1、临沂二中高二数学组临沂二中高二数学组1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()(:)2(xx
2、fxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求极极限限，得得导导函函数数说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的处的 导数导数.3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点
3、P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 11.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.()ln,()nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxx
4、fxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxafxxfx 若则若则若则若则若则若则若则且若则1;x 今后我们可今后我们可以直接使用下以直接使用下面的基本初等面的基本初等函数的求导公函数的求导公式式可以在理解的基础可以在理解的基础上背下来呀！上背下来呀！解：根据基本初等函数导数公式表，有 05.1ln05.1ttp所以，年元/08.005.1ln05.11010p因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.当 时，求 关于 导数可以看成求 与 乘积的导数，下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。50p.05.15ttppt 5tf t
5、tg05.1法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f x g xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数
6、的导数,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xfx g xf x g xg xg xg xcfxcfx从法则从法则2可以得出可以得出 cf xc f xc f xcf x 也就是说常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数也就是说常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即：即：).()()()(xgxfxgxf证明：令证明：令 ).()(xgxfy)()()()(xgxfxxgxxfy()()()()f xxf xg xxg xyxx )()()()(xgxxgxfxxfxxgxxgxxfxxf)()()()(取极限可得：取极限可得
7、：其他两条法则请同学们课下练习证明。例2、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数.323yxx解：因为 332232332yxxxxx所以，函数 的导数是323xxy232xy求下列函数的导数：xy2log1xey22 4532325xxxy xxysin4cos34答：答：11ln 2yx 22xye 431065yxx 43sin4cosyxx解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.1005284xxc210010052841005284xxx2100152841000 xx21005284x (1)因为 ，所以，纯净度为84.5290100528490c90时，
8、费用的瞬时变化率是52.84元/吨.（2）因为 ，所以，纯净度1321981005284982c为98时，费用的瞬时变化率是1321元/吨.例例4:求下列函数的导数求下列函数的导数:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23)1;yxxxyxyxyxx答案答案:;41)1(32xxy ;)1(1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;16)4(23xxxy 例例1:求过曲线求过曲线y=cosx上点上点P()且与过这点的切线垂且与过这点的切线垂 直的直线方程直的直线方程.21,3.23sin|,sin,cos3 xyxyxyx 解解：；的的斜斜率率为为点点且且与与切切线线垂垂
9、直直的的直直线线从从而而过过，处处的的切切线线斜斜率率为为故故曲曲线线在在点点3223)21,3(PP .0233232),3(3221 yxxy即即所所求求的的直直线线方方程程为为注注:满足条件的直线称为曲线在满足条件的直线称为曲线在P点的点的法线法线.例例2:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条问是否存在这两条 曲线的一个公共点曲线的一个公共点,使在这一点处使在这一点处,两条曲线的切线两条曲线的切线 互相垂直互相垂直?并说明理由并说明理由.解解:设存在一个公共点设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件满足题设条件.;cos|,cos)(sin00 xyx
10、xyxx 得得由由;sin|,sin)(cos00 xyxxyxx 得得由由由两条曲线的切线在点由两条曲线的切线在点P互相垂直互相垂直,则则cosx0(-sinx0)=-1,得得sinx0cosx0=1,即即sin2x0=2.这不可能这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点.练习练习1:曲线曲线y=sinx在点在点P()处的切线的斜率为处的切线的斜率为 _.22,4 22一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f（u）和）和u=g（x），如果），如果通过变量通过变量u，y可以表示成可以表示成x的函数，那么称这个函数为的函数，那么称这个函数为函数函数y=f（u）
11、和）和u=g（x）的复合函数，记为）的复合函数，记为)(xgfy 复合函数的导数复合函数的导数：复合函数复合函数 的导数和函数的导数和函数)(xgfy)(ufy)(xgu 的导数间的关系为的导数间的关系为xuxuyyy对对x的导数的导数=y对对u的导数与的导数与u对对x的导数的乘积的导数的乘积例3、求下列函数的导数20.0511.(23);(2).;(3).sin().(xyxyeyx（）其中，均为常数）.解：12823221xxy 105.0105.005.005.02xxeey xxycoscos31、（2009年海南（宁夏）（文）13）曲线 在点（0，1）处的切线方程为 .12 xxey
12、x2、（2009年福建（理）14）若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是 .xaxxfln5ya其中 则导数 的取值范围是（）3、（2009年安徽（文）9）设函数,tan2cos33sin23xxxf,125,0 1f.2,3B.3,2C.2,2D.2,2Ayx,0D再见 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切
13、石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利
14、阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格
15、 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或
16、许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快
17、乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二
18、点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是
19、螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔
20、 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
