1、问题的提出问题的提出 信用违约互换（Credit Default Swaps，简称为CDS），是一种信用衍生产品。信用衍生产品是交易风险资产的信用风险的衍生金融工具，将信用风险从原来的风险承担者转移给那些愿意承担信用风险的人。信用衍生产品的价值依赖于标的资产的信用质量，标的资产通常是具有违约风险的债权类金融产品，如银行贷款、公司债券等。信用衍生品市场 信用衍生产品的出现是世界金融领域的一次意义深远的革命，是近30年来世界金融领域最重大和发展最快速的金融创新和金融工具。2002年英国银行家协会（British Bankers Association，BBA）的信用衍生产品研究报告(1)显示，近年
2、内信用违约互换已成为国外债券市场上最常见的信用衍生产品。信用违约互换占上信用衍生产品市场接近50的份额。其中单一信用违约互换(Single-name Credit Swaps)仍然是最流行的产品，而组合产品(Portfolio Products/CLOs)的比例则在逐年稳定增长中。信用互换的特点1.在违约互换交易中,互换购买方定期向互换售出方支付费用。一旦债券出现违约,互换购买方将有权利以面值将违约债券卖给互换售出方。2.它在保留资产的前提下，将贷款或债券等资产的信用风险剥离出来，经过市场定价后转移给愿意承担风险的投资者。信用违约互换的出现为长期以来只能依靠内部管理或多样化来分散信用风险的金融
3、机构提供了一种新的对冲工具，从根本上改变了信用风险管理的传统特征。3.通过信用违约互换，金融机构可以将持有的具有信用风险的资产中的信用风险进行转移，同时保留对该资产的所有权。信用违约互换（CDS）的交易流程如下图零付返定期付费 c%停止付费赔偿损失CDS出售方公司CCDS购买方公司ACDS购买方公司ACDS出售方公司C图1 信用事件发生之前图2 信用事件发生时（实物结算）CDS本质上是一份针对具有违约风险债券的保险合约。假设公司A持有公司B发行的一份公司债券，于是它就面临着公司B违约而带来的信用风险。为了管理这种风险，公司A与公司C签订一份信用违约互换合约，并定期向公司C支付费用，直至公司B违
4、约或持有的B公司债券到期。当B公司违约时，公司C将补偿公司A在其持有的B公司债券(Reference Obligation)上面所遭受的损失。信用违约互换作为一份保险合约，它涉及到三方，违约保险的购买者公司A，违约保险的售出者公司C(Counterparty)及公司债券的发行者公司B(Reference Entity)，公司B发生的违约称为信用事件(Credit Event)。CDS的费用与赔偿 CDS购买方A需要定期向出售方C支付固定的费用，直至信用事件发生时或者CDS合约到期，这个费用一般称为CDS Spread。当信用事件发生时，停止支付保费，同时CDS出售方C赔偿购买方A因信用事件所遭
5、受的损失。现实中有两种赔偿方式：实物结算方式(Physical Settlement)和现金结算方式(Cash Settlement)。举例 假设2002年1月1日A保险公司和X银行签订一份五年期的针对GM公司的面值为$1000万的债券的CDS合约。X银行同意向A保险公司每年支付1.6%的保险费。那么如果GM公司在五年之内不违约，即没有信用事件发生，则X银行在2003年、2004年、2005年、2006年和2007年的1月1日向A保险公司支付保费，每次支付的金额为$16万。如果2006年9月1日GM公司违约，即信用事件在CDS合约第5年的中途发生，若采用实物结算方式，则合约购买方X银行有权按面
6、值将GM公司的$1000万债券出售给A保险公司。若采用现金结算方式，假设由于GM公司违约，X银行仅能收回债券面值的40%，则损失的60%要由A保险公司赔偿，即需要支付给X银行$600万。无论采用那种结算方式，由于保费是按年度支付的，而信用事件发生在年中，所以X银行需要向A保险公司补交2006年1月1日到9月1日这段时间的保费$12万。模型的建立模型的建立 考虑一份信用违约互换合约，其标的债券面值为1。假设保费按季度支付，违约可在信用违约互换到期日之前任何时刻发生，并且违约事件的发生，贴现率，回收率均相互独立。定义 T：信用违约互换的到期日（以年为单位）；R：违约事件发生时债券的期望回收率；r：
7、无风险利率；()q t：债券发行公司 B 在 t 时刻的违约概率密度；w：互换购买方 A 公司每年应向出售方 C 公司支付的保费。现金流分析 标准 CDS 保费按季度支付，记保费支付日分别为12ntttT，则相邻支付日之间的时间0.25t，每次支付的金额为w t。若公司 B 在(0)T时刻违约，则记违约时刻之前和之后的支付日分别为nt和1nt，当违约恰好发生在某个支付日时，记nt，即有1nntt，则在0到公司 A 支付给公司 C 的所有保费的现值为 11()()(),ninrtrtniwtetew uv其 中1()inrtiwuwte表 示 违 约 发 生 之前 已 经 支 付 的 所 有 保
8、费 的 现 值，1()()nrtnwvwte表示尚未支付的应计保费，这部分将在下一个保费支付日1nt支付 在T之前没有违约事件发生的概率是：01()d.Tq 保费现值的期望为：00()()()d1()d().TTqw uvqwu T 对于公司A时刻违约事件发生时，公司 A 得到的赔偿的现值为：(1),rR e 信用违约互换得到的赔付现值的期望为：0()(1)d,TrqR e 于是信用违约互换的价值为：000()(1)d()()()d1()d().TTTrqR eqw uvqwu T 由于互换在其初始时刻的价值为零，所以每年应支付的保费为*000()(1)d.()()()d1()d()TrTTq
9、R ewquvqu T (1)w被称为 CDS spread 假设债券发行公司 B 的资产遵循下面的几何布朗运动()(),()dV trdtdW tV t 其中,r为常数，()W t为标准布朗运动。D为公司的破产边界（default barrier），即当公司资产()V tD时，违约事件发生。记 inf0;(),tV tD 违约概率为：(,;)Pr()(;,)dTtP V t TTpV t(,;)P V t T表示t时刻资产价值为V的公司在T之前违约的概率，简记为(,)P V t，(;,)pV t表示相应的违约概率密度。由 Kolmogorov 定理(5)知，(,;)P V t T满足如下偏微
10、分方程 222210,0,0,2(,;)1,(,;)0.PPPrVVVtTtVVP D t TP V T T (2)根据(,;)P V t T的定义知(,;)(;,),P V t Tp T V tT 公司破产概率密度()q t可表示为 0(,0;)(),P Vtq tt （3）其中0V是初始 0 时刻公司的价值。模型的求解模型的求解首先令(,;)1(,;)u V t TP V t T，由（2）式知(,;)u V t T满足 222210,2(,;)0,(,;)1.uuurVVtVVu D t Tu V T T 这是一个倒向半无界的线性抛物型偏微分方程的初值问题。这个问题有解析解(5)：2222
11、2()ln2()()ln()()ln22(,).DrVDDrTtrTtVVu V tNeNTtTt 从而可得(,;)P V t T，由（3）式所求违约概率密度()q t为 220003()ln()ln(,0;)22()2DDrtrtP VtVVq tttt 220222()ln2003()ln()ln22,2DrVDDrtrtVVett （4）其中221()2xxe.最后，将()q t代入(1)式即可得到所求的 CDS spread。即求出了 CDS 定价。数值计算数值计算 考虑一份五年期的信用违约互换合约，无风险利率为5，期望回收率为30。债券发行公司的资产初始值为100万美元，违约边界为70万美元。图3表示不同波动率违约概率密度 图4 表示CDS价格与信用违约互换到期时间T的关系。图 4 图5 表示CDS价格与回收率R的关系 图 5 图 6 表示 CDS 价格与0/D V（其中 D 为违约边界，0V为初始时刻公司资产价值）具有的关系。图 6
