1、1第二节二、线性相关与线性无关的概念二、线性相关与线性无关的概念向量间的 线性关系三、向量组线性相关性的判别三、向量组线性相关性的判别一、一、线性组合与线性表示线性组合与线性表示 第三章 2一、线性一、线性组合与线性表示组合与线性表示12,mk kk为组合系数组合系数.称 设有n维向量组.,21m如果存在一组数12,mk kk则称1122mmkkk是向量组的线性组合线性组合;,21m定义定义1m,2线性表示线性表示。,1称可由1122mmkkk若向量可以由向量组12,m 的线性即存在一组数12,mk kk使得组合来表示，3,1211,1322观察三个向量之间的关系，有2132,3143设由三维
2、向量我们称312是和的线性组合线性组合。组成的向量组，也称312可由和线性表示线性表示。例例1.411,0 21,1 32观察三个向量之间的关系，有2125152210,0i 观察四个向量之间的关系，有kji32 例例.32101,0j 00,1k 例例.5Tnaaa,21任一n 维向量都可由n维单位向量组,001ne 1100e ,201 ,0e ,+线性表示，2a2e即1a1e+nanenaaa21na00001a002a1100a 201 0a 001na 610,0i 01,0j 00.1k 而三维基本单位向量中任何一个向量，都不能由其他两个向量线性表示。n维基本单位向量,0011e,
3、0102e.100ne,它们之间彼此是线性无关线性无关(相互独立)的。中任何一个向量，也不能由其他向量线性表示。7设Tnbbb,21Tniiiiaaa,21mi,2,1 mmxxx2211即12nbbb=122222naaxa112111naaxa+12mmmnmaaxa+nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 （1）8Axbnmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 m211122mmxxxb)(21m12mxxxmmxxx2211Axb111212122212nnmm
4、mnaaaaaaaaa12mxxx12nbbb9定理定理1 1 ,21m设是为 n维列向量组，可由mA,21m,21线性表示()R AR AAx有解其中因为mO00021中每个向量都可由向量组本身中每个向量都可由向量组本身m,21(2)(2)向量组向量组miiii00100111线性表示，线性表示，mi,2,1(1)(1)零向量可由任一组向量线性表示。零向量可由任一组向量线性表示。10例例2.已知11021 21201 321502514321,问是否可由线性表示？如能线性表示解解:123,A 40111-50251-202211 321332211xxx设有数就写出表达式.3,21,xxx使
5、11123 112202-15205-11104A123 10020102001-10000 3ARAR有唯一解122321xxx3212212练习练习.已知110122342531409 5441321,问是否可由线性表示？如能线性表示解解:123,A 19524-02-144405131-321332211xxx设有数就写出表达式.123,x,xx,使1314132,rrrr242311,rrrr1,3121rrr19524-02-144405131-321同解方程组为1223231xxxx令kx 3122xk,得kx12k 为任一常数.321122kkk11111101110111051
6、310000000011105131000000001110220114例例3.判断11034是否为向量组11215,22111,的线性组合？解解:设1122xx,对矩阵211115011312421124011001000 123R,122R,线性表示。，不可由2115若若11134线性表示。，由则21211115111312421102011000000221R221R21216,1211,1322观察三个向量之间的关系，有2132,3143设由三维向量又可以写成1232组成的向量组，引例引例17二、线性相关与线性无关的概念二、线性相关与线性无关的概念如果存在一组不全为不全为0 0的数的数
7、设12,m 为m 个n 维向量组，mxxx,21，使mmxxx2211 成立，m,21则称向量组 线性相关线性相关。否则称m,21mxxx,21则对任意不全为0的数mmxxx2211，都有m,21线性无关，021mxxx即当且仅当时，式才成立。线性无线性无。关关而线性相关时，除了组合系数全全等于0使等式 成立外还能找到不全不全为0的数使等式。成立若定义定义118根据向量的线性运算，只能得：30030 101,20 210,10 321000例如例如则123,线性无关。19112,0 212,3 324.0 12320(1)线性相关。321,例例4.已知即1232,0,1.xxx 判别123,是
8、否线性相关。解解:因为当向量组只含一个向量时，为线性无关向量组.当为线性相关向量组;当特别特别20当向量组含两个非零向量时，设12,;Tna aa12,Tnb bb线性相关与对应分量成正比与即与的对应分量成比例.证明证明:21xkx 线性相关，则存在不全为零的数12xlx 或与iikba iilab 或例例5.12,x x使得12xx若10,x 20,x 21112,0 2123 例如例如21,对应分量不成比例，21,线性无关。125,6 26151821,对应分量成比例，21,线性相关。几何上说向量21,共线。22例例6.求证含有零向量的向量组必线性相关,则此向量组必定线性相关。证明证明:设
9、向量组mk,21中，.k取数,01121mkkxxxxx.0kx1122kkmmxxxx必有23mr,21r,21线性相关线性相关.即如果部分组线性相关，则整体组也线性相关。定理定理2.证明证明:r,21线性相关因为则存在一组不全为不全为0 0的数的数12,rx xx使rrxxx2211成立，因此有1122100rrrmxxx其中0,0,21rxxx不全为零。mr,21线性相关。部分相关，整体相关！部分相关，整体相关！2412,r 12,rm 线性无关线性无关.即：如果整体组线性无关，则部分组也线性无关。定理定理3.利用定理2，用反证法。定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间的关系。
10、整体无关，部分无关！整体无关，部分无关！25mi,2,1121,iiiririaaaa12,iiiriaaami,2,1m,21若线性无关，m,21则线性无关。即：原来无关，延长无关！即：原来无关，延长无关！原来相关，缩短相关！原来相关，缩短相关！若线性相关，m ,21则m,21线性相关。已知26证明：证明：假设m,21线性相关，12,mx xx则存在一组不全为00000,1212,12221221,1121111mrrmmmmrrrraaaaxaaaaxaaaax的数使得00021222122121111rmmmmrraaaxaaaxaaax则因此m,21必线性相关。271、用数字表示的向量
11、组的线性相关性的判别、用数字表示的向量组的线性相关性的判别已知11021 21201 3215042514解解:设有数,43,21xxxx使得例例7.判别下列向量组的线性相关性11223344xxxx三、三、向量组线性相关性的判别向量组线性相关性的判别下面分别用数字数字表示的具体向量组的线性相关性和对字母字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。28即11021x 21201x 32150 x420501040 x 0224321xxxx有052431xxx052432xxx04421xxxA40111-50251-202211 A00001-10020102001 得同解方程组0241 xx
12、0242 xx043 xx29得同解方程组412xx422xx43xx 令kx 4（k 为任意实数）,21kx,22kx.3kx 11223344xxxx由得123422此向量组线性相关。A00001-10020102001 方程组有非零解，方程组有非零解，(A)34R(未知数个数未知数个数n),此向量组线性相关。此向量组线性相关。30小结小结首先设有数,21mxxx使得归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。1122()mmxxx用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，第二步将112111naaa122222naaa12mmmnmaaa代入)(得齐次线性方程组。31方程组有非零解非零解
13、，有11 112 2121 122 221 12 2000m mm mnnnm ma xa xa xa xa xa xa xa xa xm,21则称向量组 线性相关线性相关。方程组只有零解零解，m,21则称向量组 线性无关线性无关。下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性的方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法主要方法。第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关：32定理定理4AX有非零解非零解m,21线性相关线性相关 mA 秩秩（无关）（无关）（只有零解只有零解）mA（秩秩此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。此定理是证明向量组线性相关性的基本
14、方法。1122mmxxxAX推论推论2设n 维向量组中含有m个向量,当mn 时，此向量组必定线性相关线性相关。推论推论1当m=n时，即向量个数=分量个数时,线性相关线性相关（线性无关）（线性无关）向量组构成行列式的值为零，即.0A).0(A33判断32111，10222，85203，21714，的线性相关性.例例8.解解:033015406240102128131502722110214A 321 340330154062401021011015403120102128131502722110214A 321 33007700011010210000110001101021线性相关.,4321
15、 34,R Am35例例9.判断下列向量组的线性相关性3021.110152221433解解:321,A203110452321123011001000线性无关.321,3R Am,365243.2130522210534321A52353102305435231240015600110000 34R Am,解解:53334线性相关.1234,372、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别利用相关性的定义和反证法判别。判别方法：1122121200mmmmkkkkkk假设，经过恒等变形（同乘或者重组），则，线性无关。38方程组只有零解，1230,xxx
16、试证向量组整理得即证明证明:例例10.设向量组 线性无关，321,211,322,133321,也线性无关。332211xxx)()()(133322211xxx332221131)()()(xxxxxx 因为向量组 线性无关，所以必有321,031 xx021 xx032 xx从而321,101110011A 1101101012设存在数123,x x x使得线性无关。39例例11.证明证明:1312122331()22xxxxxx112,已知证明321,线性无关，线性相关。11222333112()2xxx设存在数已知只有321,线性无关，321,xxx1102110021A 223331
17、12,2110210120210使得即321,xxx故向量组线性相关。不全为零，112233xxx131223102020 xxxxxx40定理定理5其中至少有一个向量是其余m1个向量的线性组合线性组合。m,21线性相关证明证明:必要性：m,21线性相关，不全为0的数则存在一组mxxx,21使1122mmxxx不妨设0kx，则mkmkkkkkkkkkxxxxxxxxxx-11112211+=kmkk,1121即是的线性组合.41组合，即存在不全为0的数miixxxxx,1121使线性相关.m,21miixxxxx,(,1121+-1)-不全为0，由于则m,21中至少有一个向量是其余向量的线性组
18、合，不妨设i是其余向量的线性mmiiiiixxxxx111-1-22111122-1-111(-1)iiiiimmxxxxx充分性充分性：因42向量可由m,21线性表示，这说明,21m线性相关；而向量组,2e,1ene中任一向量都不能被其他向量线性表示,其线性无关线性无关。一个向量组中有没有某个向量可由其余向量线性表示，这是向量组的一种属性，称为向量组的线性相关性线性相关性。43线性无关，mA,:21,21m线性相关，则可由A线性表示且表法唯一。证明证明:因为,21m线性相关，则存在一组不全为零的数xxxxm,211122mmxxxx使成立。由于线性无关，m,210 x必定，定理定理6mmxx
19、xxxx2211故44121122mmmxxxkkkxxx故表示唯一。mmkkk2211又设是另一种表示形式。两式相减xxkii已知m,21线性无关，0 xxkii),2,1(mi必有mmxxxxxx221145321,已知向量组线性相关，432,线性无关。证明132,可由线性表示；4321,不可由线性表示。32,故线性无关，线性表示。1可由32,3322114xxx4432,线性无关，假设可由321,线性表示，使,321xxx即存在由，33221ll，132,可由线性表示，可由432,线性表示，线性无关相矛盾。与432,代入上式，证明证明:例例12.46mnA为阵，则A的列向量组与 B的列向量组有相同的线性关系。A经过有限次的初等行变换为B证明证明:BA 行变换存在P可逆，使 PA=BAxOPAxOBxO设,2121mmBA，则111 1mmmmxxxx性质性质作业 P123 2(1);3;5(2)(3);8
