任意位置取杆为研究对象，外力矩为重力矩，在任意位置 dcos2dd ,cos2 mglMAmglM 元元功功总功：总功：mglmglA2d cos220 根据动能定律：根据动能定律：2212 JmglA lg3 解法二解法二 取杆取杆+地球为系统，系统满足机械能守恒的条件地球为系统，系统满足机械能守恒的条件 取竖直位置为势能零点，取竖直位置为势能零点，2212 Jmgl lg3 由由上上式式得得：则有：则有：0 pE 例题例题 3:3:在长为在长为l l，质量为，质量为mm的匀质细杆的一端，固定一质量为的匀质细杆的一端，固定一质量为mm的小球，的小球，可绕过杆的另一端的水
25、平轴可绕过杆的另一端的水平轴O O在竖直面内转动，如图所示，若轴处无摩在竖直面内转动，如图所示，若轴处无摩擦，试求擦，试求（1 1）刚体绕轴转动的转动惯量；（）刚体绕轴转动的转动惯量；（2 2）若由水平位置释放，当杆）若由水平位置释放，当杆与竖直方向成与竖直方向成 角时的角速度为多大？此时小球的法向加速度为多大？角时的角速度为多大？此时小球的法向加速度为多大？Olm,mmgmg解：解：3122mlmlJ 由转动动能定理由转动动能定理 021)d(sin)2(22 JmgllmgA得得 ,)34(21cos2322 mlmgl cos23 lg 2 lan d 342ml )cos23(2 lg
26、l cos49 g 53 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 及守恒定律及守恒定律 一一.质点的角动量质点的角动量 (P.84)vr LOvmrL 大小：大小：方向：方向：右手法则右手法则 单位：单位：注意：注意：与参考点有关与参考点有关L二二.做圆周运动的质点对圆心的角动量做圆周运动的质点对圆心的角动量 大小：大小：2sin 2 JrmrvmrvmL 方向：方向：JL 角动量角动量 =转动惯量转动惯量角速度。角速度。(4-5)skgm12 L sin rvmL 2 iiiirmJL 2 JrmLLiiiii 刚体角动量：刚体角动量：JL 定轴转动时刚体上各质元绕同一轴做圆周运动，所以定
27、轴转动时刚体上各质元绕同一轴做圆周运动，所以 各质元的角动量各质元的角动量 可写为：可写为：三三.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 (P.103)定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 =刚体对该轴的转动惯量刚体对该轴的转动惯量 角速度。角速度。方向：方向：大小：大小：JL 总角动量总角动量 L 注意注意:,JL是对同一轴而言。是对同一轴而言。(5-17)四、刚体对转轴的角动量定理四、刚体对转轴的角动量定理 (P.104)由转动定律由转动定律 d)(dddtJtJJM得得 )(d d JtM t0 2 21 1 JJ1122 JJ 1.1.冲量矩冲量矩 恒力矩冲量矩恒力矩冲量矩 ;t
28、M 变力矩冲量矩变力矩冲量矩 ttM0d2.2.角动量定理角动量定理 （重点）（重点）角动量定理角动量定理 系统所受合外力矩的冲量矩系统所受合外力矩的冲量矩 =系统角动量的增量。系统角动量的增量。(5-21)力矩与其作用时间的乘积。力矩与其作用时间的乘积。11220d JJtMtt tJJtM01122d 3.3.说明说明 反映力矩的时间累积效应反映力矩的时间累积效应改变系统角动量。改变系统角动量。恒力矩作用的角动量定理：恒力矩作用的角动量定理：1122 JJtM 对定轴转动而言，规定了正方向后角动量定理可写为：对定轴转动而言，规定了正方向后角动量定理可写为：注意：注意：本身有正有负。本身有正
29、有负。,12 M(5)角动量定理不仅适用于质点、刚体，也适用于非刚体和系统。角动量定理不仅适用于质点、刚体，也适用于非刚体和系统。(6)式中所有的角量式中所有的角量 ()都是对同一轴而言。都是对同一轴而言。,MJ 角动量定理角动量定理 J(4)角动量的变化由角动量的变化由 和和 两个因素决定。两个因素决定。11220d JJtMtt 3.3.角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：说明：说明：2.2.角动量守恒定律是一条普适定律。角动量守恒定律是一条普适定律。0 外外M五、角动量守恒定律五、角动量守恒定律 (重点重点 p 104）守恒条件守恒条件 守守 恒恒 式式 或或 内内外外MM1.1
30、.对质点而言：对质点而言：，则，则 0 M 刚体定轴转动时刚体定轴转动时,如果如果 不变不变,则则 不变；不变；J 如果如果 改变改变,则则 也改变，也改变，=常量；常量；J J或或 1122 JJ(5-22)vmr常矢量常矢量。JL常矢量常矢量 mmJ 花样滑冰运动员通过花样滑冰运动员通过 改变身体姿态即改变转动改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速。惯量来改变转速。人和转盘的转动人和转盘的转动 六、碰撞六、碰撞 指相互作用时间极短，指相互作用时间极短，内内外外MM ,内内外外FF 1.1.完全弹性碰撞完全弹性碰撞 质点系：质点系：动量守恒动量守恒，机械能守恒，机械能守恒刚体：刚体：角动量守恒
31、角动量守恒，机械能守恒，机械能守恒系统：系统：角动量守恒，机械能守恒角动量守恒，机械能守恒2.2.非非完全弹性碰撞完全弹性碰撞 质点系：质点系：动量守恒动量守恒刚体：刚体：角动量守恒角动量守恒系统：系统：角动量守恒角动量守恒3.3.完全完全非非弹性碰撞弹性碰撞 碰后系统获同一速度或角速度碰后系统获同一速度或角速度 机械能不守恒！机械能不守恒！遵守的定律与遵守的定律与 2 2 相同。相同。角动量定理和守恒定律应用举例角动量定理和守恒定律应用举例 例例1 1：物理练习二物理练习二 填空题填空题 3 已知：已知：s 15 ,0,s 10 ,mkg 20 ,mN 401-02。tJM解：解：轮子受恒力
32、矩作用，由轮子受恒力矩作用，由角动量定理角动量定理得：得：)(0r JJtMM 求求：rM r tJMM 10 1520 40 mN 10 J 一个能绕固定轴转动的轮子一个能绕固定轴转动的轮子,除受到轴承的恒定摩擦力矩除受到轴承的恒定摩擦力矩 外外,还受到恒定外力矩还受到恒定外力矩 的作用的作用,若若 ,轮子对固定轴轮子对固定轴的转动惯量为的转动惯量为 ,在在 内内,轮子的角速度由轮子的角速度由 增大到增大到 ,则则 .rMMmNM 40220mkgJ st10 00 115 srad _ rM 一匀质细杆长为一匀质细杆长为 L，质量为，质量为M，可绕通过可绕通过OO点的水平轴转动，点的水平轴
33、转动，当杆从水平位置自由释放后当杆从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在光滑水平面的它在竖直位置上与放在光滑水平面的质量为质量为 m 的小滑块相撞的小滑块相撞 ,碰后碰后mm的速度为的速度为v.v.求求:相撞前后杆的角速度。相撞前后杆的角速度。解解:除重力外除重力外,其余内力与外力都不作功，其余内力与外力都不作功，故故机械能守恒机械能守恒：杆自由摆落的过程。杆自由摆落的过程。21221 JLMg 例题例题 2:2:有两个物理过程：有两个物理过程：得：得：31Lg COMLm )31(21212 ML 碰撞时间极短碰撞时间极短,冲力极大冲力极大,系统对系统对 OO 轴的轴的角动量守恒角动量守
34、恒，设顺时针为正：，设顺时针为正：)31()31(2212 MLmvLML 碰撞过程碰撞过程 v得：得：31 12LMvm 杆以角速度杆以角速度 与滑块与滑块 相碰碰后相碰碰后杆的角速度变为杆的角速度变为 ，滑块获得水平向，滑块获得水平向左的速度左的速度 。1 m2 v 0 0，顺时针顺时针；2 0 0，逆时针逆时针 2 3 3 MLvmLg COMLm 例例 题题3 3 质量为质量为MM ，长，长 l 的匀质细杆一端悬挂于光滑的的匀质细杆一端悬挂于光滑的O点，点，质量为质量为 m 的子弹以水平速度的子弹以水平速度 v 从从 A 点射入杆并陷入其中，使杆转点射入杆并陷入其中，使杆转动的最大角度
35、为动的最大角度为 30。已知。已知 OA=l，求：子弹入射速度。，求：子弹入射速度。解：解：两个物理过程两个物理过程 子弹以子弹以 v 射入杆内与杆获得共同角速度射入杆内与杆获得共同角速度 的过程，系统的过程，系统角动量守恒角动量守恒：)31(22lmMllmv 杆摆动过程仅重力矩做功，杆摆动过程仅重力矩做功，系统机械能守恒系统机械能守恒：)30cos1)(2()31(21222 lmglMglmMl 联立联立 解得：解得：)3)(2)(32(6122lmMllmMlglmv ov30Al Mgmg 例题例题4:4:定轴转动圆盘质量定轴转动圆盘质量 MM，半径，半径 R，初角速度，初角速度 0
36、 0 。一个质量。一个质量 为为 m 的子弹以速度的子弹以速度 v 水平射入盘边缘并嵌入盘中，求：水平射入盘边缘并嵌入盘中，求：(1)盘获盘获得的角速度；得的角速度；(2)系统动能的改变；系统动能的改变；(3)盘获得的冲量矩。盘获得的冲量矩。(1)系统系统角动量守恒角动量守恒，设逆时针为正：，设逆时针为正：)21()21(2202 mRMRmvRMR (2)21(2121 )21(212022222 MRmvmRMREk (3)022)21()21(MRMRL 解：解：RMvm0 o一、质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比一、质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比 (一一)质点运动质点运动刚
37、体定轴转动刚体定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量 m,力力 F转动惯量转动惯量 J,力矩力矩 MM力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能势能势能转动势能转动势能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp cpmghE 力力 学学 习习 题题 课课 质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二二)质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒amF JM 00diiitivmvmtF const pkEE2022121mvmvA iiiiiivmvm02022121 JJA const pkEE tJJtM000d 00 JJ 二、角量与线量的关系二、角量与线量的关系 ra 2 ran rs rv 三、自然坐标系中的力学量三、自然坐标系中的力学量 ,dd tsvv nvtvaaant 2dd
