1、第二章第二章 几何晶体学基础几何晶体学基础重重 点：点：2-2 倒易点阵倒易点阵 等同点概念、等同晶面族、倒易点阵2-1 晶体结构与空间点阵晶体结构与空间点阵2-1 2-1 晶体结构与空间点阵晶体结构与空间点阵一几个概念一几个概念二二.空间点阵类型空间点阵类型 晶晶 体：体：是研究的对象（试样）。它是原子、分子或原子集团在三维空间内呈周期规则排列而构成的固体。其周期为埃的数量级，如此小的距离，有关结构分析只能用X-ray，电子射线等进行。晶 胞:是构成晶体的基本单位，晶体的实际构造可以想象成无数晶胞（形状、大小、取向相同）在空间堆砌而成，也可视为一个晶胞在空间三度平移的结果。等同点：空间点阵：
2、空间格子：即物质环境、几何环境相同的点阵点由同类等同点构成的 图形，它描述了晶体 结构的周期性特征。连接等同点得出的三维格子。如Na+Cl-等同点与结点 结构基元：晶体结构原子、分子或其集团空间点阵结构基元研究晶体结构，其根本就是研究一个阵胞的特点（大小、形状、原子位置、数目、类型）空间点阵的几何特征，用阵胞表示空间点阵种类。X-ray结构分析结构分析：测出空间点阵类型分析结构基元特征决定原子坐标二二.空间点阵类型空间点阵类型 5.几种典型的金属晶体结构6其它概念1选取阵胞的原则3.点阵类型4.十四种布拉菲点阵2七大晶系）能同时反映出空间点阵的周期性和对称性；）在满足）的条件下，有尽可能多的直
3、角；）在满足）和）的条件下，体积最小。选取阵胞的原则选取阵胞的原则 晶轴 原点：晶轴间夹角：单位阵胞矢量：点阵参数：晶胞参数：阵胞体积：以任意顶点为以任意顶点为坐标原点坐标原点，以与原点相交的三个棱边为，以与原点相交的三个棱边为坐标轴坐标轴，分别用点阵周期（，分别用点阵周期（a、b、c）为）为度量单位度量单位xyz阵点的坐标表示阵点的坐标表示2 2七大晶系七大晶系 晶 系点 阵 常 数点阵符号 立 方 (Cubi)a a=b b=c c a a=b b=g=90g=90P I F 正 方 Tetragonala a=b bc c a a=b b=g=90g=90P I 斜 方Orthorhom
4、bic a ab bc c a a=b b=g=90g=90P I F C六 方HexagonaA=bA=bc c a=g=90 a=g=90 b=120b=120Pa a=b b=c c a a=b b=g g9090R 单 斜Monoclinica ab bc c a=g=90 a=g=90 b bP C 三 斜Triclinica ab bc c a ab bg g9090P 菱 方rhombohedral3.点阵类型四种点阵类u简单u体心u面心u底心简单点阵的阵点坐标为简单点阵的阵点坐标为000底心点阵，底心点阵，C 除八个顶点上除八个顶点上有阵点外，两个相有阵点外，两个相对的面心上有
5、阵点，对的面心上有阵点，面心上的阵点为两面心上的阵点为两个相邻的平行六面个相邻的平行六面体所共有。因此，体所共有。因此，每个阵胞占有两个每个阵胞占有两个阵点。阵点。底心点阵坐标为底心点阵坐标为000，1/2 1/2 0体心点阵，体心点阵，I 除除8个顶点外，个顶点外，体心上还有一个体心上还有一个阵点，因此，每阵点，因此，每个阵胞含有两个个阵胞含有两个阵点阵点阵点坐标阵点坐标000，1/2 1/2 1/2面心点阵。面心点阵。F 除除8个顶点外，个顶点外，每个面心上有每个面心上有一个阵点，每一个阵点，每个阵胞上有个阵胞上有4个阵点个阵点坐标分别为坐标分别为000，1/2 1/2 0，1/2 0 1
6、/2，0 1/2 1/2十四种布拉菲点阵典型的金属晶体结构典型的金属晶体结构 简单点阵：每个阵胞只在顶点上有阵点，每顶角的结点由8个阵胞所共有。复杂点阵：每个阵胞除顶点外，体心或面心也可能分布阵点。有两个或两个以上的结点。简单的结构基元：一个阵点含1个原子。复杂的结构基元：一个阵点含2个或2个以上原子。晶向和晶面指数晶向和晶面指数等同晶面族 空间位向性质完全相同的晶面属于等同晶面族，即面间距和晶面上结点分布完全相同。用hkl表示。100等同晶面族如图所示。(100)(010)(001)(00 )1(0 0)1(00)1 等同晶向 即有对称关联的晶向。等同晶向用表示。2-2 2-2 倒易点阵倒易
7、点阵 倒易点阵倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。四.倒易矢量的性质1 定义式 二.倒易点阵的几个概念三.倒易点阵与正点阵的倒易关系五倒易点阵之建立六倒易点阵概念应用一定义 且 和 分别是A A与A A*的基本矢量。1*=ccbbaa如果：abc、定义一个A A阵胞（点阵）abc、定义一个A A*阵胞（点阵）当满足下列关系时，abc、abc、A是A*的倒易点阵，或A*是A的倒易点阵。0=bcaccbabcaba式规定了倒易基矢大小：cos1aa=cos1bb=csocc1=式规定了倒易基矢方向：a()bcbacc ()()ab将式表示为
8、一个式子，可得矢量方程表达式：cbacbVcba=acbacVacb=bacbaVbac=3二.倒易点阵的几个概念倒易点阵的基矢量 abc、倒易阵胞定义一个平移倒易点阵顶角：倒易阵点abcO*每一倒易阵点：代表一族平行、等间距的晶面，其符号（指数）由坐标决定（无分数）每一面：称倒易平面（或倒易截面）含O*之一截面：代表晶体之一晶带。由O*出发连接任一倒易阵点的矢量称倒易矢量，以 表示。r三倒易点阵与正点阵的倒易关系倒易点阵的倒易是正点阵。1正点阵与倒易点阵在性质上互为倒易。2是以两个不同的方式描写晶体骨架正点阵A：直接描绘原子排列周期性、对称性。倒点阵A*:直接描绘晶体衍射图象,也即直接描绘晶
9、体结构.为什么要引入倒易点阵？为什么要引入倒易点阵？例：G.P区形状？图为X-ray劳埃象其斑点为片状，表明倒易点阵由片排成，由此判断G.P区为杆状（P72）电子衍射 电子谱 倒 易 平 面的放大像 倒易点阵 晶体点阵X-ray衍射环或电子衍射环 衍射环大小，表明倒易矢量大小，可算得晶面间距d（后面即推证此转换）上述例子表明:由衍射花样，即倒易点阵，可分析晶体点阵、参数及结构特点。许多情况下，须作出倒易图像，它的基本依据是定义式。衍射花样倒易点阵直接对应 衍射图象利用倒易点阵研究晶体结构的原理是：倒易点阵特征晶体结构（骨架）导出导出四倒易矢量及性质 倒易矢量的定义：从倒易点阵原点向任一倒易阵点
10、所连接的矢量叫倒易矢量，表示为：倒易矢量的性质r*=Ha*+Kb*+L c*abcO*r*两个基本性质：1)r*垂直于正点阵中的HKL晶面HKLr（HKL）2）r*长度等于HKL晶面的晶面间距dHKL的倒数HKLr|HKLd1=表方向表大小证明证明：回顾（HKL）的确定方法充分利用已知条件式.关于方向：.关于长度：HKLr（HKL）HKLrHKLd1=如（HKL）面 的指数标定 其与a、b、c轴的截距为:LcKbHa以a，b，c为单位 LKH111取倒数，通分（HKL）.关于方向：HKLr即 与直线的点积是否=0 是否与（HKL）内两直线垂直HKLroABC1/H1/L1/KNcabn如图,A
11、BC为任一(HKL)面,其面间距为d=ON见图，在矢量OAB中，AB 由式：=OB-OA=KbHa-在矢量OBC中,BC=OCOB-=KbLc-HKLr*a*b+L=H+K*c 有：HKLrAB(KbHa-)=(H*a+K*b+L*c)=0同理:HKLr BC=0即:HKLrAB=0=(间夹角)=90HKLr和ABHKLrcosAB=(HKLr BC=HKLrBCcos=0BCHKLr和间夹角)=90HKLrAB，HKLrBC HKLr（HKL）.关于长度dHKL=ON=HKLHKLrrcLbKaHHanOAAONnOA1cos=由倒易矢量上述两个性质可知：如果正点阵与倒易点阵有共同的坐标原点
12、，则：A二维平面 A*的一阵点或一矢量 倒易矢量可表示晶体点阵中的晶面取向和晶面间距两个参量。五倒易点阵之建立：五倒易点阵之建立：（根据正空间点阵参数a、b、c、）2已知a,b,c,求倒易点阵分布、指标（在某一截面上）1已知（HKL）晶面方位及面间距dHKL，求r*HKL及倒易阵点HKL 晶面与倒易结点的关系 关于干涉指数与晶面指数干涉指数晶面与晶轴的截距倒数通分取分子干涉指数（可能有公约数）取分子化简晶面指数（无公约数）如已知立方晶系晶面间距 d=d112d224oo*000112224当指数HKL增大，d减小，增大222LKHaHKLr 所以，(nH,nK,nL)与（HKL），n为整数 则
13、，两者平行，即 与 方向一致 nrrdn=nd=n*nrr结结 论论：倒易点阵中每一个倒易点都与正点阵中的点阵面（衍射面）相对应，并代表后者的取向（即倒易矢量的方向是点阵面的法线方向）和面间距（倒易矢量的模等于点阵面的面间距的倒数）例1：立方晶系物质，a=3.6，a*b.求（，）平面上倒易阵点分布及指标。.试证明其中110可描写（110）特征 求 ，方位 a*b求 ，大小,平移 a*b标定指数ab0a*bO*令ab0a*bO*1/aab0a*bO*100010020030200300110210310120220320130230330由 能表明（110）面的方向由|可确定（110）的面间距
14、110r110r例2.一单斜晶系物质：a=10.5 ,b=15.2 ,c=6.5 ,=15143,作出(，)平面。AAA，a*cac0*caO*令c*a*100200300001002003101201六倒易点阵概念应用六倒易点阵概念应用3 3夹角公式推导夹角公式推导1证明晶带定律证明晶带定律2 2D D公式推导公式推导 什么是晶带 晶带定律 晶带定律的应用晶带的定义 在晶体结构或空间点阵中，与某一取向平行的所有晶面均属于同一个晶带晶带。同一晶带中所有晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那条直线称为晶带轴晶带轴。晶带轴的晶向指数即为该晶带的指数晶带的指数。晶带定律根据晶带的定义，同一晶带中所
15、有晶面的法线都与晶带轴垂直。可以将晶带轴用正点阵矢量r=ua+vb+wc表达，晶面法向用倒易矢量r*=Ha*+Kb*+Lc*表达。由于r*与r垂直，所以：0)()(=wcvbuaLcKbHarr由此可得：Hu+Kv+Lw=0这也就是说，凡是属于 uvw晶带的晶面，它们的晶面指数（HKL）都必须符合上式的条件。我们把这个关系式叫作晶带定律晶带定律。在倒易点阵中，同晶带的所有晶面的倒易矢量都位于一个过原点的与晶带轴垂直的倒易阵点平面上。每个过原点的倒易阵点平面上的倒易阵点都属于同一晶带。Hu+Kv+Lw=N 广义的晶带定律（不过原点的倒易阵点平面）过原点的倒易阵点平面表示为(uvw)*0 如(01
16、0)*0，即（a*，c*）面 不过原点的倒易阵点平面表示为(uvw)*N晶带定律的应用 在实际晶体中，立方晶系最为普遍，因此晶带定理有非常广泛的应用。1)可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；2)可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行于该晶面）；3)若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；4)若已知两个晶带面为（h1 k1 l1)和(h2 k2 l2),则可用晶带定律求出晶带轴；5)已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；6)已知一个晶面及其面上的任一晶向，可求出在该面上与该晶向垂直的另一晶向；7)已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出过该晶向且垂直于该晶面的另一晶面。小小
17、 结结：1.倒易点阵由正点阵基矢a、b、c定义。2.作由a*、b*、c*构成的平面时，先定方位，再计算矢量长，最后定标。3.正、倒空间对应关系：例：一多晶体，211之d=2.5，求211倒易图象HKLr0uvw倒VHKLr|=正 空 间倒易点阵空间（HKL）晶面族或HKL阵点dHKL1/dHKLHKL等同晶面族HKL倒易球面半径=1/dHKLuvw晶带V阵胞=1/V阵胞作作 业业 1.石 英 为 六 方 晶 系，a=b=4.9 c =90 =120 求（、）平面上倒易阵点分布及其坐标。证明（、）上倒易阵点110可以描述（110）面族的基本特征（，=1/d）2正交晶系：a=2 ,b=2.5 ,c=2.8 ，作（，）面倒易阵点分布及其指标 A*a*b*a*br*a*cAAA
