1、4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论 将小球一个一个从书包中抓出来，每次抓出什么将小球一个一个从书包中抓出来，每次抓出什么颜色的球是不可预测的。（单个事件无规律可言）颜色的球是不可预测的。（单个事件无规律可言）4抓的次数多了，就看出规律来了。例：抓了三抓的次数多了，就看出规律来了。例：抓了三万次，万次，：10100个，个，9900个，个，10000个个统计统计一下结果，发现：一下结果，发现：统计规律统计规律2.2
2、.掷骰子掷骰子掷大量次数，每点出现次数约掷大量次数，每点出现次数约1/6，平均点数为，平均点数为3.53.5。4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论4 2.“几率几率”的概念：的概念：例例1中各种颜色的球抓出中各种颜色的球抓出 来来的机会的机会 是是 一样的，都是一万个左右（机会均等）一样的，都是一万个左右（机会均等）。3.等几率原理：等几率原理：是一个统计概念，是某个事是一个统计概念，是某个事件出现的可能件出现的可能 性的量度。性的量度。1.统计规律、统计方法统计规律、统计方法 大量事件遵循的规律叫大量事件遵循的规律叫统
3、计规律统计规律。如例。如例1 这种方法，叫统计方法。这种方法，叫统计方法。4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论 个别分子的运动是杂乱无章的，但大量分子运动的集体个别分子的运动是杂乱无章的，但大量分子运动的集体表现存在着一定的统计规律。表现存在着一定的统计规律。二分子热运动的统计规律二分子热运动的统计规律1.1.伽尔顿板实验伽尔顿板实验 每个小球每个小球的运动都严格遵循力学的运动都严格遵循力学定律定律落入哪个槽是偶然的；落入哪个槽是偶然的；大量小球按狭槽分布呈现规律性。大量小球按狭槽分布呈现规律性。例：例：粒子在各个槽中的
4、分布是一定的粒子在各个槽中的分布是一定的各个槽平均粒子数是一定的各个槽平均粒子数是一定的4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论伽尔顿板实验伽尔顿板实验表明表明单个小球下落的位置是单个小球下落的位置是不确定的不确定的,但是它落在中但是它落在中间狭槽的可能性要大一间狭槽的可能性要大一些，即小球落在中间的些，即小球落在中间的概率较大概率较大4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论以伽尔顿板实验为例以伽尔顿板实验为例OxNi xxx X槽内单位宽度的小球数槽内单
5、位宽度的小球数狭槽位置狭槽位置统计分布统计分布图图4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论一、一、气体分子的速率分布曲线气体分子的速率分布曲线麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布平衡态下的气体系统中以平衡态下的气体系统中以分子速率分子速率为随机变量的气为随机变量的气体分子速度分布函数。体分子速度分布函数。单位速率区间内的分子单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比 速率速率vNNi vvv vONNi 表示速率在表示速率在v v+v区间内的区间内的分子数占总分子数的百分比分子数占总分子数的百分比麦克斯韦分子速
6、率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论 v0，取，取dv为分子速率区间元，相应的分子数为为分子速率区间元，相应的分子数为dNNdvdNvNNvfv 0lim)(令分子速率分布函数分子速率分布函数vv v+dvv1v2)(vfO21()vvNf v dvN分子速率出现在分子速率出现在v1v2区间内的区间内的分子数与总分子数的百分比分子数与总分子数的百分比dNN面积面积=速率出现在速率出现在vv+dv区间内的分子数占区间内的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比气体分子的气体分子的速率分布曲
7、线速率分布曲线4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论1.统计规律及其特点统计规律及其特点（1）统计规律是对统计规律是对大量偶然事件整体大量偶然事件整体起作用的规律。起作用的规律。（2）统计规律统计规律永远永远伴随着伴随着涨落涨落现象。现象。4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论统计物理关心两件事：统计物理关心两件事：1.分布分布2.平均值平均值4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论
8、实验装置实验装置一一 测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验llvv2lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭缝狭缝接抽气泵接抽气泵4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论一气体分子速率分布一气体分子速率分布 分立：分立：连续：连续：:()iiiiNvNf vN()iiNf vN分布函数分布函数:()dNvvdv dNf v dvN()dNf vNdv分布函数分布函数O)(ivfiv1v2v3v4v5vO)(ivfiv1v2v3v4v5vO)(vfvvdvvO)(vfvvdvv4.3 4.3 气体分子速率分布和能量
9、统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论分子速率分布图分子速率分布图N 为速率在为速率在 区间的区间的分子数分子数.vvvN：分子总数分子总数)/(vNNovvvvS表示速率在表示速率在 区间的区间的分子数占总数的分子数占总数的百分比百分比.NNSvvv比值与速度的比值与速度的大小大小和速度的和速度的范围范围有关有关4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论v)(vfod()ddNf vvSNvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数 表示速率在表示速率在 区间的分子
10、数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比.vvvd1d)(d00vvfNNN 归一归一化条件化条件vvv dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近，单单位速率区间位速率区间 的分子数占总数的分子数占总数的的百分比百分比.v物理意义物理意义T4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvvvv d)(dNfN 速率位于速率位于 内分子内分子数数vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数21vv vvvvvv
11、d)()(2121fNNS速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比21vv 4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论vvvde)2(4d22232kTmkTmNN22232e)2(4)(vvvkTmkTmf麦氏分布函数麦氏分布函数二二 麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律 反映理想气体在热动反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分分子数占总分子数的百分比的规律比的规律.vvNddNf)(v)(vfo4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计
12、规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论三三 三种统计速率三种统计速率pv1）最概然速率最概然速率0d)(dpvvvvfmkTmkT41.12pvMRT41.1pvkNRmNMAA,v)(vfopvmaxf根据分布函数求得根据分布函数求得 气体在一定温度下分布在最概气体在一定温度下分布在最概然速率然速率 附近单位速率间隔内的附近单位速率间隔内的相对分子数最多相对分子数最多.pv物理意义物理意义4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论NNNNNnniidddd2211vvvvv2）平均速率平均速率v
13、NNfNNN00d)(dvvvvvmkTf8d)(0vvvvMRTmkT60.160.1vv)(vfo4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论3）方均根速率方均根速率2vmkT32vMRTmkT332rmsvvv)(vfoNNfNNN02022d)(dvvvvv2pvvvMRTmkT60.160.1vMRTmkT22pv4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论mkT2pvmkT8vmkT32v 同一温度下不同同一温度下不同气体的速率分布气体的速率分布2H2
14、O0pvpHvv)(vfo N2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论讨论讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率
15、大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论 例例 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均时，氢气和氧气分子的方均根速率根速率 .rmsvC271Hmolkg002.0M1Omolkg032.0M11molKJ31.8RK300TMRT3rmsv13rmssm1093.1v氢气分子氢气分子1rmssm483v氧气分子氧气分子4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论vvvvpd)(Nf1）pd)(
16、212vvvv Nfm2）例例 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1）速率在速率在 间的分子数；间的分子数；2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和.vv p)(vfNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数vvvd4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论 例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从从图上图上数据求出氢气和氧气的最可几速率数据求出氢
17、气和氧气的最可几速率.vv)(fmkT2pv)O()H(22mm)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pmmvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000o4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论由麦氏分布由麦氏分布kTEkTmvkeevf 2/2)(玻耳兹曼进行了推广玻耳兹曼进行了推广:在温度为在温度为T的平衡态下的平衡态下,任何系统的微观粒子按任何系统的微观粒子按状态状态(速速率率,坐标坐标)的分布与粒子的能量的分布与粒子的能量E E有关有关.E=Ek+Ep即
18、在位置在区间即在位置在区间:x x+dx，y y+dy，z z+dz速率在区间速率在区间:vx vx+dvx，vy vy+dvy ，vz vz+dvz /3/20()(,)()d d d2kTxxxpkEEdN r vnev v v dxdydzkT玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论粒子数目为粒子数目为:玻氏分布玻氏分布(对坐标积分对坐标积分就得麦克斯韦速度分布率就得麦克斯韦速度分布率)二二.粒子数密度分布粒子数密度分布若上式若上式对速度积分对速度积分,则在体积元则在体积元dV中的粒子数为中的粒
19、子数为:dxdydzedvdvdveCNdkTEzyxkTEpk dxdydzeCkTEp zyxvvvedNzyxkTEEpkddddddC 4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论单位体积内的粒子数为单位体积内的粒子数为kTEkTEppeneCdxdydzNdn 0n0是是Ep=0处的粒子数密度处的粒子数密度重力场中重力场中:Ep=mghkTmghenn 0由此可得大气压公式由此可得大气压公式.利用利用 p=nkT p=nkTkTenkTmgh 0kTmghep 0RTghMmolep 0变形为变形为RTghMeppmo
20、l 0取对数取对数ppgMRThmol0ln 上式可算出上式可算出,在常温下在常温下,地表面每升高地表面每升高10米米,大气压约大气压约下降下降133Pa下页下页上页结束结束返回返回4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论一、重力场中粒子按高度的分布一、重力场中粒子按高度的分布麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？
21、问题：问题：非均匀的稳定分布非均匀的稳定分布 平衡态下气体的温度处处相同，平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为气体的压强为 nkTp dpp pS dhdpSnmgdh S dpnmgdhkTdndp 4.3 4.3 气体分子速率分布和能量统计规律气体分子速率分布和能量统计规律第四章第四章 分子分子动理论动理论kTdnnmgdh dnmgdhnkT 00nhndnmgdhnkT0mghkTp nkTnkTe重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布等温气压公式等温气压公式0mghkTp ehon2T1T12TT 高度每升高高度每升高10m，大气压强约降，大气压强约降133 Pa 高度计的原理高度计的原理0mghkTn ne
