1、20192019 年中考年中考数学数学真题真题分类分类训练训练专题二十一：规律探索题专题二十一：规律探索题 一、选择题一、选择题 1 1（20192019 菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O O出发，按“向上向右出发，按“向上向右 向下向右”的方向依次不断移动，每次移动向下向右”的方向依次不断移动，每次移动 1 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A A1 1， 第二次移动到点第二次移动到点A A2 2，第，第n n次移动到点次移动到点A An n
2、，则点，则点A A2019 2019的坐标是的坐标是 A A（10101010，0 0） B B（10101010，1 1） C C（10091009，0 0） D D（10091009，1 1） 【答案】【答案】C C 2 2（20192019 张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 1 的正方形的正方形OAOABCBC绕点绕点O O顺时针旋转顺时针旋转 4545后得到后得到 正方形正方形OAOA1 1B B1 1C C1 1，依此方式，绕点，依此方式，绕点O O连续旋转连续旋转20192019 次得到正方形次得到正方形OAOA2019 20
3、19B B20192019C C20192019，那么点，那么点A A20192019的坐标的坐标是是 A A（ 2 2 ，- - 2 2 ） B B（1 1，0 0） C C（- - 2 2 ，- - 2 2 ） D D（0 0，- -1 1） 【答案】【答案】A A 3 3 （20192019 武汉）观察等式：武汉）观察等式：2+22+2 2 2=2 =2 3 3- -2 2； ；2+22+2 2 2+2 +2 3 3=2 =2 4 4- -2 2； ；2+22+2 2 2+2 +2 3 3+2 +2 4 4=2 =2 5 5- -2 2，已知按一定规律排列的一组数： ，已知按一定规律排列
4、的一组数： 2 2 5050、 、2 2 5151、 、2 2 5252、 、2 2 9999、 、2 2 100100若 若 2 2 5050= =a a，用含 ，用含a a的式子表示这组数的和是的式子表示这组数的和是 A A2 2a a 2 2- -2 2a a B B2 2a a 2 2- -2 2a a- -2 2 C C2 2a a 2 2- -a a D D2 2a a 2 2+ +a a 【答案】【答案】C C 4 4（20192019 枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，
5、适合填补图中空白处的 是是 A A B B C C D D 【答案】【答案】D D 5 5（20192019 达州）达州）a a是不为是不为 1 1 的有理数，我们把的有理数，我们把 1 1a 称为称为a a的差倒数，如的差倒数，如 2 2 的差倒数为的差倒数为 1 12 = =- -1 1，- -1 1 的差的差 倒数倒数 11 1 ( 1)2 ，已知，已知a a1 1=5=5，a a2 2是是a a1 1的差倒数，的差倒数，a a3 3是是a a2 2的差倒数，的差倒数，a a4 4是是a a3 3的差倒数，依此类推，的差倒数，依此类推，a a2019 2019 的值是的值是 A A5 5
6、 B B- - 1 4 C C 4 3 D D 4 5 【答案】【答案】D D 6 6（20201919 济宁）已知有理数济宁）已知有理数a a1 1，我们把，我们把 1 1a 称为称为a a的差倒数，如：的差倒数，如：2 2 的差倒数是的差倒数是 1 12 = =- -1 1，- -1 1 的差倒的差倒 数是数是 11 1 ( 1)2 如果如果a a1 1= =- -2 2，a a2 2是是a a1 1的差倒数，的差倒数，a a3 3是是a a2 2的差倒数，的差倒数，a a4 4是是a a3 3的差倒数依此类推，那么的差倒数依此类推，那么 a a1 1+ +a a2 2+ + +a a10
7、0 100的值是的值是 A A- -7.57.5 B B7.57.5 C C5.55.5 D D- -5.55.5 【答案】【答案】A A 7 7（20192019 株洲）从株洲）从- -1 1，1 1，2 2，4 4 四个数中任取两个不同的四个数中任取两个不同的数（记作数（记作a ak k，b bk k）构成一个数组）构成一个数组M MK K=a ak k，b bk k （其（其 中中k k=1=1，2 2S S，且将，且将 a ak k，b bk k 与与 b bk k，a ak k 视为同一个数组），若满足：对于任意的视为同一个数组），若满足：对于任意的M Mi i=a ai i，b b
8、i i 和和M Mj j=a aj j，b bj j （i ij j，1 1i iS S，1 1j jS S）都有）都有a ai i+ +b bi ia aj j+ +b bj j，则，则S S的最大值的最大值 A A1010 B B6 6 C C5 5 D D4 4 【答案】【答案】C C 8 8（20192019 十堰）一列数按某规律排列如下：十堰）一列数按某规律排列如下： 1 12 1 2 3 1234 1 2 1 3 2 1 432 1 ， ， ， ， ， ， ， ， ，若第，若第n n个数为个数为 5 7 ，则，则 n n= = A A5050 B B6060 C C6262 D D
9、7171 【答案】【答案】B B 9 9（20192019 常德）观察下列等式：常德）观察下列等式：7 7 0 0=1 =1，7 7 1 1=7 =7，7 7 2 2=49 =49，7 7 3 3=343 =343，7 7 4 4=2401 =2401，7 7 5 5=16807 =16807，根据其中的规律可，根据其中的规律可 得得 7 7 0 0+7 +7 1 1+7 +7 2 2+ + +7+7 20192019的结果的个位数字是 的结果的个位数字是 A A0 0 B B1 1 C C7 7 D D8 8 【答案】【答案】A A 1 10 0（20192019 贺州）计算贺州）计算 11
10、111 1 33 55 77 937 39 的结果是的结果是 A A 19 37 B B 19 39 C C 37 39 D D 38 39 【答案】【答案】B B 二、填空题二、填空题 1 11 1（20192019 天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 20192019 个个 图形中共有图形中共有_个个 【答案】【答案】60586058 1212（20192019 衢州）如图，由两个长为衢州）如图，由两个长为 2 2，宽为，宽为 1 1 的长方形组成“的长方形组成“7 7”字图形
11、”字图形 （1 1）将一个“）将一个“7 7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7 7”字图形”字图形ABCDEFABCDEF，其中顶点，其中顶点A A位于位于x x 轴上，顶点轴上，顶点B B，D D位于位于y y轴上，轴上，O O为坐标原点，则为坐标原点，则 OB OA 的值为的值为_ （2 2）在（）在（1 1）的基础上，继续摆放第二个“）的基础上，继续摆放第二个“7 7”字图形得顶点”字图形得顶点F F1 1，摆放第三个“，摆放第三个“7 7”字图形得顶点”字图形得顶点F F2 2，依此，依此 类推，摆放第类推，摆放第n n个“个“7
12、 7”字图形得顶点”字图形得顶点F Fn n- -1 1，则顶点，则顶点F F2019 2019的坐标为的坐标为_ 【答案】（【答案】（1 1） 1 2 ；（；（2 2） 6062 5 405 5 5 ()， 1313（20192019 连云港）如图，将一等边三角形的三条边各连云港）如图，将一等边三角形的三条边各 8 8 等分，按顺等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等时针方向（图中箭头方向）标注各等 分点的序号分点的序号 0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8，将不同边上的序号和为，将不同边上的序号和为 8 8 的两点依次连接起来，这样就建立了的两点依次连
13、接起来，这样就建立了 “三角形”坐标系在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角“三角形”坐标系在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角 形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A A的坐标可表示为（的坐标可表示为（1 1， 2 2，5 5），点），点B B的坐标可表示为（的坐标可表示为（4 4，1 1，3 3），按此方法，则点），按此方法，则点C C的坐标可表示为的坐标可表示为_ 【答案】（【答案】（2 2，4 4，2 2）
14、 1414（20192019 广安）如图，在平面直角坐标系中，点广安）如图，在平面直角坐标系中，点A A1 1的坐标为（的坐标为（1 1，0 0），以），以OAOA1 1为直角边作为直角边作 RtRtOAOA1 1A A2 2，并，并 使使A A1 1OAOA2 2=60=60，再以，再以OAOA2 2为直角边作为直角边作 RtRtOAOA2 2A A3 3，并使，并使A A2 2OAOA3 3=60=60，再以，再以OAOA3 3为直角边作为直角边作 RtRtOAOA3 3A A4 4，并使，并使 A A3 3OAOA4 4=60=60按此规律进行下去，则点按此规律进行下去，则点A A201
15、9 2019的坐标为的坐标为_ 【答案】（【答案】（- -2 2 20172017， ，2 2 20172017 3） ） 1515（20192019 怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的 总面积是总面积是_ 【答案】【答案】n n- -1 1 1616（20192019 滨州）观察下列一组数：滨州）观察下列一组数： a a1 1= = 1 3 ，a a2 2= = 3 5 ，a a3 3= = 6 9 ，a a4 4= = 10 17 ，a a5 5= = 15 3
16、3 ， 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n n个数个数a an n=_=_（用含（用含n n的式子表示）的式子表示） 【答案】【答案】 1 (1) 22n n n 1 17 7（20192019 台州）砸“金蛋”游戏：把台州）砸“金蛋”游戏：把 210210 个“金蛋”连续编号为个“金蛋”连续编号为 1 1，2 2，3 3，210210，接着把编号是，接着把编号是 3 3 的的 整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为 1 1，2 2，3 3，接着把编号是
17、，接着把编号是 3 3 的整的整 数倍的“金蛋”全部砸碎按照这样的方法操作，直到无编号是数倍的“金蛋”全部砸碎按照这样的方法操作，直到无编号是 3 3 的整数倍的“金蛋”为止操作过程的整数倍的“金蛋”为止操作过程 中砸碎编号是“中砸碎编号是“6666”的“金蛋”共”的“金蛋”共_个个 【答案】【答案】3 3 1818（20192019 黄石）将被黄石）将被 3 3 整除余数为整除余数为 1 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第 2020 行第行第 1919 个个 数是数是_ 【答案】【答案】625625 1 19 9（2 201901
18、9 安顺）如图，将从安顺）如图，将从 1 1 开始的自然数按下规律排列，例如位于第开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3 3 行、第行、第 4 4 列的数是列的数是 1212，则位于，则位于 第第 4545 行、第行、第 7 7 列的数是列的数是_ 【答案】【答案】20192019 2020（20192019 咸宁）有一列数，按一定规律排列成咸宁）有一列数，按一定规律排列成 1 1，- -2 2，4 4，- -8 8，1616，- -3232，其中某三个相邻数的积是，其中某三个相邻数的积是 4 4 1212，则这三个数的和是 ，则这三个数的和是_ 【答案】【答案】- -384384 2121
19、（20192019 海南）有海南）有 20192019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如 果第一个数是果第一个数是 0 0，第二个数是，第二个数是 1 1，那么前，那么前 6 6 个数的和是个数的和是_，这，这 20192019 个数的和是个数的和是_ 【答案】【答案】0 0；2 2 2222（20192019 武威）已知一列数武威）已知一列数a a，b b，a a+ +b b，a a+2+2b b，2 2a a+3+3b b，3 3a a+5+5b b，按照这个规律写下去，第，按照这个规律写下
20、去，第 9 9 个数是个数是 _ 【答案】【答案】1313a a+21+21b b 2323（20192019 甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 1 幅图中有幅图中有 1 1 个菱形，第个菱形，第 2 2 幅图中有幅图中有 3 3 个个 菱形，第菱形，第 3 3 幅图中有幅图中有 5 5 个菱形，如果第个菱形，如果第n n幅图中有幅图中有 20192019 个菱形，则个菱形，则n n=_=_ 【答案】【答案】10101010 2424a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a4 4，a a5 5，a a6 6，是一列数，已知
21、第，是一列数，已知第 1 1 个数个数a a1 1=4=4，第，第 5 5 个数个数a a5 5=5=5，且任意三个相邻的数之和，且任意三个相邻的数之和 为为 1515，则第，则第 20192019 个数个数a a2019 2019的值是的值是_ 【答案】【答案】6 6 三、解答题三、解答题 2 25 5（20192019 自贡）阅读下列材料：小明为了计算自贡）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+21+2+2 2 2+ + +2+2 20172017+2 +2 20182018的值，采用以下方法： 的值，采用以下方法： 设设S S=1+2+2=1+2+2 2 2+ + +2+2 2017201
22、7+2 +2 20182018， ， 则则 2 2S S=2+2=2+2 2 2+ + +2+2 20182018+2 +2 20192019， ， - -得得 2 2S S- -S S= =S S=2=2 20192019- -1 1， ， S S=1+2+2=1+2+2 2 2+ + +2+2 20172017+2 +2 20182018=2 =2 20192019- -1 1 请仿照小明的方法解决以下问题：请仿照小明的方法解决以下问题： （1 1）1+2+21+2+2 2 2+ + +2+2 9 9=_ =_； （2 2）3+33+3 2 2+ + +3+3 1010=_ =_； （3
23、3）求）求 1+1+a a+ +a a 2 2+ + + +a a n n的和（ 的和（a a00，n n是正整数，请写出计算过程）是正整数，请写出计算过程） 解：解：（1 1）设）设S S=1+2+2=1+2+2 2 2+ + +2+2 9 9， ， 则则 2 2S S=2+2=2+2 2 2+ + +2+2 1010， ， - -得得 2 2S S- -S S= =S S=2=2 1010- -1 1， ， S S=1+2+2=1+2+2 2 2+ + +2+2 9 9=2 =2 1010- -1 1，故答案为： ，故答案为：2 2 1010- -1 1 （2 2）设）设S S=3+3+3
24、=3+3+3 2 2+3 +3 3 3+3 +3 4 4+ + +3+3 1010， ， 则则 3 3S S=3=3 2 2+3 +3 3 3+3 +3 4 4+3 +3 5 5+ + +3+3 1111， ， - -得得 2 2S S=3=3 1111- -1 1， ， 所以所以S S= = 11 31 2 ， 即即 3+33+3 2 2+3 +3 3 3+3 +3 4 4+ + +3+3 1010= = 11 31 2 ， 故答案为：故答案为： 11 31 2 （3 3）设）设S S=1+=1+a a+ +a a 2 2+ +a a3 3+ +a a4 4+ + + +a a n n， ，
25、 则则aSaS= =a a+ +a a 2 2+ +a a3 3+ +a a4 4+ + + +a a n n+ +a an n+1+1， ， - -得：（得：（a a- -1 1）S S= =a a n n+1+1- -1 1， ， a a=1=1 时，不能直接除以时，不能直接除以a a- -1 1，此时原式等于，此时原式等于n n+1+1， a a不等于不等于 1 1 时，时，a a- -1 1 才能做分母，所以才能做分母，所以S S= = 1 1 1 n a a ， 即即 1+1+a a+ +a a 2 2+ +a a3 3+ +a a4 4+ + + +a a n n= = 1 1 1
26、 n a a 2 26 6（20192019 安徽）观察以下等式：安徽）观察以下等式： 第第 1 1 个等式：个等式： 211 111 ， 第第 2 2 个等式：个等式： 211 326 ， 第第 3 3 个等式：个等式： 211 5315 ， 第第 4 4 个等式：个等式： 211 7428 ， 第第 5 5 个等式：个等式： 211 9545 ， 按照以上规律，解决下列问题：按照以上规律，解决下列问题： （1 1）写出第）写出第 6 6 个等式：个等式：_； （2 2）写出你猜想的）写出你猜想的第第n n个等式：个等式：_（用含（用含n n的等式表示），并证明的等式表示），并证明 解：解：
27、（1 1）第）第 6 6 个等式为：个等式为： 211 11666 ，故答案为：，故答案为： 211 11666 （2 2） 211 21(21)nnnn ， 证明：右边证明：右边= = 1121 12 (21)(21)21 n nnnnnn = =左边左边 等式成立，等式成立， 故答案为：故答案为： 211 21(21)nnnn 2 27 7（20192019 张家界）阅读下面的材料：张家界）阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一 项
28、，记为项，记为a a1 1，排在第二位的数称为第二项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为a a2 2，依此类推，排在第，依此类推，排在第n n位的数称为第位的数称为第n n项，记为项，记为a an n所所 以，数列的一般形式可以写成：以，数列的一般形式可以写成：a a1 1，a a2 2，a a3 3，a an n， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d d表示如
29、：数列表示如：数列 1 1，3 3，5 5，7 7，为等差数列，其中，为等差数列，其中a a1 1=1=1，a a2 2=3=3， 公差为公差为d d=2=2 根据以上材料，解答下列问题：根据以上材料，解答下列问题： （1 1）等差数列）等差数列 5 5，1010，1515，的公差，的公差d d为为 5 5，第，第 5 5 项是项是_ _ （2 2） 如果一个数列） 如果一个数列a a1 1，a a2 2，a a3 3， ， ，a an n， ， 是等差数列， 且公差为， 是等差数列， 且公差为d d， 那么根据定义可得到：， 那么根据定义可得到：a a2 2- -a a1 1= =d d，a
30、 a3 3- -a a2 2= =d d， a a4 4- -a a3 3= =d d，a an n- -a an n- -1 1= =d d， 所以所以a a2 2= =a a1 1+ +d d， a a3 3= =a a2 2+ +d d= =（a a1 1+ +d d）+ +d d= =a a1 1+2+2d d， a a4 4= =a a3 3+ +d d= =（a a1 1+2+2d d）+ +d d= =a a1 1+3+3d d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a an n= =a a1 1+_+_d d （3 3）- -404140
31、41 是不是等差数列是不是等差数列- -5 5，- -7 7，- -9 9的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？ 解：解：（1 1）根据题意得，）根据题意得，d d=10=10- -5=55=5 a a3 3=15=15，a a4 4= =a a3 3+ +d d=15+5=20=15+5=20，a a5 5= =a a4 4+ +d d=20+5=25=20+5=25，故答案为：，故答案为：5 5；2525 （2 2）a a2 2= =a a1 1+ +d d，a a3 3= =a a2 2+ +d d= =（a a1 1+ +d d）+ +d d= =a a1 1+2+2d d，
32、 a a4 4= =a a3 3+ +d d= =（a a1 1+2+2d d）+ +d d= =a a1 1+3+3d d， a an n= =a a1 1+ +（n n- -1 1）d d，故答案为：，故答案为：n n- -1 1 （3 3）根据题意得，）根据题意得， 等差数列等差数列- -5 5，- -7 7，- -9 9的项的通项公式为：的项的通项公式为：a an n= =- -5 5- -2 2（n n- -1 1），）， 则则- -5 5- -2 2（n n- -1 1）= =- -40414041， 解之得：解之得：n n=2019=2019， - -40414041 是等差数列是等差数列- -5 5，- -7 7，- -9 9，的项，它是此数列的第，的项，它是此数列的第 20192019 项项
