1、 第二讲第二讲 导数与微分导数与微分 典型例题典型例题内容提要内容提要习 题 课1一、主要内容一、主要内容导导 数数xyx 0lim基本公式基本公式求求 导导 法法 则则高阶导数高阶导数微微 分分xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶微分高阶微分21 1、导数的定义、导数的定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 单侧导数单侧导数左导数，右导数，可导的充要条件左导数，右导数，可导的充要条件2 2、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）常、反、对、幂、指、三常、反、对、幂、指、三16个公式个公式3
2、3、求导法则、求导法则3(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则注意不要漏层注意不要漏层(4)对数求导法对数求导法注意适用范围注意适用范围(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则注意注意y y的函数的求导的函数的求导(6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则注意不要漏乘注意不要漏乘4 4、高阶导数、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)xxfxxfxfnnxn )()(lim)(0)1(0)1(00)(方法：方法：逐阶求导逐阶求导45、微
3、分的定义微分的定义微分的实质微分的实质6 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系7 7、微分的求法微分的求法dxxfdy)(基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式8 8、微分的基本法则微分的基本法则 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分形式的不变性微分形式的不变性复合函数的微分法则复合函数的微分法则的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx dxxfdy)(5二、典型例题二、典型例题例例1.1.设设)(0 xf 存在存在,求求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解:原式原式=xxfxxxfx )()
4、(lim02002)(xx2)(xx)(0 xf 6例例2.2.1、若、若0)1(f且且)1(f 存在存在,求求.tan)1()cos(sinlim20 xexxfxx解解:1)cos(sinlim20 xxx原式原式=220)cos(sinlimxxxfx且且0)1(f联想到凑导数的定义式联想到凑导数的定义式220)1cossin1(limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f 72.设设可导，可导，)(xf)(2)2()4(lim2xfxfx则则解解:原式原式)2(2)2()22(lim0)2(fxfxfx2)2()22(lim2xfxfx
5、xfxfx2)2()22(lim23.21)()(lim220 xfxfx 已知已知,sin)(xxaxfa求常数求常数解解:afxaxxaxf)(cossin)(2而而21)()(lim)(2202xfxffx 故故21a84.设设 xtxtxtxftxfxFtsin)()(lim)()()()(xxfxfxF txxftxftxFtsin)()(lim)(2 其中其中)(xf二阶可导二阶可导试求试求)(xF解解:)(xxf txtxtxftxfxttsinlim)()(lim 95.设设)(xf在在2x处连续处连续,且且,32)(lim2xxfx求求.)2(f 解解:)2(f)(lim2x
6、fx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx31011.2,2,)(2xbaxxxxf当当设为了使为了使 f(x)在在 处可导处可导,解解 首先函数必须在首先函数必须在 处连续处连续.由于由于)(lim2xfx)(lim2xfx)2(f故应有故应有.42ba又因又因,422,2ba.4)2(f2)2()(lim2xfxfx222222(2)(2)limlimlim(2)22xxxxxxxxx4应如何选取应如何选取a,b?2x2x例例 3(2)(2)(2)fff即12)2(f2)2()(lim2xfxfx22()2lim2xaxbx24)2
7、4(lim2xaaxx42ba22lim2xaaxxa从而从而,当当)2(f4,4a f(x)在在 处可导处可导.,4b.2,2,)(2xbaxxxxf当当设应如何选取应如何选取a,b?为了使为了使 f(x)在在 处可导处可导,2x2x例例4设设)(x 在在 x=a 处连续，讨论处连续，讨论)()()(xaxxf )(|)(xaxxf|)(|)()(xaxxf 在在 x=a 处的可导性处的可导性解解axafxfax )()(limaxxaxax )()(lim)(limxax )(a )()()(xaxxf 在在 x=a 处可导处可导13()()()limxaf xf afaxaaxxaxax
8、 )(|lim axxaxax )()(lim)(a ()()()limxaf xf afaxaaxxaxax )(|lim axxaxax )()(lim)(a ()0()()afafa时,即)(|)(xaxxf 在在 x=a 处不可导处不可导()0()()0afafa时,即)(|)(xaxxf 在在 x=a 处可导处可导14axafxfax )()(limaxxaxax|)(|)(lim|)(|limxax|)(|a|)(|)()(xaxxf 在在 x=a 处可导处可导例例5在什么条件下，函数在什么条件下，函数 0001sin)(xxxxxfn连续连续)(xf存在存在)0(f 连续连续)(
9、xf 15解解首先注意到首先注意到不存在不存在时时当当xxx1sinlim00 01sinlim00 xxx 时时当当xxxfxn1sin)(0 时时，当当是初等函数，连续是初等函数，连续因此要使因此要使连连续续)(xf处处连连续续在在只只须须0)(xxf)0(01sinlim0fxxnx 即只须即只须0 n 要使要使0)0()(lim)0(0 xfxffx16xxxnx01sinlim0 xxnx1sinlim10 存在存在1 n此时此时0)0(f时时当当0 xxxxnxxfnn1cos1sin)(21 0)0(f要使要使连连续续)(xf 处处连连续续在在只只须须0)(xxf0)0()(li
10、m0 fxfx即只须即只须01cos1sinlim210 xxxnxnnx2 n17例例6.6.设设,)(arctansin1sinxxxfeey其中其中)(xf可微可微,.y求解解:y)(sinsinxxee)(sinsinxxee)(arctan)(arctan11xxf)(sinsinsinxeexx)(cossinxxxeee)(11)(arctan1112xxxf)sin(cossinxxexe)(arctan1112xxf xxee cos1819例例7 7 设设解解:y 221xxa12212 xax2221xa221dydxxa1222221()()yxaxa332222221
11、()2()2xaxx xa 1922ln()yxxadyy求与练习练习1.1.求下列函数的导数求下列函数的导数1.xxy2tan102.)0(arccos22axxaaaxy3.nbaxfy)(4.)1(lnlogxxyx5.xxxy22206、2010()(1)()()1(1)1(1)f xxg xg xxgf设，其中在处连续，且求1.解解:)22sec2(tan1010ln2tanxxxxx2tan)2tan(10ln10 xxyxxxaxaxxaxaxxa2222222222.3.1)()()(baxbaxfbaxfnn2222221122axxxaxaaaxxy1)()(baxfbax
12、fnyn1)()(nbaxfbaxfna21xxxxxxy2ln)ln(ln1ln1ln1xxyln)ln(ln4.5.00322xxxxyxxy6)3(20 x当当时时,当当时时,0 xxxy2)(222 03lim003lim)0(020 xxxyxx0lim00lim)0(020 xxxyxx0)0(y000206xxxxxy2362010()(1)()()1(1)1(1)f xxg xg xxgf设，其中在处连续，且求1)1()(lim)1(1 xfxffx20101(1)()lim1xxg xx200920081lim1()xxxxg x)1(111g 2010个个2010解解242
13、5解解sincoscos,sinsin lncos,xxuxvxlnuxx令则两边对x求导得sin1sincos lncossincos(cos lncossintan)cos(cos lncossintan)xxuxxxuxuuxxxxxxxxx cossin(sin lnsincos cot)xvxxxxx 同理得sincossincos(cos)(sin)cos(cos lncossintan)sin(sin lnsincos cot)xxxxyxxxxxxxxxxxx例例7sincoscossin,xxyxxy设求26y：如思下何求考一xxx的导数？lnln11()ln1()lnxxx
14、xxyxxxyxxxyxyy xxxx解：取对数得上式两边对 求导得，1,lnlnln1(ln1)(ln1)xxuxuxxxuxuuuxxx 令取对数得，上式两边对 求导得11()ln(ln1)lnxxxxxxyy xxxxxxxxx例例8设设)tan(yxy 确定了确定了)(xyy 求求22dxyd解解两边对两边对 x 求导得求导得)1)(sec2yyxy )(sec1)(sec22yxyxy )(csc2yx )(csc222yxdxddxyd )1()cot()csc()csc(2yyxyxyx )(csc1)cot()(csc222yxyxyx )(cot)(csc232yxyx 27
15、例例9 9解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy 即即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.dd,)0,0()(22xyyxxyxfy求求所确定所确定由方程由方程设函数设函数 xy28例例10.求参数方程求参数方程ttytxarctan)1ln(2所确定的函数所确定的函数 y 的二阶导数及的二阶导数及dy(对变量对变量x的微分）。的微分）。解：解：2121222tttttdxdydxddxyd2222112241ttttttxydxdy2212111ttt
16、2()2ln(1)ttdxtdy2,29例例1111 设设)(tfx,且且,0)(tf求求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty)()()()()()(),(tf ttftf ttftftf tdtdytfdtdx 30练习练习2.2.求下列函数的导数求下列函数的导数1arccosln2yx20,max)(2 xxxxfdxdyetyytxt求求设设 52arctan231,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y5、yxyyx求设.3ln2223解答解答 xy1arccos 2211011yxx 2211|xxx
17、1|12 xx解解3220,max)(2 xxxxf 211110)(2xxxxxxf时时当当故故10 x1)(xf时时当当21 xxxf2)(解解1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim1 xxx1 1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim21 xxx2)1()1(ff不存在不存在)1(f 101()1212xfxxxx不存在33dxdyetyytxt求求设设 52arctan2解解211tdtdx 第二个方程两边对第二个方程两边对 t 求导得求导得0222 tedtdytyydtdy222 tyyedtdytdtdxdtdydxdy 22)(1(22 tyyett344
18、.设设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx3536 解解 2222223231123(2ln2)(22)2ln22ln23xyxyxyxyxy yxyyyxyyxy 方程两边对 求导得5、yxyyx求设.3ln2223例例1212解解)2(dd642xxx 求求法一法一 把导数看作微分之商把导数看作微分之商,分子分子,分母分别求微分分母分别求微分,有有 )2(dd642xxx26
19、4d)2(dxxx xxxxxd2)d62(453 4262xx 用了用了微分形式不变性微分形式不变性.37法二法二 把把 作为一个整体作为一个整体,2x关于关于2x有有 )2(dd642xxx222)(32)(2xx 4262xx 求导求导,)(2)(dd32222xxx 试确定常数试确定常数a,b使使f(x)处处可导处处可导,并求并求.)(xf )(xf1 x1 x,)1(21 ba1 x,1时时 xxxf2)(,2x练习练习解：解：,1时时 x1lim)()1()1(2 xnxnnebaxexxf设设,bxa axf )(38利用利用)(xf1 x在在处可导处可导,)1()01()01(
20、fff )1()1(ff应有应有 )(xf1 x1 x,)1(21 ba1 x,2x,1时时 xxxf2)(,1时时 x,bxa axf )(39111(1)()(1)2(1)limlim11xxaxbabf xffxxab 1)1(21 ba(1 0),(1 0)11(1)(1)2fab ffab1lim1xaxaax2111(1)()(1)2(1)limlim11xxxabf xffxx211lim21xxx利用利用)(xf1 x在在处可导处可导,)1()01()01(fff )1()1(ff即即ba 1 2 a2)1(f 1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数是否为连续函数?应有应有 )(xf1 x1 x,)1(21 ba1 x,2x )1(21 ba,1时时 xxxf2)(,1时时 x,1,2 ba,bxa axf )(4040作业作业 p1245；6；7；8；9（2）；）；10；11；124121d()()dyyy 223d1d ,(,0).ddxxyy yyyyy 试从导出解解由复合函数及反函数的求导法则由复合函数及反函数的求导法则,得得)()(1dddddddd22yyyxyyx21d()d()ddyxyxy 3)(yy 例例.dd ,22的导数对是的导数对是与yxyxxyyy 4242
