1、 百校联考百校联考 2020 年高考考前冲刺必刷卷（三）年高考考前冲刺必刷卷（三） 文文科数学科数学 第第卷卷 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1.已知集合 2 |20Ax xx， |1| |22 x Bx ，则AB （ ） A. 0 B.0,2 C.0, 2 D.2,0,2 2.已知1,2A ，2, 1B，若点C满足0ACAB，则点C坐标为（ ） A. 1 1 ( , ) 2 2 B.3,3 C.3, 3 D.4,5 3.已知命题p：对(,0
2、)x ， 20192018 xx，则p为（ ） A. 0 0,x，使得 20192018 00 xx B.0,x ，使得 20192018 xx C. 0 (,0)x ，使得 20192018 00 xx D.(,0)x ，使得 20192018 00 xx 4.已知点(cos300 ,sin300 )P是角终边上一点，则sincos（ ） A. 31 22 B. 31 22 C. 31 22 D. 31 22 5.曲线( )lnf xx在xt处的切线l过原点，则l的方程为（ ） A.0xy B.20xy C.e0xy D.e0xy 6.直线ya与函数( )tan 4 f xx （0）的图象的
3、相邻两个交点的距离为2，若 f x在 (,)m m0m上是增函数，则m的取值范围是（ ） A.0, 4 B.0, 2 C. 3 0, 4 D. 3 0, 2 7.已知定义在R上的奇函数( )f x满足( )(2)0f xfx，则下列结论错误的是（ ） A.( )f x的图象关于点(1,0)对称 B.(2)( )f xf x C.(3)(1)fxf x D.(2)( )f xf x 8.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术” ，用现代式子表示即为：在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积 2 222 2 1 () 42 abc Sab .根据此公式， 若c
4、os(3 )cos0aBbcA，且 222 2abc，则ABC的面积为（ ） A.2 B.2 2 C.6 D.2 3 9.已知单位向量a，b满足3ab，若ac，bc共线，则c的最小值为（ ） A.3 B.1 C. 3 2 D. 1 2 10.已知 1 4 a ， 5 ln 4 b ，c满足 1 2 2log c c，则下列关系正确的是（ ） A.abc B.cab C.acb D.bca 11.已知函数( )sin()f xx（0） ， 若存在实数a， 使得 1 ( )(1) 2 f af a ， 且( )f x在( ,1)a a 上有最小值，没有最大值，则( )f x在(0,2019)上的零
5、点个数最少为（ ） A.1344 B.1345 C.1346 D.1347 12.设 x表示不超过x的最大整数，若 1 ( )eln 3 x f xx的最小值为M，则M （ ） A.1 B.0 C.1 D.2 第第卷卷 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 13.若 2 3 1 2 2 ,2 ( ) 2,2 x xx f x x ，且( )2f a ，则a_. 14.tan67.5tan22.5_. 15.如图所示的平面直角坐标系中，网格小正方形的边长为 1，若向量a，b，c满足cxayb，且 ()0kabc ，则 xy k _. 16.在ABC中，
6、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos2 cosbCcB，且2c ，则ABC面 积的最大值为_. 三三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 17.已知( )sin()f xAx（0A，0，0）的部分图象如图所示. （1）写出A，的值（直接写出结果） ； （2）若( )( )cos2g xf xx，求( )g x在0, 4 上的值域. 18.已知定义域为(,0)(0,)I 的函数( )f x满足对任意 12 ,(,0)(0,)x x ，都有 1 212 f x xf xf x. （1）求证：( )f x是偶函数： （2）若1x
7、时( )0f x ， 求证，( )f x在(0,)上是减函数； 求不等式(1)(2 )f xfx的解集. 19.已知ABC中， 2 sinsincossin 2 BACC. （1）求角A的大小； （2）若2ABAC，点D在边BC上，且2BDDC，22AD ，求AB. 20.已知函数 2 ( )2 (1)e4 x f xa xxx. （1）讨论( )f x的单调性； （2）若2x时( )2f x ，求实数a的取值范围. 21.中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展，生活富裕，乡风文明，村容整洁，管理民主”的要 求，扎实推进社会主义新农村建设，2018 年 4 月习近平近日作出重要指示强调，
8、要结合实施农村人居环境 整治三年行动计划和乡村振兴战略；建设好生态宜居的美丽乡村.为推进新农村建设某自然村计划在村边一 块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界AB，BC，CD，DE，EA以及对角线BE均 为绿化区小路（不考虑宽度） ，120BCDCDEBAE，100 3mBCCD，400mDE . （1）求四边形BCDE的面积； （2）求绿化区所有小路长度之和的最大值. 22.已知函数 2 ( )ln(1 2 )f xxaxa x（aR）. （1）求( )f x的极值； （2）若1a，正数m，n满足( )( )(2)(2)f mf nmn，求证：2mn. 百校联考 2020 年高考
9、考前冲刺必刷卷（三） 文科数学 参考答案 1.D【解析】因为 2 |202,0Ax xx ， |1| |220,2 x Bx ， 所以2,0,2AB . 2.D【解析】设( , )C x y，由0ACAB得ACBA， 即(1,2)( 3,3)xy ，所以 13 23 x y ，解得 4 5 x y ， 所以点C坐标为( 4,5). 3.C【解析】 “对(,0)x ， 20192018 xx”的否定 为“ 0 (,0)x ，使得 20192018 00 xx”. 4.D【解析】由点cos300 ,sin300P是角终边上一点， 可得 31 sincossin300cos300 22 . 5.C【
10、解析】由( )lnf xx得 1 ( )fx x ，由曲线 ( )lnf xx在xt处的切线l过原点，得切线斜率 ln01 0 t k tt ，所以et ， 1 e k ，所以切线l的方 程为 1 e yx，即e0xy. 6.B【解析】直线ya与函数( )f x的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，所以 1 2 ， 1 ( )tan 24 f xx ，由 1 2242 kxk ， 得 3 22 22 kxk （kZ） ，所以( )f x在 3 22 , 上是增函数， 由 3 (,), 22 m m 得0 2 m . 7.C【解析】由( )(2)0f xfx得( )f x的图象关 于点(1,0)
11、对称，选项 A 正确；用x代换( )(2)0f xfx中的x， 得()(2)0fxfx，所以(2)()( )f xfxf x ，选项 B 正确； 用1x代换( )(2)0f xfx中的x，得(3)(1)fxf x ，选项 C 错误； 用2x代换(2)( )f xf x中的x，得(2)( )f xf x，选项 D 正确. 8.A【解析】由cos(3 )cos0aBbcA得 sincoscossin3sincos0ABABCA， 即sin()3sincos0ABCA，即sin(1 3cos)0CA， 因为sin0C ，所以 1 cos 3 A ， 由余弦定理得 222 2 2cos2 3 abcb
12、cAbc ，所以3bc ， 由ABC的面积公式得 2 222 222 11 ()312 424 cba Sbc （也可由 1 cos 3 A ，求出 2 2 sin 3 A ，得ABC的面积 1 sin2 2 SbcA）. 9.D【解析】设OAa，OBb，OCc，由单位向量 a，b满足3ab，得| | 1OAOB，120AOB， 由ac，bc共线，得CA，CB共线，所以点C在直线AB上， 所以当OCAB时c取得最小值 1 2 . 10.B【解析】由 1 4 1 2 1 22log 4 ， 1 1 2 20log 1， 可得 1 1 4 c，构造函数( )ln1f xxx（1x） ， 则 1 (
13、 )10fx x ，所以( )f x在 1,上是减函数， 由 5 (1) 4 ff 得 51 ln 44 . 11.B【解析】由 1 ( )(1) 2 f af a ， 且( )f x在( ,1)a a上有最小值，没有最大值， 不妨令 5 2 6 ak （kZ） ， (1)2 6 ak （kZ） ， 两式相减得 2 3 ，所以( )f x的最小正周期 2 3T ， 2 ( )sin 3 f xx ， 当(0)0f时，即k时， ( )f x在(0,2019)上的零点个数最少为 2019 2 11345 3 . 12.B【解析】由 1 ( )eln 3 x f xx得 11 ( )e 3 x fx
14、 x ， ( )fx在(0,)上为增函数，且 1 (1)e 10 3 f ， 33 22 3121 ee20 2333 f . 所以存在 0 3 1, 2 x ，使得 0 0fx，所以 0 0 11 e 3 x x ， 易得( )f x在 0 0,x上是减函数， 0, x 上是增函数， 所以 0 000 0 11 elnln 3 x Mf xxx x . 设 1 ( )lng xx x ，则( )g x在 3 1, 2 上是减函数，且(1)1g， 32321211 lnln2.250 23232326 g ， 所以01M，0M . 13.2 2或 6【解析】若2a，由 2 3 ( )2f aa
15、， 得 2 8a ，所以2 2a （舍去）或2 2a ， 若2a，由 1 2 2 22 a ，得6a. 14.2【解析】由tantantan()(1tantan)得 tan67.5tan22.5tan45 (1 tan67.5 tan22.51 22 . 15. 9 5 【解析】结合图形得(1,2)a ，(3,1)b ，(4,4)c ， 由cxayb得 34 24 xy xy ，解得 8 5 x ， 4 5 y ， 12 5 xy， 由()0kabc 得0ka c b c ， 即12160k，所以 4 3 k ，所以 9 5 xy k . 16.3【解析】由cos2 cosbCcB得sinco
16、s2cossinBCBC，所以 sinsin()sincoscossin3cossinABCBCBCBC， 由2c 可得 2 sinsinsin ab CAB ，所以 2sin sin A a C ， 2sin sin B b C ，所以 2 11 4sinsin sinsin 22sin ABC AB SabCC C sin 2sin6sincos3sin23 sin A BBBB C ， 当 4 B 时ABC面积取得最大值 3. 17.【解析】 （1）2A ，2， 3 ， （2）由（1）知，( )2sin 2sin23cos2 3 f xxxx ， 所以 2 ( )sin2 cos23co
17、s 2g xxxx 13(1 cos4 ) sin4 22 x x 3 sin 4 32 x ， 当0, 4 x 时， 4 4 333 x ， 所以 3 sin 41 23 x ， 所以 3 0( )1 2 g x ，即( )g x在0, 4 上的值域为 3 0,1 2 . 18.【解析】 （1）取 12 1xx，得(1)0f， 取 12 1xx ，得 1 ( 1)(1)0 2 ff， 取 1 xx， 2 1x ，得()( )( 1)( )fxf xff x， 所以( )f x是偶函数. （2）设 12 0xx，则 1 2 1 x x ， 由1x 时( )0f x ，得 1 2 0 x f x
18、 ， 所以 11 1222 22 xx f xfxf xff x xx ， 所以( )f x在(0,)上是减函数. 由( )f x是偶函数且( )f x在(0,)上是减函数， 可得(1)(2 )(|1|)(|2 |)f xfxfxfx 22 101 200 |1| |2 |(1)(2 ) xx xx xxxx 1x或 1 1 3 x或1x ， 所以不等式(1)(2 )f xfx的解集为 1 (, 1),1(1,) 3 . 19.【解析】 （1）由 2 sinsincossin 2 BACC，得 2 sin()sincossin 2 ACACC， 即 2 sincoscossinsincossi
19、n 2 ACACACC， 即 2 cossinsin 2 ACC， 因为0C，sin0C ， 所以 2 cos 2 A，所以 4 A . （2）如图，设ACt，则2ABt，在AB上取一点 E，使得2BEEA， 连接DE，则/DE AC. 在ADE中， 3 4 AEDBAC ， 12 33 t AEAB， 22 33 t DEAC， 由余弦定理得 222 2cosADAEDEAE DEAED， 即 222 4442 222 9992 ttt ， 所以 3 2 t ，23ABt. 20.【解析】 （1）因为 2 ( )2 (1)e4 x f xa xxx， 所以( )2 (2)e(24)2(2)e
20、1 xx fxa xxxa， 当0a时，e10 x a ， 所以(, 2)x 时( )0fx，( 2,)x 时( )0fx， 故( )f x在(, 2) 上是增函数，在( 2,)上是减函数. 当0a，由( )0fx得2x或lnxa， 当ln2a，即 2 ea 时，( )0fx， ( )f x在(,) 上是增函数. 当 2 ea 时2lna ，( )f x在(,ln )a ， ( 2,)上是增函数，在( ln , 2)a上是减函数. 当 2 0ea时2lna ，( )f x在(, 2) ， ( ln ,)a上是增函数， 在( 2, ln )a上是减函数. 综上可得，0a时( )f x在(, 2)
21、 上是增函数， 在( 2,)上是减函数； 2 ae时( )f x在(,) 上是增函数； 2 ea 时( )f x在(,ln )a ，( 2,)上是增函数， 在( ln , 2)a上是减函数； 2 0ea时( )f x 在(, 2) ，( ln ,)a上是增函数， 在( 2, ln )a上是减函数. （2）由（1）知，0a时(0)20fa， 所以当2x时( )2f x 不恒成立； 当 2 ea 时( )f x在( 2,)上是增函数， 由( )2f x 得( 2)2f ，即 2 2 e42a ， 解得 2 ea ，所以 2 ea ； 当 2 0ea时( )f x在( 2, ln )a上是减函数，
22、在( ln ,)a上是增函数， 所以2x时( )( ln )f xfa， 由 2 ( ln )(ln )2ln22faaa 得 2 (ln )2ln0aa， 所以0ln2a， 2 1ea， 综上可得， 2 1ea，即a的取值范围是 2 1,e . 21.【解析】 （1）连接BD，BCD的面积 2 1 1 sin7500 3m 2 SBC CDBCD， 在BCD中，由余弦定理得 222 2cos90000BDBCCDBC CDBCD， 所以300mBD. 又BCCD，所以30CBDCDB， 又120CDE，所以90BDE， 所以BDE的面积 2 2 1 60000m 2 SBD DE， 所以四边
23、形BCDE的面积 2 12 600007500 3mSSS. （2）由已知及（1）可知100 3mBCCD，400mDE ， 22 500mBEBDDE， 可知要使所有绿化区小路长度之和最大时，应使ABAE最大， 在BAE中由余弦定理得 222 2cosBEABAEAB AEBAE， 即 22 250000ABAEAB AE 2 ()ABAEAB AE 22 1 ()() 4 ABAEABAE 2 3 () 4 ABAE， 所以 1000 3 m 3 ABAE，当且仅当 500 3 m 3 ABAE时取等号. 此时绿化区所有小路长度之和取得最大值为 160 m900 0 3 3 . 22.【解
24、析】 （1）因为 2 ( )ln(1 2 )f xxaxa x， 所以 1 ( )21 2fxaxa x 2 2(21)1axax x (1)(21)xax x （0x） ， 当0a时( )0fx，( )f x在(0,)上是增函数，( )f x没有极值； 当0a时，若 1 2 x a ，则( )0fx，若 1 0 2 x a ，则( )0fx， 所以( )f x在 1 0, 2a 是增函数，在 1 , 2a 上是减函数， 所以( )f x的极大值是 11 1 ln2 24 fa aa ， ( )f x没有极小值. 综上可得，当0a时( )f x没有极值；当0a时， ( )f x的极大值是 11 1 ln2 24 fa aa ，( )f x没有极小值. （2）若1a，则 2 ( )ln3f xxxx， 由( )( )(2)(2)f mf nmn得 22 ln3()2()4mnmnmnmnmn 即 2 ()()3ln4mnmnmnmn， 设tmn（0t ） ，() 3 l n4gttt （0t ） ， 则 131 ( )3 t g t tt ， 所以( )g t在 1 0, 3 上是减函数，在 1 , 3 上是增函数， 1 ( )ln356 3 g tg ， 所以 2 ()()6mnmn，2mn.
