1、第十二章第十二章 非线性回归分析非线性回归分析第一节第一节 可化为直线回归的非线性回归可化为直线回归的非线性回归 有些形式的曲线可以采用适当的数据转换有些形式的曲线可以采用适当的数据转换方法转化为直线，从而用直线回归的方法方法转化为直线，从而用直线回归的方法来分析。来分析。一、一、指数曲线指数曲线 当当0时其曲线形状见图时其曲线形状见图12.1。)1.12(xey 图图12.1 指数曲线指数曲线 对公式对公式(12.1)取导数取导数 可知随着可知随着x的增加，的增加，0的曲线的绝对生长速度的曲线的绝对生长速度越来越快，而越来越快，而0.874，因此指，因此指数曲线回归关系在数曲线回归关系在0.
2、01水平上显著（实际水平上显著（实际P9.01106）。）。xey272.00213.0 9926.00943.117143.1471821.40 r带常数的指数函数带常数的指数函数 当当0时其曲线见图时其曲线见图12.3。其中，。其中，0的曲线的曲线经常用来描述孵化过程，又称孵化曲线。经常用来描述孵化过程，又称孵化曲线。xeKy 图图12.3 带常数的指数曲线带常数的指数曲线 由于是由于是3参数曲线，所以要先求参数曲线，所以要先求K值。选值。选3个个等距的等距的x值所对应的值所对应的y值，有值，有 然后作数据转换然后作数据转换 y=ln(y-K),a=lna y=ln(y-K),a=lna
3、(12.8)即可将其线性化并估计即可将其线性化并估计a和和b值了值了23122312yyyyyyK 其图形见图其图形见图12.4。001图图12.4 幂函数曲线幂函数曲线 二、幂函数曲线幂函数曲线 xy 幂函数曲线常用于描述体积、重量等倍数幂函数曲线常用于描述体积、重量等倍数性资料的变化规律。采用与指数曲线回归性资料的变化规律。采用与指数曲线回归模型类似的方法，令模型类似的方法，令y=lny,x=lnx,a=lna，=ln (12.10)即可将幂函数曲线回归模型线性化即可将幂函数曲线回归模型线性化从而建立幂函数曲线回归方程从而建立幂函数曲线回归方程)(,xbyxeaSSSPbxy 的的估估计计
4、值值和和并并解解出出 baxy 例例12.2玉米杂交种四单玉米杂交种四单19的果穗直径的果穗直径(x，cm)与与穗粒重穗粒重(y，g)间的关系如表间的关系如表12.2，试作回归分析。，试作回归分析。表表12.2 玉米果穗直径玉米果穗直径x(cm)和穗粒重和穗粒重y(g)的调查数据的调查数据y xyx=lnxy=lnyx2y2xy4.61201.52614.7875 2.3288 22.92027.3062 113.54.71281.54764.8520 2.3949 23.54197.5090 128.34.81411.56864.9488 2.4606 24.49067.7627 144.7
5、4.91581.58925.0626 2.5257 25.62998.0455 162.75.01751.60945.1648 2.5903 26.67528.2122 182.65.12021.62925.3083 2.6544 28.17808.6483 204.45.22301.64875.4381 2.7181 29.57298.9653 228.45.32671.66775.5872 2.7812 31.21689.3178 254.612.7865 41.1493 20.454 212.2255 65.767图图12.5 玉米果穗直径玉米果穗直径x和穗粒重和穗粒重y的散点图的散点图
6、(左左)和对数散点图和对数散点图(右右)解：从调查数据的散点图（图解：从调查数据的散点图（图12.5）中可以）中可以看出看出x与与y之间呈一种中间略下凹的曲线关之间呈一种中间略下凹的曲线关系，系，x与与y之间呈直线关系，因此作幂函数之间呈直线关系，因此作幂函数曲线回归分析。由表曲线回归分析。由表12.2可求得可求得567456.081493.412255.212,0171914.087865.124541.2022 yxSSSS7000.50171914.00979904.0,0979907.081493.417865.128674.65 bSP 查查r0.01(6)=0.834，|r|=0.
7、99220.834，因此幂，因此幂函数曲线回归关系在函数曲线回归关系在0.01水平上显著水平上显著(实际实际P1.26106)，可建立幂函数曲线回归方，可建立幂函数曲线回归方程：程：9921.0567456.00171914.00979907.001894.09667.3)5983.17.51437.5(reea7.501894.0 xy 其图形也见图其图形也见图12.5，不同的，不同的x值对应的值对应的 值见表值见表12.2。本例也可作直线回归和指数曲线回归分析，本例也可作直线回归和指数曲线回归分析，结果均极为显著。结果均极为显著。还可能求出其它也显著的曲线形式。实践还可能求出其它也显著的曲
8、线形式。实践中通常不存在支持某种曲线形式的绝对依中通常不存在支持某种曲线形式的绝对依据，选择合适的曲线形式的考虑之一是所据，选择合适的曲线形式的考虑之一是所研究问题的生物学意义。如温度或时间与研究问题的生物学意义。如温度或时间与生长量的关系一般应选用指数曲线，而直生长量的关系一般应选用指数曲线，而直径或长度与重量或体积的关系一般可选用径或长度与重量或体积的关系一般可选用幂函数曲线等。幂函数曲线等。y 考虑之二是曲线的显著性。可根据散点图考虑之二是曲线的显著性。可根据散点图的特征试配几种不同的曲线，从中选择显的特征试配几种不同的曲线，从中选择显著程度最高或较高的。本例从散点图看可著程度最高或较高
9、的。本例从散点图看可配合直线、指数曲线和幂函数曲线，显著配合直线、指数曲线和幂函数曲线，显著程度相差不多，但以幂函数曲线的生物学程度相差不多，但以幂函数曲线的生物学意义最为吻合，因此较合适。意义最为吻合，因此较合适。三、三、对称对称S形曲线回归形曲线回归 许多害虫的日发生量在暴发期以前逐日增许多害虫的日发生量在暴发期以前逐日增加，过了暴发期又逐日减少，基本上是对加，过了暴发期又逐日减少，基本上是对称的，接近正态分布。因此其累积发生量称的，接近正态分布。因此其累积发生量就成为上下对称的就成为上下对称的S形曲线，与正态累积函形曲线，与正态累积函数曲线差不多，见图数曲线差不多，见图12.6。图图12
10、.6 对称对称S形曲线形曲线 以以y为累积发生量，为累积发生量，x为日期并令为日期并令 可将此对称可将此对称S形曲线转换为线性并估计形曲线转换为线性并估计a和和b了。了。y一般称为概率单位，可由概率单位表中查一般称为概率单位，可由概率单位表中查出。由回归方程求得出。由回归方程求得 后也可从该表中反后也可从该表中反查出。查出。例例12.3江苏东台县测定了江苏东台县测定了1972年越冬代年越冬代棉红铃虫不同时期（棉红铃虫不同时期（x，以，以5月月31日为日为0）的）的化蛹进度（化蛹进度（y，）结果见表，）结果见表12.3，试作回，试作回归分析。归分析。5 yyyy y xyyx2xyy253.53
11、.18812515.94010.1640 3.12643.1106.43.478010034.78012.0965 3.56277.515 14.63.946322559.19515.5733 3.999115.820 31.44.515540090.31020.3897 4.435428.625 45.64.8895625122.23823.9072 4.871844.930 60.45.2637900157.91127.7065 5.308262.135 75.25.68081225198.82832.2715 5.744577.240 90.26.29301600251.72039.60
12、19 6.180988.145 95.46.68492025300.82044.6879 6.617294.750 97.56.96002500348.00048.4416 7.053698.0 27550.8998 9625 1579.742 274.8401表表12.3 棉红铃虫不同时期棉红铃虫不同时期x(以以5月月31日为日为0)的化蛹进度的化蛹进度y(%)y y 图图12.7 棉红铃虫不同时期棉红铃虫不同时期x和化蛹进度和化蛹进度y的散点图的散点图 解：从散点图（图解：从散点图（图12.7）中看出）中看出x与与y基本上基本上呈对称的呈对称的S形曲线关系，将形曲线关系，将y转换为概率单转
13、换为概率单位位y后与后与x呈直线关系，因此作呈直线关系，因此作x与与y的直线的直线回归分析。回归分析。08727.05.20629975.179,9975.179108998.50275742.15797611.15108998.508401.274,5.206210275962522 bSPSSSSyx查查r0.01(8)=0.765，|r|=0.99830.765，因此回归关系在，因此回归关系在0.01水平上显著水平上显著(实际实际P3.641011)，也即有概率，也即有概率单位单位y与日期与日期x间的直线回归方程间的直线回归方程成立。将各成立。将各x值代入回归方程求出同值代入回归方程求出
14、同 并反查出并反查出值列于表值列于表12.3的最后两列，可见吻合得相当好。的最后两列，可见吻合得相当好。9983.07611.155.20629975.179,69.25.2708727.009.5 raxy08727.069.2 y 四、不对称四、不对称S形曲线回归形曲线回归 动植物生长的普遍规律是先越来越快，过动植物生长的普遍规律是先越来越快，过了生长高峰以后由于内外条件的限制则越了生长高峰以后由于内外条件的限制则越来越慢直至停止。生长速度的变化呈不对来越慢直至停止。生长速度的变化呈不对称的单峰曲线，因此累积生长量呈不对称称的单峰曲线，因此累积生长量呈不对称的的S形曲线。有许多描述不对称形
15、曲线。有许多描述不对称S形曲线的形曲线的方程，如方程，如 等，也可用等，也可用y的概率单位对的概率单位对x的对数作线性的对数作线性回归。但是最常用且最符合生物学意义的回归。但是最常用且最符合生物学意义的还是还是Logistic曲线，见图曲线，见图12.8。1)()exp(exp xeyxKy 图图12.8 Logistic曲线曲线 如果无阻抑时的生长情况可用指数曲线如果无阻抑时的生长情况可用指数曲线 来描述，有限制条件时的生长情况可用孵来描述，有限制条件时的生长情况可用孵化曲线化曲线 来描述，那么整个生长周期可用来描述，那么整个生长周期可用Logistic曲曲线线 xey xeKy xeKy
16、1 可知当可知当y0.735，回归，回归关系在关系在0.01水平上显著水平上显著(实际实际P1.451010)，因此得，因此得Logistic曲线回归方程曲线回归方程:此曲线的拐点为此曲线的拐点为 9956.05432.442750445.348 rxey1267.078.44130.40 0042.30126707.07794.44ln15.203.4021 xy和和 即灌浆即灌浆30d左右的灌浆速率最快，大约为左右的灌浆速率最快，大约为)d/g(2766.13.40126707.041dxdy 第二节第二节 多项式回归多项式回归 多项式函数多项式函数y=0+1x+2x2+kxk 的曲线见图
17、的曲线见图12.10。图图12.10 二次和三次多项式曲线二次和三次多项式曲线 任何一种连续函数都可以用分段多项式来逼近。任何一种连续函数都可以用分段多项式来逼近。多项式回归的通用数学模型为多项式回归的通用数学模型为此模型即转化为一般的多元线性回归模型此模型即转化为一般的多元线性回归模型(11.1)kkkkxxxxxxxxxy 令令,2212210 NNmmNNNmmmmxxxyxxxyxxxy 2211022222211021112211101一、一、二次多项式回归二次多项式回归 令令 nyxyxnyxyxLnyxxyLnxxnxxLnxxxnxxxxLnxxLyy2222212242222
18、22232121122211,)()(,)(可得正规方程组可得正规方程组 并从中解出并从中解出0、1和和2的估计值的估计值 建立二次多项式曲线（抛物线）回归方程建立二次多项式曲线（抛物线）回归方程 yyLbLbLLbLbL222211212121112122211112211221222112121221,LLLLLLLbLLLLLLLbyyyy 2210 xbxbyb 为了进行回归的显著性检验需将为了进行回归的显著性检验需将y的平方和的平方和分解为回归平方和及离差平方和两部分分解为回归平方和及离差平方和两部分U=b1L1y+b2L2y,Q=Ly,y-U 各有各有2个和个和n-3个自由度。个自
19、由度。对回归系数的显著性检验不能完全沿用偏对回归系数的显著性检验不能完全沿用偏回归系数的检验方法回归系数的检验方法,已知一次回归的平方已知一次回归的平方和是和是 因此二次回归增加的平方和是因此二次回归增加的平方和是 各有一个自由度。各有一个自由度。11211LLUy 222212cbUUU 例例12.5有一小麦施肥量试验的结果见表有一小麦施肥量试验的结果见表12.5，试作二次多项式回归分析。，试作二次多项式回归分析。表表12.5 小麦施肥量小麦施肥量x(10kg/hm2)与产量与产量y(10kg/hm2)的试验结果的试验结果xyx2x3x4xyx2yy2 0 465 0 0 0 0 0 216
20、225 4 584 16 64 246 2336 9344 341056 8 655 64 512 4096 5240 41920 42902512 691144 1728 20736 8292 99504 47748116 664256 4096 6553610624 169984 44089620 639400 8000160000 12780 255600 408321 60369888014400 250624 39272 576352 2313004图图12.11 小麦施肥量小麦施肥量(x,10kg/hm2)与产量与产量(y,10kg/hm2)的散点图的散点图 解：散点图（图解：散点
21、图（图12.11）显示施肥量）显示施肥量x与产量与产量y间的呈抛物线关系，因此做二次多项式曲间的呈抛物线关系，因此做二次多项式曲线回归分析。根据表线回归分析。根据表2.5的数据可求出的数据可求出3.338036369823130047.33978636988805763522292636986039272,3.1215576880250624560068806014400,28066088022122212211 yyyyLLLLLL 得正规方程组得正规方程组 解之有解之有 7.339783.1215575600229256002802121bbbb3.4686880)2411.1(66000
22、72.33636982411.156003.121557280229256007.339782800072.3356003.1215572807.33978560022923.12155702221 bbb 得到二次多项式回归方程得到二次多项式回归方程 回归方程进行显著性检验回归方程进行显著性检验 首先分解平方和首先分解平方和22411.10072.333.468xxy 5.334817.33978)2411.1(22920072.33 U8.3215.334813.338038.147197.187615.334817.187612802292221 QUU 然后进行然后进行F检验，结果见表
23、检验，结果见表12.6。显然，二。显然，二次回归比一次回归增加的回归变异是显著次回归比一次回归增加的回归变异是显著的，因此用二次多项式曲线来描述本例的的，因此用二次多项式曲线来描述本例的施肥量与产量之间的关系是合适的。施肥量与产量之间的关系是合适的。表表12.6 小麦施肥量与产量试验结果的方差分析表小麦施肥量与产量试验结果的方差分析表 变异来源变异来源DFSSMSFF0.01P回归回归233481.516740.8156.02*30.820.0009一次一次 1 18761.7 18761.7174.91*34.120.0009二次二次 1 14719.8 14719.8137.22*34.1
24、20.0013离差离差3 321.8 107.3总总533803.3 抛物线属单峰曲线，其峰顶抛物线属单峰曲线，其峰顶(谷底谷底)值称极值。值称极值。令二次多项式的导数为零令二次多项式的导数为零 可解得极值可解得极值 即：即：0221 xbbdxdy22120max21max44,2bbbbybbx )(10kg/hm3.13)2411.1(20072.332max最高产量的施肥量最高产量的施肥量 x)(10kg/hm28.687)2411.1(40072.33)2411.1(3.46842max预预期期的的最最高高产产量量 y 由于肥料与粮食的价格不同，最高的产量由于肥料与粮食的价格不同，最
25、高的产量不一定能获得最大的经济效益。设肥料的不一定能获得最大的经济效益。设肥料的单价为单价为px，粮食的单价为，粮食的单价为py。令。令 即可解出最佳效益的施肥量即可解出最佳效益的施肥量 yxppxbbdxdy 21221opt2bbppxyx xmax是是px=0也即肥料资源无限时的施肥量，也即肥料资源无限时的施肥量，当当px0时时xopt必然小于必然小于xmax。本例如设本例如设px=15，py=5，则，则 相应的产量为相应的产量为19.12)2411.1(20072.33515opt xopt=468.3+33.007212.19-1.241112.192 =686(10kg/hm2)y
26、 成本及效益比较成本及效益比较肥料用量肥料用量(kg/hm2)成本成本(元元/hm2)产量产量(kg/hm2)总收入总收入(元元/hm2)纯收入纯收入(元元/hm2)最高产最高产量时量时133199.5687834393239.5最佳效最佳效益时益时121.9182.85686034303247.15 注：肥料按注：肥料按1.5元元/kg计；小麦按计；小麦按5元元/kg计计图图12.12 小麦施肥量试验的总收入小麦施肥量试验的总收入p1和去掉肥料成本后的收入和去掉肥料成本后的收入p2的变化曲线的变化曲线 注：注：p1为总收入；为总收入；p2为纯收入为纯收入 二、高次多项式回归分析二、高次多项式
27、回归分析 一般称最高次数一般称最高次数k3的多项式为高次多项式。令的多项式为高次多项式。令 x1=x,x2=x2,xk=xk kyyykkkknknknnkkkkLLLyXLLLLLLXXyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxX212221121121221122221211212111,可得多项式回归方程的矩阵形式可得多项式回归方程的矩阵形式 y=Xb 及其正规方程组及其正规方程组 XX=Xy 并用多元线性回归分析的方法解得并用多元线性回归分析的方法解得 b=(XX)-1Xy,jjxbyb 0 一般来说多项式曲线回归分析的次数不宜太高，一般来说多项式曲线回归分析的次数不宜太高，否
28、则不但计算量大而且否则不但计算量大而且XX阵容易退化（阵容易退化（xj间高度间高度相关），求得的相关），求得的b不稳定。为了确定合适的次数需不稳定。为了确定合适的次数需要检验每提高一次所增加的回归平方和，但除了要检验每提高一次所增加的回归平方和，但除了最高次项所增加的回归平方和最高次项所增加的回归平方和 以外，其余的只能由本次与低一次多项式的回归以外，其余的只能由本次与低一次多项式的回归平方和之差求出。为此可采用消去变换求解正规平方和之差求出。为此可采用消去变换求解正规方程组，从一次项开始每一次消去运算都可得到方程组，从一次项开始每一次消去运算都可得到本次多项式的系数和逆阵，由此可求出本次所增
29、本次多项式的系数和逆阵，由此可求出本次所增加的回归平方和。加的回归平方和。kkkkcbU2 当当k=3时问题更简单。因为一次项的回归平时问题更简单。因为一次项的回归平方和是方和是 三次比两次增加的回归平方和是三次比两次增加的回归平方和是 所以两次比一次增加的回归平方和是所以两次比一次增加的回归平方和是 U2=U-U1-U3 11211LLUy 33233cbU 例例12.6测定某水稻土用测定某水稻土用HCl和和Na2CO3调调酸后的酸后的pH值值x和铵态和铵态N含量含量y的结果见表的结果见表12.7，试作多项式回归分析。试作多项式回归分析。表表12.7 某水稻土某水稻土PH值值x和铵态和铵态N
30、含量含量y的测定结果的测定结果xyx2x3x4x5x6xyx2yx3yy2 213.0 4 8 16 32 64 26.0 52.0 104.0 169.00 3 9.2 9 27 81 243 729 27.6 82.8 284.4 84.64 4 6.6 16 64 256 1024 4096 26.4 105.6 422.4 43.56 5 4.7 25 125 625 3125 15625 23.5 117.5 587.5 22.09 6 4.0 36 216 1296 7776 46656 24.0 144.0 864.0 16.00 7 7.1 49 343 2401 16807
31、117649 49.7 347.9 2435.3 50.41 813.2 64 512 4096 32768 262144 105.6 844.8 6758.4 174.24 920.0 81 729 6561 59049 531441 180.01620.0 14580.0 400.00 4477.8284202415332 120824 978404 462.83314.6 26000.0 959.94图图12.13 水稻土水稻土PH值（值（x）和铵态）和铵态N含量（含量（y）的散点图）的散点图 0510152025246810y多项式(y)解：散点图（图解：散点图（图12.13）显示）显
32、示x与与y间呈近似的间呈近似的倒抛物线关系，部分点的拟合不算太好，倒抛物线关系，部分点的拟合不算太好，因此做三次曲线回归分析可能有较好的效因此做三次曲线回归分析可能有较好的效果。根据表果。根据表12.7的数据可求得正规方程组的数据可求得正规方程组42b1+462b2+4200b3=34.9462b1+5250b2+48972b3=552.74200b1+48972b2+466332b3=6316.6解之有解之有 6.63137.5529.344663324897252504200462421321bbb由此得三次多项式回归方程由此得三次多项式回归方程 为了检验回归方程的显著性对为了检验回归方程
33、的显著性对y平方和进行分解平方和进行分解 0697.01452.05411.46.63167.5529.340016835.0027778.0464286.0137205.032936.29263.1122.222530697.05.35)1452.0(5.5)5411.4(725.90 b320697.01452.05411.422.22xxxy 335.20388.7794.9592 yyL表表12.8 例例12.6的方差分析表的方差分析表601.169889.22949.201,889.20016835.00697.029429.34,845.149.201335.20349.2016.
34、63160697.07.552)1452.0(9.34)5411.4(22321 UUUQU变异来源变异来源 DFSSMSFF0.05P回回 归归3201.49067.133145.626.590.0002一一 次次 1 29.000 29.000 62.86*7.710.0014二二 次次 1 169.601169.601367.60*7.714.36105三三 次次 1 2.889 2.889 6.267.710.0666离离 差差4 1.845 0.461总总7203.335在在0.05水平上一次和二次回归是显著的，但水平上一次和二次回归是显著的，但三次项不显著应去掉。与多元线性回归的三
35、次项不显著应去掉。与多元线性回归的方法一样，新的一次和二次回归系数为方法一样，新的一次和二次回归系数为回归截距为回归截距为得二次多项式回归方程得二次多项式回归方程0048.10016835.00697.0027778.01452.02216.100016835.00697.0137205.05411.421 bb27.305.350048.15.5)2216.10(725.90 b20048.12216.1027.30 xxy 第三节第三节 作物密度与产量关系的回归分析作物密度与产量关系的回归分析 作物的种植密度与产量之间的关系通常是作物的种植密度与产量之间的关系通常是非线性的。设非线性的。设
36、x为种植密度，为种植密度，Y为群体产量，为群体产量，则个体产量则个体产量y=Y/x，其倒数，其倒数y-1=x/Y意为获得意为获得单位产量所需的株数。根据单位产量所需的株数。根据y-1与与x的变化规的变化规律来看密度产量关系可分为四种基本类律来看密度产量关系可分为四种基本类型，它们的区别见图型，它们的区别见图12.14。图图12.14 四种密度产量关系曲线四种密度产量关系曲线 一般说来等差型和混合型适用于群体调节能力较一般说来等差型和混合型适用于群体调节能力较强的作物如小麦和水稻等，等比型和抛物线型强的作物如小麦和水稻等，等比型和抛物线型适用于群体调节能力较差的作物如玉米等。适用于群体调节能力较
37、差的作物如玉米等。抛物线型等比型混合型等差型一、等差型密度产量回归分析一、等差型密度产量回归分析 等差型密度产量关系中等差型密度产量关系中y-1与与x的关系为的关系为 意为随着种植密度意为随着种植密度x的变化形成单位产量所需株数的变化形成单位产量所需株数y-1呈等差级数线性变化。呈等差级数线性变化。的含义为的含义为x=0时的时的y-1即即形成单位产量所需的最少株数。形成单位产量所需的最少株数。的含义为的含义为x每变每变化一个单位时形成单位产量所需株数的变化数，化一个单位时形成单位产量所需株数的变化数，也即形成单位产量所需的面积。此时也即形成单位产量所需的面积。此时y与与x的关系的关系为为 xy
38、 11)(bxy 呈双曲线。呈双曲线。Y与与x的关系为的关系为 呈渐近线，见图呈渐近线，见图12.15。图图12.15 等差型等差型x-y，x-Y曲线曲线 1)(bxxY 当当x=0时可得时可得y的极大值即无限稀植时的单的极大值即无限稀植时的单株产量株产量ymax=1 当当x=时可得时可得Y的极大值即无限密植时的群体的极大值即无限密植时的群体产量产量Ymax=1 因为因为y 1 与与x的关系是线性的，所以只要令的关系是线性的，所以只要令 即可运用直线回归分析的方法解出即可运用直线回归分析的方法解出和和的的估计值估计值a和和b了。了。例例12.7低肥条件下春小麦密度低肥条件下春小麦密度x（104
39、苗苗/hm2）与产量）与产量Y（10kg/hm2）的试验结果）的试验结果见表见表12.9，试分析密度与产量间的关系。，试分析密度与产量间的关系。Yxyy 1 xYy=Y/xy=x/Yx2y2xy 75100.5 1.3400 0.7463 5625 0.5569 55.97115.8 150162.3 1.0820 0.9242 22500 0.8542 138.63165.2 300217.20.724 1.3812 90000 1.9078 414.36209.8 450245.1 0.5447 1.8360 202500 3.3708 826.19230.6 600250.0 0.416
40、7 2.4000 360000 5.7600 1440.00 242.6 900248.7 0.2763 3.6188 810000 13.0958 3256.92 255.9 247510.9065 1490625 25.5455 6132.07表表12.9 低肥下春小麦等比型密度低肥下春小麦等比型密度产量回归关系分析数据表产量回归关系分析数据表y 图图12.16 低肥下春小麦的密度低肥下春小麦的密度x与群体产量与群体产量Y和单株产量和单株产量y的散点图的散点图 解：从散点图（图解：从散点图（图12.16）可看出随着）可看出随着x的增的增加加Y达最大值后基本不再变化，有点象一条达最大值后基本
41、不再变化，有点象一条渐进曲线，而渐进曲线，而y却逐步下降，有点象一条指却逐步下降，有点象一条指数曲线，因此作等比型密度产量回归分数曲线，因此作等比型密度产量回归分析。利用表析。利用表12.9右边的数据求出右边的数据求出9963.07202.546968714.1633,3835.05.412003477.08178.1003477.046968714.1633,14.163369065.10247507.61327202.569065.105455.25,46968762475149062522 rabSPSSSSyx 查查r0.01(4)=0.917，|r|=0.99630.917，回归，回
42、归关系在关系在0.01水平上显著（实际水平上显著（实际P2.05105）。因此有等差型密度产量回归方程）。因此有等差型密度产量回归方程 成立。当成立。当x=0和和x=时分别有时分别有 xxYxyxyy003477.03835.0003477.03835.01003477.03835.01 )kg/hm(2876)kg/hm10(6.287003477.0)10kg/(1.26)10kg/10(61.23835.0221max441max Yy苗苗苗苗二、混合型密度产量回归分析二、混合型密度产量回归分析 混合型密度产量关系中混合型密度产量关系中y-1对对x的回归方的回归方程为程为 K为常数，是为
43、常数，是x0时的时的y-1，即形成单位产量，即形成单位产量所需的最少株数。所需的最少株数。y-1的变化当的变化当x较小时近似较小时近似等差型，而当等差型，而当x较大时则趋于等比型。较大时则趋于等比型。y与与x的关系为的关系为 xKy 1)(1 xKy Y与与x的关系为的关系为 均呈混合曲线，见图均呈混合曲线，见图12.17。)(xKxY 图图12.17 混合型混合型x-y和和x-Y曲线曲线 最适密度为最适密度为 此时的群体产量为此时的群体产量为 1opt)1(Kx KxYoptmax)1(因为是因为是3参数曲线，所以需先求参数曲线，所以需先求K值。选具值。选具备如下关系备如下关系 的的3个个x
44、值及对应的值及对应的y-1值，有值，有 如有多组数据如有多组数据(可含可含1个已用过的个已用过的x值值)均符合均符合此条件，可用加权法平均之，即此条件，可用加权法平均之，即 213xxx 1312112312112 yyyyyyK)2()(131211231211 yyyyyyK 然后令然后令 y=ln(y-1-K),x=ln x,=ln 即可将方程线性化，并求得即可将方程线性化，并求得 和和 的估计值。的估计值。例例12.8高肥条件下春小麦密度高肥条件下春小麦密度x（104苗苗/hm2）与产量）与产量Y（10kg/hm2）的试验结果见）的试验结果见表表12.10，试作混合型密度产量回归分析。
45、，试作混合型密度产量回归分析。表表12.10 高肥下春小麦混合型密度高肥下春小麦混合型密度产量回归关系分析数据表产量回归关系分析数据表xYy=Y/xx=ln x y=ln(y-1-K)x2y2xy 75361.54.8200 4.3715-2.0497 18.6408 4.2013-0.8496150378.02.5200 5.0106-1.1453 25.1061 1.3117-5.7386300376.01.2533 5.7038-0.3296 32.5333 0.1086-1.8800450364.50.8100 6.1092 0.1449 37.3223 0.0210 0.885260
46、0346.50.5775 6.3969 0.502540.9203 0.2525 3.2144900344.00.3822 6.8024 0.9313 46.2726 0.8673 6.335134.3404-1.9459200.7956 6.7624-6.0335图图12.18 高肥下小麦的密度高肥下小麦的密度x与群体产量与群体产量Y和单株产量和单株产量y的散点图的散点图 3403453503553603653703753800300600900Y01234560300600900y指数(y)解：从散点图（图解：从散点图（图12.18）中可以看到随着）中可以看到随着x的上升的上升Y达最大值后
47、缓慢下降，而达最大值后缓慢下降，而y却逐步却逐步下降，有点象一条指数曲线，因此做混合下降，有点象一条指数曲线，因此做混合型密度产量关系曲线回归分析。先求型密度产量关系曲线回归分析。先求K值，值，本例有本例有2组组x值符合条件值符合条件(12.48)，即，即 x1=75,x2=150,x3=300 x1=1 5 0,x2=3 0 0,x3=6 0 0代入式代入式(12.50)得得0787.0)2533.125775.052.2()52.222533.182.4()2533.15775.052.2()52.22533.182.4(111111211211 K 代入表代入表12.10求出求出y后作线
48、性回归分析，得后作线性回归分析，得 查查r0.01(4)=0.917，|r|=0.99960.917，回归关，回归关系在系在0.01水平上显著水平上显著(实际实际P2.40107)，9996.01314.62517.41037.50007506.0)19460.7exp()7234.520038.13243.0exp(20038.12517.41037.5,1037.56)9459.1(3404.340335.613128.66)9459.1(7624.62517.463404.347956.2002 2 rabSPSSSSyx 因此有混合型密度产量回归方程因此有混合型密度产量回归方程 成立。
49、其最适密度为成立。其最适密度为：2004.12004.12004.110007506.00787.00007506.00787.010007506.00787.0 xxYxyxy )/hm(1099.183)12004.1(0007506.00787.0242004.11opt x 此密度下的最高群体产量为此密度下的最高群体产量为)hm3902.9(kg/)(10kg/hm29.3902004.10787.099.183)12004.1(22max Y三、等比型密度产量回归分析三、等比型密度产量回归分析 在等比型密度产量关系中在等比型密度产量关系中y-1对对x的回归方的回归方程为程为 意为随着
50、意为随着x的变化的变化y-1呈等比级数即指数曲线呈等比级数即指数曲线变化。此时变化。此时y与与x的关系为的关系为 呈负指数曲线。呈负指数曲线。Y与与x的关系为的关系为 xey 1xxeey 11xexY 1 呈不对称的单峰曲线。这呈不对称的单峰曲线。这2条曲线示于图条曲线示于图12.19。图图12.19 等比型等比型x-y和和x-Y曲线曲线 Yy 当当 xopt=1 时为最适密度，此时的群体产量为时为最适密度，此时的群体产量为:因为因为y-1与与x呈指数关系，所以令呈指数关系，所以令 即可将方程即可将方程(12.52)线性化并解出线性化并解出和和的估的估计值了。计值了。例例12.9一个玉米密度
