1、20192019 年中考年中考数学数学真题真题分类分类训练训练专题十九：二次函数综合题专题十九：二次函数综合题 1 1（20192019 广东）如图广东）如图 1 1，在平面直角坐标系中，抛物线，在平面直角坐标系中，抛物线y y= = 2 33 37 3 848 xx 与与x x轴交于点轴交于点A A、B B（点（点 A A在点在点B B右侧），点右侧），点D D为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，点C C在在y y轴的正半轴上，轴的正半轴上，CDCD交交x x轴于点轴于点F F，CADCAD绕点绕点C C顺时顺时 针旋转得到针旋转得到CFECFE，点，点A A恰好旋转到点恰好旋转到点F F，连
2、接，连接BEBE （1 1）求点）求点A A、B B、D D的坐标；的坐标； （2 2）求证：四边形）求证：四边形BFCEBFCE是平行四边形；是平行四边形； （3 3）如图）如图 2 2，过顶点，过顶点D D作作DDDD1 1x x轴于点轴于点D D1 1，点，点P P是抛物线上一动点，过点是抛物线上一动点，过点P P作作PMPMx x轴，点轴，点MM为垂足，为垂足， 使得使得PAMPAM与与DDDD1 1A A相似（不含全等）相似（不含全等） 求出一个满足以上条件的点求出一个满足以上条件的点P P的横坐标；的横坐标； 直接回答这样的点直接回答这样的点P P共有几个？共有几个？ 解：解：（1
3、 1）令）令 2 33 37 3 848 xx =0=0， 解得解得x x1 1=1=1，x x2 2= =7 7A A（1 1，0 0），），B B（7 7，0 0） 由由y y= = 2 33 37 3 848 xx = = 2 3 (3)2 3 8 x 得，得，D D（3 3，2 2 3）； ）； （2 2）DDDD1 1x x轴于点轴于点D D1 1，COFCOF= =DDDD1 1F F=90=90， D D1 1FDFD= =CFOCFO，DDDD1 1F FCOFCOF， 1 1 D DCO FDOF ， D D（3 3，2 2 3）， ）， D D1 1D D=2=2 3， ，
4、ODOD=3=3， ACAC= =CFCF，COCOAFAF，OFOF= =OAOA=1=1， D D1 1F F= =D D1 1O OOFOF=3=31=21=2， 2 3 21 OC ， OCOC= = 3， ，CACA= =CFCF= =FAFA=2=2， ACFACF是等边三角形，是等边三角形，A AFCFC= =ACFACF， CADCAD绕点绕点C C顺时针旋转得到顺时针旋转得到CFECFE， ECFECF= =AFCAFC=60=60，ECECBFBF， ECEC= =DCDC= = 22 3( 32 3) =6=6， BFBF=6=6，ECEC= =BFBF， 四边形四边形B
5、FCEBFCE是平行四边形；是平行四边形； （3 3）点）点P P是抛物线上一动点，是抛物线上一动点， 设设P P点（点（x x， 2 33 37 3 848 xx ），）， 当点当点P P在在B B点的左侧时，点的左侧时， PAMPAM与与DDDD1 1A A相似，相似， 11 DDD A PMMA 或或 11 DDD A AMPM ， 2 2 34 133 37 3 848 x xx 或或 2 2 34 133 37 3 848 x xx ， 解得：解得：x x1 1=1=1（不合题意舍去），（不合题意舍去），x x2 2= =1111 或或x x1 1=1=1（不合题意舍去）（不合题意舍
6、去）x x2 2= = 37 3 ； 当点当点P P在在A A点的右侧时，点的右侧时， PAMPAM与与DDDD1 1A A相似，相似， 1 1 DDPM AMD A 或或 1 1 D APM MADD ， 2 33 37 3 2 3 848 14 xx x 或或 2 33 37 3 4 848 12 3 xx x ， 解得：解得：x x1 1=1=1（不合题意舍去），（不合题意舍去），x x2 2= =3 3（不合题意舍去）或（不合题意舍去）或x x1 1=1=1（不合题意舍去），（不合题意舍去），x x2 2= = 5 3 （不合题意舍（不合题意舍 去）；去）； 当点当点P P在在ABAB
7、之间时，之间时， PAMPAM与与DDDD1 1A A相似，相似， PM AM = = 1 1 DD D A 或或 PM MA = = 1 1 D A DD ， 2 33 37 3 2 3 848 14 xx x 或或 2 33 37 3 4 848 12 3 xx x ， 解得：解得：x x1 1=1=1（不合题意舍去），（不合题意舍去），x x2 2= =3 3（不合题意舍去）或（不合题意舍去）或x x1 1=1=1（不合题意舍去），（不合题意舍去），x x2 2= = 5 3 ； 综上所述，点综上所述，点P P的横坐标为的横坐标为1111 或或 37 3 或或 5 3 ； 由得，这样的点
8、由得，这样的点P P共有共有 3 3 个个 2 2（20192019 深圳）如图，抛物线经深圳）如图，抛物线经y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c过点过点A A（- -1 1，0 0），点），点C C（0 0，3 3），且），且OBOB= =OCOC （1 1）求抛物线的解析式及其对称）求抛物线的解析式及其对称轴；轴； （2 2）点）点D D、E E在直线在直线x x=1=1 上的两个动点，且上的两个动点，且DEDE=1=1，点，点D D在点在点E E的上方，求四边形的上方，求四边形ACDEACDE的周长的最的周长的最 小小值值 （3 3） 点） 点P P为抛物线上一点， 连接
9、为抛物线上一点， 连接CPCP， 直线， 直线CPCP把四边形把四边形CBPACBPA的面积分为的面积分为 3 35 5 两部分， 求点两部分， 求点P P的坐的坐标标 解：解：（1 1）OBOB= =OCOC， 点点B B（3 3，0 0），）， 则抛物线的表达式为：则抛物线的表达式为：y y= =a a（x x+1+1）（）（x x- -3 3）= =a a（x x2 2- -2 2x x- -3 3）= =axax2 2- -2 2axax- -3 3a a， 故故- -3 3a a=3=3，解得：，解得：a a= =- -1 1， 故抛物线的表达式为：故抛物线的表达式为：y y= =-
10、 -x x2 2+2+2x x+3+3，对称轴为，对称轴为x x=1=1 （2 2）ACDEACDE的周长的周长= =ACAC+ +DEDE+ +CDCD+ +AEAE，其中，其中ACAC 10 、DEDE=1=1 是常数，是常数， 故故CDCD+ +AEAE最小时，周长最小，最小时，周长最小， 取点取点C C关于函数对称点关于函数对称点C C（2 2，3 3），则），则CDCD= =C CD D， 取点取点A A（- -1 1，1 1），则），则A AD D= =AEAE， 故：故：CDCD+ +AEAE= =A AD D+ +DCDC，则当，则当A A、D D、C C三点共线时，三点共线时
11、，CDCD+ +AEAE= =A AD D+ +DCDC最小，周长也最小，最小，周长也最小， 四 边 形四 边 形ACDEACDE的 周 长 的 最 小 值的 周 长 的 最 小 值 = =ACAC+ +DEDE+ +CDCD+ +AEAE 101 A A D D+ +DCDC 101 A A C C 10113 （3 3）如图，设直线）如图，设直线CPCP交交x x轴于点轴于点E E， 直线直线CPCP把四边形把四边形CBPACBPA的面积分为的面积分为 3 35 5 两部分，两部分， 又又S S PCBPCB S S PCAPCA 1 2 EBEB（y yC C- -y yP P） 1 2
12、 AEAE（y yC C- -y yP P）= =BEBEAEAE， 则则BEBEAEAE=3=35 5 或或 5 53 3， 则则AEAE 5 2 或或 3 2 ， 即：点即：点E E的坐标为（的坐标为（ 3 2 ，0 0）或（）或（ 1 2 ，0 0），）， 将点将点E E、C C的坐标代入一次函数表达式：的坐标代入一次函数表达式：y y= =kxkx+3+3， 解得：解得：k k= =- -6 6 或或- -2 2， 故直线故直线CPCP的表达式为：的表达式为：y y= =- -2 2x x+3+3 或或y y= =- -6 6x x+3+3， 联立联立 2 23 63 yxx yx 并
13、解得：并解得：x x=4=4 或或 8 8（不合题意值已舍去），（不合题意值已舍去）， 故点故点P P的坐标为（的坐标为（4 4，- -5 5）或（）或（8 8，- -4545） 3 3. .（20192019 雅安）雅安） 已知二次函数已知二次函数 y=axy=ax2 2(a (a0) 0)的图象过点（的图象过点（2 2，- -1 1） ，点） ，点 P P（P P 与与 O O 不重合）是图象上的一点，不重合）是图象上的一点， 直线直线 l l 过点（过点（0 0，1 1）且平行于）且平行于 x x 轴。轴。PMPMl l 于于点点 MM，点，点 F F（0 0，- -1 1） ） （1
14、1）求二次函数的解析式；）求二次函数的解析式； （2 2）求证：点）求证：点 P P 在线段在线段 MFMF 的中垂线上；的中垂线上； （3 3）设直线）设直线 PFPF 交二次函数的图象于另一点交二次函数的图象于另一点 Q Q，QNQNl l 于点于点 N N，线段，线段 MFMF 的中垂线交的中垂线交 l l 于点于点 R R，求，求 MR RN 的的 值；值； （4 4）试判断点）试判断点 R R 与以线段与以线段 PQPQ 为直径的圆的位置关系为直径的圆的位置关系 x y l O (0,1) F(0,-1) 解：解： （1 1）y=axy=ax2 2(a (a0) 0)的图象过点（的图
15、象过点（2 2，- -1 1） ，） ，- -1=a1=a2 22 2，即，即 a=a= 1 4 ， 2 1 4 yx ； （2 2）设）设 2 1 4 yx 的图象上的点的图象上的点 P P（x x1 1,y ,y1 1）, ,则则 M(xM(x1 1，1) 1)， 2 11 1 4 yx ，即，即 x x1 12 2= =- -4y4y1 1，PM=PM=1 1- -y y1 1，又，又 PF=PF= 22 11 (0)(y1)x = = 22 111 21xyy= = 2 111 421yyy= = 2 1 (y1)= =y y1 1- -1 1=PM=PM，即，即 PF=PMPF=PM
16、，点，点 P P 在线段在线段 MFMF 的中垂线上；的中垂线上； （3 3）连接）连接 RFRF，R R 在线段在线段 MFMF 的中的中垂线上，垂线上，MR=FRMR=FR，又，又PM=PFPM=PF，PR=PRPR=PR，PMRPMRPFRPFR， PFR=PFR=PMR=90PMR=90，RFRFPFPF，连接，连接 RQRQ，又在，又在 RtRtRFQRFQ 和和 RtRtRNQRNQ 中，中，Q Q 在在 2 1 4 yx 的图象上，的图象上， 由（由（2 2）结论知）结论知QF=QNQF=QN，RQ=RQRQ=RQ，RtRtRFQ RFQ RtRtRNQRNQ，即，即 RN=FR
17、RN=FR，即，即 MR=FR=RNMR=FR=RN，1 MR RN ； （4 4）在）在PQRPQR 中，由（中，由（3 3）知）知 PRPR 平分平分MRFMRF，QRQR 平分平分FRNFRN，PRQ=PRQ= 1 2 （MRF+MRF+FRNFRN）=90=90， 点点 R R 在以线段在以线段 PQPQ 为直径的圆上为直径的圆上 4 4（20192019 南宁）如果抛物线南宁）如果抛物线C C1 1的顶点在拋物线的顶点在拋物线C C2 2上，抛物线上，抛物线C C2 2的顶点也在拋物线的顶点也在拋物线C C1 1上时，那么我们称上时，那么我们称 抛物线抛物线C C1 1与与C C2
18、2“互为关联”的抛物线如图“互为关联”的抛物线如图 1 1，已知抛物线，已知抛物线C C1 1：y y1 1= = 1 4 x x2 2+ +x x与与C C2 2：y y2 2= =axax2 2+ +x x+ +c c是“互为关是“互为关 联”的拋物线，点联”的拋物线，点A A，B B分别是抛物线分别是抛物线C C1 1，C C2 2的顶点，抛物线的顶点，抛物线C C2 2经过点经过点D D（6 6，1 1） （1 1）直接写出）直接写出A A，B B的坐标和抛物线的坐标和抛物线C C2 2的解析式；的解析式； （2 2）抛物线）抛物线C C2 2上是否存上是否存在点在点E E，使得，使得
19、ABEABE是直角三角形？如果存在，请求出点是直角三角形？如果存在，请求出点E E的坐标；如果不存在，的坐标；如果不存在， 请说明理由；请说明理由； （3 3）如图）如图 2 2，点，点F F（6 6，3 3）在抛物线）在抛物线C C1 1上，点上，点MM，N N分别是抛物线分别是抛物线C C1 1，C C2 2上的动点，且点上的动点，且点MM，N N的横坐的横坐 标相同，记标相同，记AFMAFM面积为面积为S S1 1（当点（当点MM与点与点A A，F F重合时重合时S S1 1=0=0），），ABNABN的面积为的面积为S S2 2（当点（当点N N与点与点A A，B B 重合时，重合时，
20、S S2 2=0=0），令），令S S= =S S1 1+ +S S2 2，观察图象，当，观察图象，当y y1 1y y2 2时，写出时，写出x x的取值范围，并求出在此范围内的取值范围，并求出在此范围内S S的最大值的最大值 解：解：（1 1）C C1 1顶点在顶点在C C2 2上，上，C C2 2顶点也在顶点也在C C1 1上，上， 由抛物线由抛物线C C1 1：y y1 1= = 1 4 x x2 2+ +x x可得可得A A（2 2，1 1），）， 将将A A（2 2，1 1），），D D（6 6，1 1）代入）代入y y2 2= =axax2 2+ +x x+ +c c 得得 421
21、 3661 ac ac ，解得，解得 1 4 2 a c ， y y2 2= = 1 4 x x2 2+ +x x+2+2，B B（2 2，3 3）；）； （2 2）易得直线）易得直线ABAB的解析式：的解析式：y y= =x x+1+1， 若若B B为直角的顶点，为直角的顶点，BEBEABAB，k kBE BE k kABAB= = 1 1， k kBE BE= = 1 1，则直线，则直线BEBE的解析式为的解析式为y y= =x x+5+5 联立联立 2 5 1 2 4 yx yxx ， 解得解得 2 3 x y 或或 6 1 x y ，此时，此时E E（6 6，1 1）；）； 若若A A
22、为直角顶点，为直角顶点，AEAEABAB，k kAE AE k kABAB= = 1 1， k kAE AE= = 1 1，则直线，则直线AEAE的解析式为的解析式为y y= =x x3 3， 联立联立 2 3 1 2 4 yx yxx ， 解得解得 2 1 x y 或或 10 13 x y ， 此时此时E E（1010，1313）；）； 若若E E为直角顶点，设为直角顶点，设E E（m m， 1 4 m m2 2+ +m m+2+2） 由由AEAEBEBE得得k kBE BE k kAEAE= = 1 1， 即即 22 11 13 44 1 22 mmmm mm ， 解得解得m m=2=2
23、或或2 2（不符合题意均舍去），（不符合题意均舍去）， 存在，存在，E E（6 6，1 1）或）或E E（1010，1313）；）； （3 3）y y1 1y y2 2，观察图形可得：，观察图形可得：x x的取值范围为的取值范围为2 2x x2 2， 设设MM（t t， 1 4 t t2 2+ +t t），），N N（t t， 1 4 t t2 2+ +t t+2+2），且），且2 2t t2 2， 易求直线易求直线AFAF的解析式：的解析式：y y= =x x3 3， 过过MM作作x x轴轴的平行线的平行线MQMQ交交AFAF于于Q Q， 由由y yQ Q= =y yM M， ，得得Q Q（
24、 1 4 t t2 2 t t 3 3， 1 4 t t2 2+ +t t），）， S S1 1= = 1 2 | |QMQM| | | |y yF Fy yA A|=|= 1 2 t t2 2+4+4t t+6+6， 设设ABAB交交MNMN于点于点P P，易知，易知P P坐标为（坐标为（t t，t t+1+1），）， S S2 2= = 1 2 | |PNPN| | | |x xA Ax xB B|=2|=2 1 2 t t2 2， S S= =S S1 1+ +S S2 2=4=4t t+8+8， 当当t t=2=2 时，时，S S的最大值为的最大值为 1616 5 5（20192019
25、 广州）已知抛物线广州）已知抛物线G G：y y= =mxmx2 2- -2 2mxmx- -3 3 有最低点有最低点 （1 1）求二次函数）求二次函数y y= =mxmx2 2- -2 2mxmx- -3 3 的最小值（用含的最小值（用含m m的式子表示）；的式子表示）； （2 2）将抛物线）将抛物线G G向右平移向右平移m m个单位得到抛物线个单位得到抛物线G G1 1经过探究发现，随着经过探究发现，随着m m的变化，抛物线的变化，抛物线G G1 1顶点的纵顶点的纵 坐标坐标y y与横坐标与横坐标x x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量之间存在一个函数关系，求这个函数关系
26、式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围； （3 3）记（）记（2 2）所求的函数为）所求的函数为H H，抛物线，抛物线G G与函数与函数H H的图象交于点的图象交于点P P，结合图象，求点，结合图象，求点P P的纵坐标的取值范的纵坐标的取值范 围围 解：解：（1 1）y y= =mxmx2 2- -2 2mxmx- -3=3=m m（x x- -1 1）2 2- -m m- -3 3，抛物线有最低点，抛物线有最低点， 二次函数二次函数y y= =mxmx2 2- -2 2mxmx- -3 3 的最小值为的最小值为- -m m- -3 3 （2 2）抛物线）抛物线G G：y y= =m m
27、（x x- -1 1）2 2- -m m- -3 3， 平移后的抛物线平移后的抛物线G G1 1：y y= =m m（x x- -1 1- -m m）2 2- -m m- -3 3， 抛物线抛物线G G1 1顶点坐标为（顶点坐标为（m m+1+1，- -m m- -3 3），）， x x= =m m+1+1，y y= =- -m m- -3 3， x x+ +y y= =m m+1+1- -m m- -3=3=- -2 2， 即即x x+ +y y= =- -2 2，变形得，变形得y y= =- -x x- -2 2， m m00，m m= =x x- -1 1， x x- -1010， x
28、x11， y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为y y= =- -x x- -2 2（x x11） （3 3）法一：如图，函数）法一：如图，函数H H：y y= =- -x x- -2 2（x x11）图象为射线，）图象为射线， x x=1=1 时，时，y y= =- -1 1- -2=2=- -3 3；x x=2=2 时，时，y y= =- -2 2- -2=2=- -4 4， 函数函数H H的图象恒过点的图象恒过点B B（2 2，- -4 4），）， 抛物线抛物线G G：y y= =m m（x x- -1 1）2 2- -m m- -3 3， x x=1=1 时，时，y y= =-
29、-m m- -3 3；x x=2=2 时，时，y y= =m m- -m m- -3=3=- -3 3， 抛物线抛物线G G恒过点恒过点A A（2 2，- -3 3），）， 由图象可知，若抛物线与函数由图象可知，若抛物线与函数H H的图象有交点的图象有交点P P，则，则y yB B1，且，且x x=2=2 时，方程为时，方程为 0=0=- -1 1 不成立，不成立， x x2 2，即，即x x2 2- -2 2x x= =x x（x x- -2 2）0 0， m m 1 (2) x x x 0 0， x x11， 1 1- -x x00， x x（x x- -2 2）00， x x- -202
30、0， x x22，即，即 11x x22， y yP P= =- -x x- -2 2， - -44y yP P - -3 3， 6 6（20192019 海南）如图，已知抛物线海南）如图，已知抛物线y y= =axax2 2+ +bxbx+5+5 经过经过A A（5 5，0 0），），B B（4 4，3 3）两点，与）两点，与x x轴的另一个轴的另一个 交点为交点为C C，顶点为，顶点为D D，连结，连结C CD D （1 1）求该抛物线的表达式；）求该抛物线的表达式； （2 2）点）点P P为该抛物线上一动点（与点为该抛物线上一动点（与点B B、C C不重合），设点不重合），设点P P的横
31、坐标为的横坐标为t t 当点当点P P在直线在直线BCBC的下方运动的下方运动时，求时，求PBCPBC的面积的最大值；的面积的最大值； 该抛物线上是否存在点该抛物线上是否存在点P P，使得，使得PBCPBC= =BCDBCD？若存在，求出所有点？若存在，求出所有点P P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 解：解：（1 1）将点）将点A A、B B坐标代入二次函数表达式得：坐标代入二次函数表达式得： 25550 16453 ab ab ，解得，解得 1 6 a b ， 故抛物线的表达式为：故抛物线的表达式为：y y= =x x2 2+6+6x x+5+5 （2 2）如图如图
32、1 1，过点，过点P P作作PEPEx x轴于点轴于点E E，交直线，交直线BCBC于点于点F F. . 在抛物线在抛物线y y= =x x2 2+6+6x x+5+5中，中， 令令y y=0=0，则，则x x2 2+6+6x x+5=0+5=0， 解得解得x x= =5 5，x x= =1 1， 点点C C的坐标为的坐标为（1 1，0 0）. . 由点由点B B（4 4，3 3）和）和C C（1 1，0 0），可得），可得 直线直线BCBC的表达式为的表达式为y y= =x x+1.+1. 设点设点P P的坐标为（的坐标为（t t，t t2 2+6+6t t+5+5），由题知），由题知44t
33、 t 1 1， 则点则点F F（t t，t t+1+1），）， FPFP= =（t t+1+1）（t t2 2+6+6t t+5+5）= =t t2 25 5t t4 4， S SPBCPBC= =S SFPBFPB+ +S SFPCFPC= = 1 2 FPFP3 3 = = 2 3 54 2 tt = = 2 315 6 22 tt = = 2 3527 228 t . . 44 5 2 1 1， 当当t t= = 5 2 时，时，PBCPBC的面积的最大值为的面积的最大值为 27 8 存在存在 y y= =x x2 2+6+6r r+5=+5=（x x+3+3）2 24 4， 抛物线的顶
34、点抛物线的顶点D D的坐标为（的坐标为（3 3，4 4）. . 由点由点C C（l l，0 0）和）和D D（3 3，4 4），可得），可得 直线直线CDCD的表达式为的表达式为y y=2=2x x+2.+2. 分两种情况讨论：分两种情况讨论： （i i）当点）当点P P在直线在直线BCBC上方时，有上方时，有PBCPBC= =BCDBCD，如图，如图2. 2. 若若PBCPBC= =BCDBCD， 则则PBPBCDCD， 设直线设直线PBPB的表达式为的表达式为y y=2=2x x+ +b b. . 把把B B（4 4，3 3）代入）代入y y=2=2x x+ +b b，得，得b b=5=5
35、， 直线直线PBPB的表达式为的表达式为y y=2=2x x+5.+5. 由由x x2 2+6+6x x+5=2+5=2x x+5+5，解得，解得x x1 1=0=0，x x2 2= =4 4（舍去），（舍去）， 点点P P的坐标为（的坐标为（0 0，5 5）. . （ii ii）当点当点P P在直线在直线BCBC下方时，有下方时，有PBCPBC= =BCDBCD，如图，如图3. 3. 设直线设直线BPBP与与CDCD交于点交于点MM，则，则MBMB= =MMC.C. 过点过点B B作作BNBNx x轴于点轴于点N N，则点，则点N N（4 4，0 0），）， NBNB= =NCNC=3=3，
36、 MNMN垂直平分线段垂直平分线段B BC.C. 设直线设直线MNMN与与BCBC交于点交于点G G，则线段，则线段BCBC的中点的中点G G的坐标为的坐标为 53 , 22 ， 由点由点N N（4 4，0 0）和）和G G 53 , 22 ，得，得 直线直线NGNG的表达式为的表达式为y y= =x x4. 4. 直线直线CDCD: :y y=2=2x x+2+2与直线与直线NGNG: :y y= =x x4 4交于点交于点MM， 由由2 2x x+2=+2=x x4 4，解得，解得x x= =2 2， 点点MM的坐标为（的坐标为（2 2，2 2）. . 由由B B（4 4，3 3）和）和M
37、M（2. 2.2 2），得），得 直线直线BMBM的表达式为的表达式为y y= = 1 1 2 x 由由x x2 2+6+6x x+5=+5= 1 1 2 x，解得，解得x x1 1= = 3 2 ，x x2 2= =4 4（含去），（含去）， 点点P P的坐标为（的坐标为（ 3 2 ， 7 4 ）. . 综上所述，存在满足条件的点综上所述，存在满足条件的点P P的坐标为（的坐标为（0 0，5 5）和（）和（ 3 2 ， 7 4 ）. . 7. 7. （20192019 镇江）镇江）如图，二次函数如图，二次函数 2 45yxx图象的顶点为图象的顶点为D，对称轴是直线，对称轴是直线 1 1，一次
38、函数，一次函数 2 1 5 yx的的 图象与图象与x轴交于点轴交于点A，且与直线，且与直线DA关于关于l的对称直线交于点的对称直线交于点B （1 1）点）点D的坐标是的坐标是 ； （2 2）直线）直线l与直线与直线AB交于点交于点C，N是线段是线段DC上一点（不与点上一点（不与点D、C重合） ，点重合） ，点N的纵坐标为的纵坐标为n过点过点N 作直作直线与线段线与线段DA、DB分别交于点分别交于点P、Q，使得，使得DPQ与与DAB相似相似 当当 27 5 n 时，求时，求DP的长；的长； 若对于每一个确定的若对于每一个确定的n的值，有且只有一个的值，有且只有一个DPQ与与DAB相似，请直接写出
39、相似，请直接写出n的取值范围的取值范围 解：解：（1 1）顶点为）顶点为(2,9)D；故答案为；故答案为(2,9)； （2 2）对称轴）对称轴2x ， 9 (2, ) 5 C， 由已知可由已知可求求 5 ( 2 A ，0)， 点点A关于关于2x 对称点为对称点为 13 ( 2 ，0)， 则则AD关于关于2x 对称的直线为对称的直线为213yx ， (5,3)B， 当当 27 5 n 时，时， 27 (2,) 5 N， 9 5 2 DA， 18 5 DN ， 36 5 CD 当当/ /PQAB时，时，DPQDAB， DACDPN， DPDN DADC ， 9 5DP； 当当PQ与与AB不平行时，
40、不平行时，DPQDBA， DNQDCA， DPDN DBDC ， 9 5DP； 综上所述，综上所述，9 5DN ； 当当/ /PQAB，DBDP时，时， 3 5DB ， DPDN DADC ， 24 5 DN， 21 (2,) 5 N， 有且只有一个有且只有一个DPQ与与DAB相似时，相似时， 921 55 n； 故答案为故答案为 921 55 n； 8 8（20192019 陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线L L：y y= =axax2 2+ +（c ca a）x x+ +c c经过点经过点A A（3 3，0 0）和点）和点B B（0 0， 6 6），
41、），L L关于原点关于原点O O对称的抛物线为对称的抛物线为L L （1 1）求抛物线）求抛物线L L的表达式；的表达式； （2 2）点）点P P在抛物线在抛物线L L上，且位于第一象限上，且位于第一象限，过点，过点P P作作PDPDy y轴，垂足为轴，垂足为 D D若若PODPOD与与AOBAOB相似，相似， 求符合条件的点求符合条件的点P P的坐标的坐标 解：解：（1 1）将点）将点A A、B B的坐标代入抛物线表达式得：的坐标代入抛物线表达式得： (930 6 )acac c ， 解得解得 1 6 a c ，L L：y y= =x x2 25 5x x6 6 （2 2）点）点A A、B
42、B在在L L上的对应点分别为上的对应点分别为A A（3 3，0 0）、）、B B（0 0，6 6），）， 设抛物线设抛物线L L的表达式的表达式y y= =x x2 2+ +bxbx+6+6， 将将A A（3 3，0 0）代入）代入y y= =x x2 2+ +bxbx+6+6，得，得b b= =5 5， 抛物线抛物线L L的表达式为的表达式为y y= =x x2 25 5x x+6+6， A A（3 3，0 0），），B B（0 0，6 6），）， AOAO=3=3，OBOB=6=6， 设：设：P P（m m，m m2 25 5m m+6+6）（）（m m0 0），）， PDPDy y轴，点
43、轴，点D D的坐标为（的坐标为（0 0，m m2 25 5m m+6+6），）， PDPD= =m m，ODOD= =m m2 25 5m m+6+6， RtRtPODPOD与与RtRtAOBAOB相似相似. . PDOPDOBOABOA时，时， PD OB = = OD OA ，即，即m m=2=2（m m2 25 5m m+6+6），解得：），解得：m m= = 3 2 或或 4 4； 当当ODPODPAOBAOB时，时， 同理可得：同理可得：m m=1=1 或或 6 6； P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4均在第一象限，均在第一象限， 符合条件的点符合条件的点P P的坐标为（的坐标为（1 1，2 2）或（）或（6 6，1212）或（）或（ 3 2 ， 3 4 ）或（）或（4 4，2 2） 9 9. . （20192019 常州）常州）如图，二次函数如图，二次函数y yx x2 2+ +bxbx+3+3 的图象与的图
