1、本章研究平面任意本章研究平面任意(一般一般)力系的合成与平衡问题力系的合成与平衡问题平面一般平面一般 (任意任意)力系力系：各力的作用线在同一平面内，各力的作用线在同一平面内，但既不汇交于一点又不全部互相平行的力系称但既不汇交于一点又不全部互相平行的力系称 。FdFMMFFB)(A点的力可以点的力可以平移平移么？么？ABMABFFFFABFABF一一 力的平移定理力的平移定理作用在刚体上的力作用在刚体上的力,可以平行可以平行移到同一刚体上任一指定点移到同一刚体上任一指定点,但必但必须同时附加一个力偶，这个附加须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原来的力对指力偶的力偶矩等于原来的力对指定
2、点的矩。定点的矩。（c）OAOA（c）应该指出，力的平移定理的逆定理同样成立，即在刚体上同平面的力F和力偶M可合成为一合力FR。唯合力FR与力F的作用位置不同而已。FOA 力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产生的旋转作用。F（a）例圆周力F作用于转轴的齿轮上，观察力F的作用效应（b）OAFM下一页上一页返回首页退出又如再以削乒乓球为例又如再以削乒乓球为例F1F2A1A2AnFnxyOxyOxyOO为简化中心简化中心 三、平面任意力系向作用面内任一点的简化三、平面任意力系向作用面内任一点的简化F1F2FnM1M2MnMOFR下一页上
3、一页返回首页 332211F F FoooMMMMMM平面任意力系平面任意力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系niiR1FFniiooMM1FF1F2A1A2AnFnxyOxyOxyO 三、平面任意力系向作用面内任一点的简化三、平面任意力系向作用面内任一点的简化F1F2FnM1M2MnMOFR下一页上一页返回首页主矢主矢:力系中各力的矢量和力系中各力的矢量和.主矩主矩:力系中各力对简化中心力系中各力对简化中心o点的矩的代数和称为该力点的矩的代数和称为该力系对简化中心系对简化中心o点的主矩点的主矩.niinR121FFFFF)(121 niionoMMMMMFF1F2A1A2AnFn
4、xyOxyOxyO 三、平面任意力系向作用面内任一点的简化三、平面任意力系向作用面内任一点的简化F1F2FnM1M2MnMOFR下一页上一页返回首页结论结论:平面任意力系向平面任意力系向作用面作用面内任意点简化，最终可以得内任意点简化，最终可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力到一个力和一个力偶，这个力等于力系的主矢，系的主矢，作用作用线通过线通过简化中心，这个力偶的矩等于该力系对于简化中心，这个力偶的矩等于该力系对于O点的主点的主矩矩 主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关思考：对于不同的简化中心，主矢和主矩相同么？为什么？思考：对于不同的简
5、化中心，主矢和主矩相同么？为什么？FRx=Fx FRy=Fy222R2RR)()(yxyxFFFFFxRyRFF arctan主矢的方向：下一页上一页返回首页如何求出主矢和主矩如何求出主矢和主矩?主矩的大小：MO=MO(F)主矢作用点：主矢作用点：作用于简化中心上作用于简化中心上平面固定端约束平面固定端约束雨 搭xFyFOM结构结构简图简图固定端约束受力分析固定端约束受力分析AAA 一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为固定端或插入端支座。AMAFAyFAxFAMA0RF0OM主矢主矢主矩主矩最后结果最后结果说明说明0OM合力合力合力合力合力作用线过简化中心合力作用线过简化中心0RF
6、0OM0OM合力偶合力偶平衡平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关3、平面任意力系的 简化结果分析=ROFMd 作用线距简化中心作用线距简化中心ROFM合力合力F FR R 是在主矢是在主矢F FR R 的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。原则是合力对简化中心的距的转向要与主矩的转向一致原则是合力对简化中心的距的转向要与主矩的转向一致 。力系可进一步简化为一个合力力系可进一步简化为一个合力,合力的作用线不通过简合力的作用线不通过简化中心化中心,简化中心简化中心O O点到该力的作用线的垂直距离为点到该力的作用线
7、的垂直距离为00 oRM,FRoFMd OMORF dRF)()(1niiOROFmFM合力矩定理合力矩定理：即：即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于 力系中各力对于同一点之矩的代数和。力系中各力对于同一点之矩的代数和。BAABF1F2F3F44个力大小相等。问力系向个力大小相等。问力系向A点和点和B点简化的结果是什么？点简化的结果是什么？二者是否等效？正方形边长二者是否等效？正方形边长2lF2F3F11MF42M简化结果：Fx=2FFy=-2FM=2FlF1F2F44MF33M简化结果：Fx=2FFy=-2FM=0.图示力系有合力.试求合力
8、的大小,方向及作用线到A点的距离.AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:求力系的主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59 kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32 kNkNRRRyx01.423.3259.252222048.5201.4259.25arccosarccosRRx求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30oRMA=125+2 20sin60o-3 18sin30o =32.64 kNmMAmRMdA777.001.4264.32Rd平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和
9、对任意点力系的主矢和对任意点的主矩都等于零的主矩都等于零 即 00oRMF)()()(22iOOyxRFMMFFF因为平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程000oyxMFF 平面任意力系平衡的解析条件是平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零一点的矩的代数和也等于零.1 1、平面任意力系的平衡方程、平面任意力系的平衡方程4-3 4-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面任意力系平衡方程的三种形式平面任
10、意力系平衡方程的三种形式000AyxMFF二矩式二矩式000BAxMMF两个取矩点连线，不得与投影轴垂直两个取矩点连线，不得与投影轴垂直BA,三矩式三矩式000CBAMMM三个取矩点，不得共线CBA,一般式一般式(一矩式一矩式)证明二矩式：证明二矩式：000BAxMMF0AM简化结果简化结果平衡平衡为一合力为一合力FR通过通过A点点0BM简化结果简化结果平衡平衡为一合力为一合力FR通过通过B点点合力合力FR通过通过AB连线连线 0 xFx不垂直于不垂直于AB合力合力FR=0平衡平衡ABRFx平面一般力系平面一般力系的的特例特例平面平行力系平面平行力系Fy0MO(F)0 平面平行力系平面平行力系
11、_若平面力系中各力作用线全部平行，则称MA(F)0MB(F)0其中A、B两点的连线不能与各力作用线平行。（2-8）也可用二矩式，即 F1OF2F3Fnxy下一页上一页返回首页六、解题步骤与技巧六、解题步骤与技巧 解题步骤解题步骤 解题技巧解题技巧 选研究对象选研究对象 选坐标轴最好是未知力投影轴；选坐标轴最好是未知力投影轴；画受力图（受力分析）画受力图（受力分析）取矩点最好选在未知力的交点上；取矩点最好选在未知力的交点上；选坐标、取矩点、列选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；充分发挥二力杆的直观性；平衡方程。平衡方程。解方程求出未知数解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。灵活使用合力矩
12、定理。七、注意问题七、注意问题 力偶在坐标轴上投影不存在；力偶在坐标轴上投影不存在；力偶矩力偶矩M M=常数，它与坐标轴的选择与矩点的选择无关。常数，它与坐标轴的选择与矩点的选择无关。例例1 已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？解：选AB梁研究 画受力图（以后以后注明注明 解除约束，可把支反解除约束，可把支反 力直接画在整体结构力直接画在整体结构 的原图上的原图上）0)(iAFm由32 ,032PNaNaPBB0X0AX0Y3 ,0PYPNYABB解除约束ABNBYAXA例例2.在水平双伸梁上作用有集中载荷在水平双伸梁上作用有集中载荷P，矩为，矩为m的力偶和集度的力偶和集度 为为q的均布载
13、荷。如已知的均布载荷。如已知P=20kN，m=16kNm，q=20kN/m，a=0.8m；求支座；求支座A,B的约束反力。的约束反力。ABPmaaaqFQRBRA解解:(1)研究梁研究梁，将分布力简化成集中力，画出受力图；，将分布力简化成集中力，画出受力图；(2)建立坐标系建立坐标系Axy，列出平衡方程；，列出平衡方程；0,0PFRRYQBA由由KNPamqaRB122028.01628.02022KNRqaPRBA24128.02020ABPma/2xy由由得得得得0212,0)(aFapmaRFmQBA例例3 悬臂梁上作用均布载荷q，在B端作用集中力Fql和力偶Mql2；梁长度为2l，已知
14、q和l。求固定端的约束反力。解解 1）取AB梁为研究对象，画受力图。xy Fx0，FAx=0FAxFAyMAMqA2lBFqFMAB FQ2）列平衡方程求解，即 MA(F)=0，MMA2FlFQl=0MA=M2FlFQl=ql22ql22ql2=ql2 Fy0，FAy+FFQ=0 FAyFQF=2qlql=ql（）下一页上一页返回首页例例4 4求：求：解：解：qlxqqlxqlxPl21d0由合力矩定理由合力矩定理xqlxxxqhPlldd020 得得lh32已知：已知：q,l；合力及合力作用线位置合力及合力作用线位置.取微元如图取微元如图例4已知：20,M kN m100,P kN400,F
15、 kN20,q kNm1;l m求：固定端A处约束力.解：取T型刚架，画受力图.其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF01sin600AxFFF解得316.4AxFkN解得解得060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMAkN300AyFmkN1188AMPGQbela例例5 图示为行动式起重机，已知轨距图示为行动式起重机，已知轨距b=3m，机身重，机身重G=500KN，其作用线至右轨的距离其作用线至右轨的距离e=1.5m，起重机的最大载荷，起重机的最大载荷 P=250KN，其作用线至右轨的距离，其作用线至右轨的距离l=10m。欲使起重局。欲使起重局 满载时不向
16、右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡重满载时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡重Q 之值，设其作用线至左轨的距离之值，设其作用线至左轨的距离a=6m。NBNA解解:(1)研究起重机研究起重机，画出受力图；，画出受力图；(2)机身满载时的平衡条件；机身满载时的平衡条件；0,0PlGebNbaQmABF(3)不向右倾倒的限制条件；不向右倾倒的限制条件；0ANkNbaGePlQ361(4)空载时的平衡条件；空载时的平衡条件；0,0ebGbNQamBAF(5)不向左倾倒的限制条件；不向左倾倒的限制条件；0BNkNebaGQ375结果：结果：KNQKN3753614-5 4-5 静定与静不定问题的
17、概念静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念我们学过：平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。0X0Y0im0X0Y0)(iOFm平面力偶系平面任意力系当：独立方程数目独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。例例 二、物体系统的平衡问题二、物
18、体系统的平衡问题外力外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 。物系平衡的特点：物系平衡的特点：物系静止物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 3个个 平衡方程，整个系统可列平衡方程，整个系统可列3 3n个方程（设物系中个方程（设物系中 有有n个物体）个物体）解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法：由整体由整体 局部局部（常用），由局部由局部 整体整体（用较少）求解物系平衡问题的步骤求解物系平
19、衡问题的步骤1.选研究对象选研究对象,画出各研究对象分离体的受力图。画出各研究对象分离体的受力图。2.分析各受力图分析各受力图,确定求解顺序。确定求解顺序。3.根据确定求解顺序根据确定求解顺序,逐个列出平衡方程求解逐个列出平衡方程求解.（1）若未知力的数目等于独立平衡方程数则可解，应先）若未知力的数目等于独立平衡方程数则可解，应先取其为研究对象，求出某些未知力，再利用作用力与反取其为研究对象，求出某些未知力，再利用作用力与反作用力关系，扩大求解范围。作用力关系，扩大求解范围。（2）矩点选在尽可能多的未知力的交点上）矩点选在尽可能多的未知力的交点上如某物体受平面任意力系作用，有四个未知力，但有如
20、某物体受平面任意力系作用，有四个未知力，但有三个未知力汇交于一点（或三个未知力平行）则可取三个未知力汇交于一点（或三个未知力平行）则可取三力汇交点为矩心（或取垂直于三力投影轴），列方三力汇交点为矩心（或取垂直于三力投影轴），列方程解出不汇交于该点的那个未知力（或不与三力平行程解出不汇交于该点的那个未知力（或不与三力平行的未知力）的未知力）解解：选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为:解方程得 0X;0BX0Bm0DEPMB)mN(100011000BM 0Y;0 PYBPYB 例例1 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求
21、AC 杆内力？B点的反力？受力如图 取E为矩心，列方程 解方程求未知数045sin,0EDPCESmoCAE)N(14141707.01100045sinCEEDPSoCA再研究CD杆例例2 求图示结构固定端的约束反力。求图示结构固定端的约束反力。解：先以解：先以BC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。0:0CMF bMCBMFFb再以再以AB部分为研究对象，受力如图。部分为研究对象，受力如图。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa()0AMF21()02ABMF abqaF a 求得求得,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAxM
22、FABCDEF例例3 3 板板ABCABC为边长为为边长为a a 的等边三角形，用三根的等边三角形，用三根沿边长方向的直杆铰接，如图示，沿边长方向的直杆铰接，如图示，F F和和M M已知，已知，求三杆受力。求三杆受力。解：取板解：取板ABC分析，画受力图分析，画受力图0AM023MaFCF（压）aMFCF3320BM0223aFMaFAD3332FaMFAD0CM0223aFMaFBE3332FaMFBEMFABCADFCFFBEFmAOBP 例4.图示曲柄连杆机构载荷和尺寸如图，各杆的自重不计，滑道与滑块为光滑接触。求在图示位置机构处于平衡，力偶矩m与力P的关系，以及滑道B和轴承O的约束力。
23、取滑块为对象取滑块为对象分析力：分析力：P,NB,SAB选坐标轴，列方程：选坐标轴，列方程：0cosPSXAB 0sin ABBSNY再取曲柄为对象再取曲柄为对象 分析力分析力m,SA=SB,Xo,Yo 0)(180sin)(rSmFmABo整体考虑整体考虑 0PXXO0 BONYY解：解：XOYONBxyBPSABNBXOYOSABAmO cosPSAB PtgNB cos)sin(Pr)sin(rSmABPXO PtgYO 例例5 5已知：已知：F,a,各杆重不计；各杆重不计；求：求：B 铰处约束反力铰处约束反力.解：解：取整体，画受力图取整体，画受力图0CM20ByFa解得解得0ByF观
24、察观察ADB杆杆DxBxFF可先求出分析：欲求,BMo20DxFaFa解解得得2DxFF分析分析DEF杆杆DxF如何求分析分析ADB杆杆0AM20BxDxFaFa解得解得BxFF F F组合梁（不计自重）由组合梁（不计自重）由ACAC和和CDCD在在C C处铰接而成。处铰接而成。已知：已知：F F=20kN=20kN，均布载荷，均布载荷q q=10kN/m=10kN/m，M M=20kN=20kNm m，l=1m=1m。求固定端。求固定端A A及支座及支座B B处的约束力。处的约束力。30603060解：解：以以CD杆为研究对象，画受力图杆为研究对象，画受力图 0 CM0203cos206si
25、n lFlqllFB以整体为研究对象，画受力图以整体为研究对象，画受力图 MA3060 0 xF003sin06cos FFFBAx 0yF003cos206sin FqlFFBAy0 AM0403cos306sin22 lFlFlqlMMBA例例6 一构件如图所示。已知F和a，且F12F。试求两固定铰支座A、B和铰链C的约束力。解解 1）分别取构件ACD及BEC为研究对象，画出各分离体的受力图。FCxFCyFCxFCyFAxFAyFByFBxF1ACDBCFEF1ABCaFaaaDE下一页上一页返回首页Fx0，FCx-F+FBx0 FCxF-FBx F-F/2 F/2 2）四个未知力，不可解
26、；但由三个未知力汇交于一点，可先求出FBx和FCx，即 已知：F和a，且F12F。试求：A、B和C的约束力。解解 1）画出各分离体的受力图。FCxFCyFByFBxBCFE MC0，FBx2a-Fa0 FBxF/2 （）Fy0，FBy-FCy0 FByFCy下一页上一页返回首页 FCxF/22）已知：F和a，且F12F。试求：A、B和C的约束力。解解 1）画出各分离体的受力图。FBxF/2 （）FByFCyFCxFCyFAxFAyF1ACD 解出FCx出后，图中的FCx为已知量，因而可解，即 MA0，FCya+FCx2a-F12a0 FCy 2F1-2FCx 4F-2FCx3F Fy0，FAy
27、+FCy-F10 FAyF1-FCy2F-3F=-F（）Fx0，FAx-FCx0 FAxFCx F/2 （）FByFCyFCy 3F（）下一页上一页返回首页练习练习 图示静定多跨梁由图示静定多跨梁由AB梁和梁和BC梁用中间铰梁用中间铰B连接而成，支连接而成，支 撑和载荷情况如图所示。已知撑和载荷情况如图所示。已知P=20kN，q=5kN/m，a=45o；求支座求支座A,C的反力和中间铰的反力和中间铰B处的压力。处的压力。ABPC2m1m1mq PBCxyXBYB NCQXAYAABxyXBYBMA解解:(1)研究研究BC梁梁，画出受力图；，画出受力图；(2)列平衡方程；列平衡方程；0210co
28、sNP,mcBF00sinNX,XcB00cosNPY,YcB解得：解得：KN.coscosPNc1414452202KNtgtgPsinNXcB10452202KNPcosNPYcB102(3)研究研究AB梁梁，画受力图并列平衡方程；，画受力图并列平衡方程；0222102,BAAYqM,mF00,BAXX,X020,BAYqY,Y解得：解得：KNYqYKNXXmKNYqMBABABA201052210.301025222,LL/2hh/2BCPQALxy例例7.图示三铰拱，载荷和尺寸如图。求铰链图示三铰拱，载荷和尺寸如图。求铰链A、B的约束力。的约束力。三铰拱整体三铰拱整体分析力：分析力：P
29、,Q,XA,YA,XB,YB列方程：列方程：02232)(LYLQhPFmBA0222)(LYLQhPFmAB0 PXXXBA取左半部为研究对象取左半部为研究对象分析力：分析力：P,XA,YA,XC,YC02)(LYhXhPFmAAc代入第三式解得代入第三式解得hQLPhXB44 解：解：YAXAYBXBYAXCYC研究对象：研究对象：LQLPhYB43 LQLPhYA4 hQLPhXA443 XAACP例例10.图示曲柄连杆机构由活塞，连杆，曲柄和飞轮组成。已知图示曲柄连杆机构由活塞，连杆，曲柄和飞轮组成。已知 飞轮重飞轮重G，曲柄，曲柄OA长长r，连杆，连杆AB长长l，当曲柄，当曲柄OA在
30、铅垂位在铅垂位 置时系统平衡，作用于活塞置时系统平衡，作用于活塞B上的总压力为上的总压力为P，不计活塞，不计活塞，连杆和曲柄的重量。求作用于轴连杆和曲柄的重量。求作用于轴O上的阻力偶矩上的阻力偶矩M、轴承轴承 O的反力，连杆所受的力和汽缸对于活塞的反力。的反力，连杆所受的力和汽缸对于活塞的反力。PGMAOBPBxyNS xMAGOyXOYOS解解:(1)研究活塞研究活塞B，画受力图，画受力图，列平衡方程；列平衡方程；0cos,0SPX0sin,0SNY解得：解得：22rllPPtgN22cosrllPPS(2)研究飞轮连曲柄研究飞轮连曲柄，画，画 受力图，列平衡方程；受力图，列平衡方程；0cos,0,0SXX0sin,0,0GSYY 0cos,0,0rSMmF解得：解得：PSXcos,022,0sinrlrPGSGYPrcos,rSM
