1、知识拓展知识拓展:无法求值的极值点用无法求值的极值点用“设而不求设而不求”内容简介内容简介导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单调性而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系与其导函数的零点有着紧密的联系,可以说导函数零点的判断、数值上的精可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计是导数综合应用中最核心的问题确求解或估计是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点导函数的零点,根据其数值根据其数值计算上的差异计算上的差异,可以分为两类可以分为两类:一是数值上能精确求解的一是数值上能精确求解的,不妨称为不妨称为“显零显
2、零点点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,不妨称为不妨称为“隐零点隐零点”.对对于隐零点问题于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用的不等式应用,对学生综合能力的要求比较高对学生综合能力的要求比较高,往往成为考查的难点往往成为考查的难点.知识梳理知识梳理例题精讲例题精讲 知识梳理知识梳理“隐零点隐零点”问题的解决大致分为以下三个步骤问题的解决大致分为以下三个步骤:(1)(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点
3、方程列出零点方程f(x0)=0,f(x0)=0,并并结合结合f(x)f(x)的单调性得到零点的范围的单调性得到零点的范围;(2)(2)以零点为分界点以零点为分界点,说明导函数说明导函数f(x)f(x)的正负的正负,得到函数得到函数f(x)f(x)的单调性的单调性,进而进而获得获得f(x)f(x)的最值表达式的最值表达式;(3)(3)将零点方程适当变形将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简证明整体代入最值式子进行化简证明;如果必要如果必要,第第(1)(1)步步中的零点范围还可适当缩小中的零点范围还可适当缩小.例题精讲例题精讲考点一考点一“隐零点隐零点”背景下背景下“设而不求设而不求”策略在
4、最值问题中的应用策略在最值问题中的应用【例例1 1】(2016(2016全国全国卷卷)(1)(1)讨论函数讨论函数f(x)=ef(x)=ex x的单调性的单调性,并证明当并证明当x0 x0时时,(x-2)e,(x-2)ex x+x+20;+x+20;22xx(2)(2)证明证明:当当a0,1)a0,1)时时,函数函数g(x)=(x0)g(x)=(x0)有最小值有最小值,设设g(x)g(x)的最小值的最小值为为h(a),h(a),求函数求函数h(a)h(a)的值域的值域.2exaxax变式变式:已知已知f(x)=ax+xln x(af(x)=ax+xln x(aR R),y=f(x),y=f(x
5、)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2.2.若若2f(x)-(k+1)x+k0(k2f(x)-(k+1)x+k0(kZ Z)对任意对任意x1x1都成立都成立,求整数求整数k k的最大值的最大值.考点二考点二 “隐零点隐零点”背景下背景下“设而不求设而不求”策略在不等式证明中的应用策略在不等式证明中的应用【例例2 2】(2017(2017全国全国卷卷)已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax2 2-ax-xln x,-ax-xln x,且且f(x)0.f(x)0.(1)(1)求求a;a;若若a=1,a=1,则则g(x)=1-.g(x)=1-.当当0 x10
6、x1时时,g(x)0,g(x),g(x)1x1时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)单调递增单调递增.所以所以x=1x=1是是g(x)g(x)的极小值点的极小值点,故故g(x)g(1)=0.g(x)g(1)=0.综上综上,a=1.,a=1.1x(2)(2)证明证明:f(x):f(x)存在唯一的极大值点存在唯一的极大值点x x0 0,且且e e-2-2f(xf(x0 0)2)0,t0,存在唯一的存在唯一的s,s,使使t=f(s);t=f(s);证明证明:(1)(1)当当x(0,1x(0,1时时f(x)0;f(x)0;当当x(1,+)x(1,+)时时f(x)0,f(x)0,故下面只考虑故
7、下面只考虑f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上的性质上的性质.由于对任意给定的由于对任意给定的t0,t0,令令F(x)=f(x)-t,x1,F(x)=f(x)-t,x1,则则F(x)=x(2ln x+1)0,F(x)=x(2ln x+1)0,从而从而F(x)F(x)在在(1,+)(1,+)单调递增单调递增,又又F(1)=-t0,F(eF(1)=-t0,t-t0,故故F(x)F(x)在在(1,+)(1,+)存在唯一零点存在唯一零点s,s,满足满足t=f(s).t=f(s).考点三考点三 导数中的导数中的“二次函数零点二次函数零点”的的“设而不求设而不求”策略策略【例例3 3】已知函数已知函
8、数f(x)=xf(x)=x2 2+aln(x+2),a+aln(x+2),aR R,存在两个极值点存在两个极值点x x1 1,x,x2 2,求求f(xf(x1 1)+)+f(xf(x2 2)的取值范围的取值范围.规律方法规律方法 在上述问题求解中我们在简化在上述问题求解中我们在简化f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)时并没有直接求时并没有直接求解解x x1 1,x,x2 2,而是采用了类似于解析几何中的算法而是采用了类似于解析几何中的算法,借助根与系数的关系将借助根与系数的关系将x x1 1,x,x2 2整体性地代入其中整体性地代入其中,不仅大大削减了运算量不仅大大削减了运算量,而且求解问题的思路更而且求解问题的思路更清晰明朗清晰明朗.这是基于极值点是二次函数的零点这是基于极值点是二次函数的零点,从而可借助根与系数的关系从而可借助根与系数的关系.在解题时在解题时,应从导函数的类型出发应从导函数的类型出发,判断是用根与系数的关系的设而不求还判断是用根与系数的关系的设而不求还是用超越方程中整体代换的设而不求是用超越方程中整体代换的设而不求.20 x点击进入点击进入 课时训练课时训练
