1、 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念三、正交向量组的概念定义定义1 1维向量维向量设有设有n nnyxyxyxyx 2211,令令 .,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质(Inner product)1212(,),(,)TTnnxxxxyyyy内积的运算性质内积的运算性质 :,为为实实数数维维向向量量为为其其中中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzy
2、x (4),0,0,0.x xxx x且且当当时时有有 ;,zxyxzyx 或或 ;,yxyx 或或,)5(2yyxxyx施瓦茨不等式施瓦茨不等式定义定义2 2 非负性非负性.1齐次性齐次性.2三角不等式三角不等式.3 ,22221nxxxxxx 令令 .或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：0,0;0,0;xxxx当当时时当当时时;xx .yxyx 二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质(norm)维向量间的夹角维向量间的夹角单位向量及单位向量及n .,11 为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx,arccos,0,
3、02 时时当当.的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角1.2.2.正交、正交向量组正交、正交向量组的概念的概念.,0,yxyx与与称向量称向量时时当当(orthogonal)正交正交若若一一非零非零向量组中的向量向量组中的向量两两正交两两正交，则称该向，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质说明说明1.0.x 特特征征向向量量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义1
4、 1 设设 A 是是 n 阶矩阵阶矩阵,若数若数 和和 n 维维非零非零列向量列向量 x 使关系式使关系式 A x=x 成立成立,则称数则称数 为为方阵方阵 A 的特征值的特征值,非零非零列向量列向量 x 称为称为 A 的对应的对应于特征值于特征值 的特征向量的特征向量.2.特征值问题只对特征值问题只对方阵方阵而言而言 .0.3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0 EA.的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 EAf 称其称其.的的为方阵为方阵 A特征多项式特征多项式 则则有有的的特特
5、征征值值为为阶阶方方阵阵设设,.521nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 4.0.iiAE xnA齐齐次次线线性性方方程程组组的的所所有有非非零零解解向向量量就就是是阶阶方方阵阵的的对对应应特特征征值值的的所所有有特特征征向向量量二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法),2,1(0 .1ninEAi 个特征根个特征根解得解得由特征方程由特征方程.,0)(.2线性组合线性组合写出其写出其的基础解系的基础解系分别求出分别求出对每个对每个 xEAii 非零非零求方阵求方阵 的特征值与特征向量的步骤：的特征值与特征向量的步骤：nA解解例例1 1.3113的特
6、征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 .4,221 的特征值为的特征值为所以所以A,00231123,2211 xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 .0,02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当.11,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得.2)0(1111的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kpk.4)0(2222的
7、全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kpk求方阵求方阵 的特征值与特征向量的步骤：的特征值与特征向量的步骤：nA),2,1(0 .1ninEAi 个特征根个特征根解得解得由特征方程由特征方程.,0)(.2线性组合线性组合写出其写出其的基础解系的基础解系分别求出分别求出对每个对每个 xEAii 非零非零例例.201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1()2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为.1,2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当.0)2(,21 xEA,00001000100101401
8、32 EA,1001 p 得基础解系得基础解系.2)0(11的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kkp由由解方程解方程时时当当.0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基础解系得基础解系.1)0(322的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kkp例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令.2,1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解方程解方程时时当当.0,11 xEA,000010101414030111 EA,10
9、11 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0(1 kpk 由由解解方方程程时时当当.02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵 A 的特征值的特征值,x 是是 A 的的 属于属于 的特征向量，则的特征向量，则 .)1(是任意自然数是任意自然数的特征值的特征值是是mAmm.,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当
10、AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 ,0,2 可逆时可逆时当当A.,1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA的特征值的特征值是是则则的特征值的特征值是是若若)()(,)3(AA .0)4(的一个特征值的一个特征值为为的一个特征值，则的一个特征值，则为为若若 AAA 的一个特征值的一个特征值为为E1)5(例例5.
11、|75|,1,2,1 (1)23AAAA 求求特征值为特征值为的的已知三阶方阵已知三阶方阵.|23|,1,2,1 (2)*EAAA 求求特征值为特征值为的的已知三阶方阵已知三阶方阵例例6.0有有一一个个特特征征值值为为不不可可逆逆AA.21An 利利用用公公式式：.0 的的任任一一个个特特征征值值都都不不为为可可逆逆AA.,.,21212121线性无关线性无关则则各不相等各不相等如果如果向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设定理定理mmmmppppppmA 三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质1.2.相同的特征值。相同的特征值。有相
12、同的特征多项式、有相同的特征多项式、与与TAA 3 相似矩阵相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念 1定义定义.,.,11的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对进行运算进行运算对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设BAPAAPPABAABBAPPPnBA .,.1为
13、正整数为正整数相似相似与与则则相似相似与与若若mBABAmm二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质.,2.的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而多项式相同多项式相同的特征的特征与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若BABABAn证明证明,相似相似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA ,1BAPPP 使得使得存在可逆阵存在可逆阵.,的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而多项式相同多项式相同的特征的特征与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若BABABAn定理定理3推论推论 若若 阶方阵阶方阵A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是
14、即是则则相似相似nAn 有有对于对角矩阵对于对角矩阵,21 knkkkn12()()(),().)(,)(OAfAf 则则的特征多项式的特征多项式是矩阵是矩阵设设 定理定理.,1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化.)(个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵nAAAn定理定理4 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角
15、阵相似与对角阵相似推论推论nAAn说明：如果说明：如果A的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，A还是能对角化还是能对角化（A与对角阵相似的充分条件与对角阵相似的充分条件）例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1(722 0 242422221.7,2321 得得 得得方方程程组组代代入入将将,02121
16、 xEA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 ,0,73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2,2,13T ,0211210102 由于由于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A.1321 的特征值为的特征值为所以所以A ,01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,)1,1,1(T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A 163053064A设设A能
17、否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 .2,1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将,02 3 xEA .1,1,13 T.,321线线性性无无关关由由于于 110101102,321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A注意注意 ,213 P若
18、令若令111 012 100.1 APP则有则有00 00002 11即即矩阵矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P例例 3 3设设 00111100 xA问问x为何值时，矩阵为何值时，矩阵A能对角化？能对角化？解：解：11)1(011110 xEA)1()1(2 得得1231,1 AR AE231()1由由于于 可可对对角角化化所所以以二二重重根根有有两两个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量于于是是 00010010110101101xxEA所以所以所以所以 1 x4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化问题：什么样的矩阵可以进行对角化？
19、问题：什么样的矩阵可以进行对角化？答案：对称矩阵可以对角化答案：对称矩阵可以对角化5 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为都为二次型二次型.yzxyzyxzyxf22,222 ),.,(21nxxxfnnxxaxxaxa112112211122 nnxxaxa2222222 2nnnxa 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnyky
20、kykf 称为二次型的称为二次型的标准形标准形（或（或法式法式）例如例如 23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形.221221rppyyyyf 称为二次型的称为二次型的规范规范形形 例如例如 2422214321,xxxxxxxf 为二次型的规范形为二次型的规范形.二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法用矩阵表示用矩阵表示,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(2211222212
21、1212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(.,为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对
22、称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系;的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵 Af.的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA;的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型 fA对称矩阵对称矩阵解解 600310021330322021rA.6432 13221232221的的秩秩的的矩矩阵阵表表示示式式并并求求写写出出二二次次型型例例fxxxxxxxf .330322021),(),(321321321 xxxxxxxxxf,3)(AR.3的秩为的秩
23、为即二次型即二次型 f.510932241),(的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型 zyxzyxf例例2.2222211的矩阵的矩阵求二次型求二次型nnxxxf n 21所求矩阵为所求矩阵为二次型的标准形的矩阵为对角矩阵二次型的标准形的矩阵为对角矩阵三、合同矩阵三、合同矩阵.,合合同同与与则则称称矩矩阵阵使使若若有有可可逆逆矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵是是和和设设定定义义BAACCBCnBAT .,ARBRBAACCBCT 且且也也为为对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵为为对对称称如如果果令令任任给给可可逆逆矩矩阵阵定定理理7 正定正定二次型二次型一、正定二次型的概念一、正定二次型的概念二、正二、正(负负)定
24、二次型的判别定二次型的判别222164zyxf 为为正定二次型正定二次型22213xxf 为为负定二次型负定二次型一、正定二次型的概念一、正定二次型的概念 10定定义义例如例如 T f xx Axxfx ffAxf x fA(),0,000,;0()0,.设设有有实实二二次次型型如如果果对对任任何何都都有有显显然然则则称称 为为正正定定二二次次型型 并并称称对对称称矩矩阵阵 是是正正定定的的 如如果果对对任任何何都都有有则则称称为为负负定定二二次次型型 并并称称对对称称矩矩阵阵是是负负定定的的二、正二、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别 01定理定理.,:nnAxxfT性指数等于性指数等于
25、即它的正惯即它的正惯个系数全为正个系数全为正它的标准形的它的标准形的是是为正定的充要条件为正定的充要条件实二次型实二次型 推论推论对称矩阵对称矩阵 A 为正定的充要条件是：为正定的充要条件是：A 的的 特征值全为正特征值全为正,011 a,022211211 aaaa,;01111 nnnnaaaa定理定理11(11(霍尔维茨定理霍尔维茨定理)对称矩阵对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即 .,2,1,011111nraaaarrrrr 对称矩阵对称矩阵 A 为负定的充要条件是：奇数阶主为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而
26、偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式,05 ,011225,01524212425故故 f 是正定二次型是正定二次型.100010041A例例,问二次型问二次型AxxfT 是否正定？是否正定？正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质T A,AAA11.,;设设 为为正正定定矩矩阵阵 则则均均为为正正定定矩矩阵阵.,.2 矩矩阵阵也也是是正正定定则则阶阶正正
27、定定矩矩阵阵均均为为若若BAnBA 例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令.6,4,1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f,0511 a,026622522211211 aaaa,080 A.为负定二次型为负定二次型f,402062225 A例例4 4?4225,222正定
28、正定二次型二次型取何值时取何值时yzxztxyzyxft 解解的矩阵为的矩阵为f,0111 a由由,01112 ttt,5212111 ttA,04552121112 ttttA.054 t解得解得.054 t解得解得2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系本章重点本章重点 特征值、特征向量特征值、特征向量 矩阵的对角化矩阵的对角化 二次型的表示、二次型的矩阵二次型的表示、二次型的矩阵 正定二次型及其判定正定二次型及其判定
