1、7.1 7.1 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 7.2 7.2 状态方程求解状态方程求解 7.3 7.3 可控性与可观测性可控性与可观测性7.4 7.4 状态反馈与状态观测器状态反馈与状态观测器End End 控制理论的发展控制理论的发展经典控制论：经典控制论：现代控制论：现代控制论：大系统理论、智能控制理论：大系统理论、智能控制理论：时间：本世纪时间：本世纪30-50年代年代对象：线性定常，单输入输出系统对象：线性定常，单输入输出系统方法：传递函数，频域特性方法：传递函数，频域特性时间：本世纪时间：本世纪50-70年代年代对象：时变、离散、非线性的多输入输出系统对象：时变、离散
2、、非线性的多输入输出系统方法：时域，线性代数，状态空间方法：时域，线性代数，状态空间时间：本世纪时间：本世纪60年代末年代末-今今对象：复杂系统，交叉学科，生医、信号处理、软件算法对象：复杂系统，交叉学科，生医、信号处理、软件算法方法：人工智能，神经网络，模糊集，运筹学方法：人工智能，神经网络，模糊集，运筹学现代控制论的现代控制论的 五个分支：五个分支：建模和系统辨识建模和系统辨识 最优滤波理论最优滤波理论 最优控制最优控制 自适应控制自适应控制 线性系统理论线性系统理论现代控制原理预览现代控制原理预览建模建模分析分析设计设计状态空间状态空间表达式表达式建立建立求解求解转换转换可控可控性性可观
3、可观性性稳定性稳定性状态反馈状态反馈状态观测器状态观测器最优控制最优控制线性系统理论是现代控制论的基础线性系统理论是现代控制论的基础最完善，技术上较为成熟，应用最广泛最完善，技术上较为成熟，应用最广泛的部分的部分主要研究线性系统在输入作用下状态运主要研究线性系统在输入作用下状态运动过程的规律和改变这些规律的可能性动过程的规律和改变这些规律的可能性与措施与措施建立和揭示系统的结构性质、动态行为建立和揭示系统的结构性质、动态行为和性能之间的关系和性能之间的关系主要研究内容包括状态空间描述、能空主要研究内容包括状态空间描述、能空性、能观性和状态反馈、状态观测等性、能观性和状态反馈、状态观测等现代控制
4、论现代控制论 VS 经典控制论经典控制论特特 点点已工程化，直观，具体，已工程化，直观，具体，精度一般精度一般已规范化，精度高，有标已规范化，精度高，有标准的算法程序准的算法程序控制器控制器以模拟硬件为主以模拟硬件为主以单片机、微处理器，软以单片机、微处理器，软件为主件为主结构图结构图经经 典典现现 代代时时 间间1940-1960年年1960年至现在年至现在数学模型数学模型传递函数、微分方程传递函数、微分方程传递矩阵、状态方程传递矩阵、状态方程数学工具数学工具常微分方程、复变函数、常微分方程、复变函数、Laplace变换等变换等矩阵理论、泛函分析、矩阵理论、泛函分析、概率统计等概率统计等应用
5、范围应用范围单输入单输出线性定常单输入单输出线性定常连续、离散时变集中参连续、离散时变集中参数系统数系统多输入多输出连续、离多输入多输出连续、离散时变集中参数系统散时变集中参数系统应用情况应用情况极为普遍极为普遍范围广范围广控制器被控对象r(t)c(t)微处理器被控对象RYN经典控制论经典控制论以微分方程或传递函数为描述系统动态特性的数学模型以微分方程或传递函数为描述系统动态特性的数学模型常采用频域分析法分析系统特性常采用频域分析法分析系统特性表达系统输入与输出之间的关系表达系统输入与输出之间的关系只描述系统的外部特性，不反应内部各物理量的变化只描述系统的外部特性，不反应内部各物理量的变化仅仅
6、考虑零初始条件，不足以揭示系统全部特性仅仅考虑零初始条件，不足以揭示系统全部特性现代控制论现代控制论采用状态空间表达式作为系统的数学模型采用状态空间表达式作为系统的数学模型用时域分析系统输入、输出与内部状态之间的关系用时域分析系统输入、输出与内部状态之间的关系状态空间表达式是一阶矩阵状态空间表达式是一阶矩阵-向量微分方程组向量微分方程组揭示系统内部的运动规律，反应系统动态特性的全部信息揭示系统内部的运动规律，反应系统动态特性的全部信息7.1.状态和状态空间基本概念状态和状态空间基本概念(5)状态方程状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组
7、）：分方程（组）：(6)输出方程输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式：学表达式：()()()x tAx tBu t()()()y tCx tDu t(7)状态空间表达式状态空间表达式：(5)+(6).(4)状态空间状态空间：以状态变量：以状态变量 为坐标轴构成为坐标轴构成 的的n维空间维空间1,()()nxxtt7.1.状态和状态空间状态和状态空间 例例7.1 试建立图示电路的数学模型。试建立图示电路的数学模型。RL Ci(t)ur(t)uc(t)()()()(tutRitudttdiLrc dttduCtic)()()(1)(1)()
8、(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc思考和第二章思考和第二章建模的区别建模的区别“经典经典”是是高阶微分高阶微分，一个方程一个方程，无中间变量，无中间变量“现代现代”是是一阶微分一阶微分，一个方程组一个方程组，有中间变量，有中间变量经典控制论中：经典控制论中：n阶系统阶系统 n阶微分方程阶微分方程 只是输入与输出的关系，无中间变量只是输入与输出的关系，无中间变量现代控制论中：现代控制论中：n阶系统阶系统 n个一阶微分方程个一阶微分方程 体现输入，输出与各个中间变量的线性关系体现输入，输出与各个中间变量的线性关系 在已知在已知ur(t)的情况下，只要知道的情况下，只要知道
9、uc(t)和和i(t)的变化特性，则的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故其他变量的变化均可知道。故uc(t)和和i(t)称为称为“状态变量状态变量”。记。记)()()(),()(21 、及及ixdttdxtitxtutxiic)(10)()(110)()(2121tuLtxtxLRLCtxtxr 则有则有 )(1)(1)()(1)(tuLtiLRuLdttditiCdttdurcc12212111rxxCRxxxuLLL转换成矩阵方程转换成矩阵方程一阶矩阵微分方一阶矩阵微分方程式程式7.1.状态和状态空间基本概念状态和状态空间基本概念(1)状态状态：系统过去、现在和将来的状况系统过去、现在
10、和将来的状况(2)状态变量状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：)b00()()t tx tx ta表示系统在表示系统在 时刻的状态时刻的状态0t若初值若初值 给定，给定，时的时的 给定，给定，则状态变量完全则状态变量完全确定系统在确定系统在 时的行为。时的行为。0()x t0tt()u t0tt淡化了输出的概念，都归结为状态变量淡化了输出的概念，都归结为状态变量已知输入及所有状态变量已知输入及所有状态变量，就能刻画整个系统，就能刻画整个系统 如上例中如上例中,为系统的状态向量，为系统的状态向量，为状态变量。为状态变量。txtxtx21 )2
11、,1(,itxi(3)状态向量状态向量：以系统的：以系统的n个独立状态变量个独立状态变量 作为分量的向量，即作为分量的向量，即 1,()()nxxttT1(),()()nx txxtt7.1.状态和状态空间基本概念状态和状态空间基本概念(5)状态方程状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程（组）：分方程（组）：(6)输出方程输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式：学表达式：()()()x tAx tBu t()()()y tCx tDu t(7)状态空间表达式状态空间表达式：(5)(6)
12、.(4)状态空间状态空间：以状态变量：以状态变量 为坐标轴构成为坐标轴构成 的的n维空间维空间1,()()nxxtt求上述求上述RLC电路的状态空间表达式电路的状态空间表达式1122100()()()1()()1rx tx tCu tx tx tRLLL 1112()()()()()()0 1()ccx tx tuty tutx txt状态方程状态方程输出方程输出方程状态空间表达式状态空间表达式12100()()1()1rx tCu tx tRLLL x(t)()0 1y t x(t)12()()x tx tx(t)其中其中状态空间表达式就是用状态向量将状态空间表达式就是用状态向量将状态方程和
13、输出表示出来状态方程和输出表示出来求上述求上述RLC电路的状态空间表达式电路的状态空间表达式状态空间表达式状态空间表达式12100()()1()1rx tCu tx tRLLL x(t)()0 1y t x(t)状态空间表达式状态空间表达式()()u ty tx(t)Ax(t)BCx(t)1)1)选取选取 n n个状态变量个状态变量；确定；确定输入输入、输出输出变量；变量；建立状态空间表达式的步骤建立状态空间表达式的步骤状态变量状态变量、输入变量、输入变量、参数参数输出变量、输出变量、状态变量状态变量、输入变量、输入变量、参数参数 2)2)根据系统微分方程列出根据系统微分方程列出n n个个一阶
14、微分方程一阶微分方程；3)3)根据系统微分方程，列出根据系统微分方程，列出m m个个代数方程代数方程。结论：结论：(1)(1)状态变量选取具有状态变量选取具有非唯一性非唯一性。状态变量个数。状态变量个数系统的阶次；系统的阶次；(2)(2)状态变量具有状态变量具有独立性独立性；(3)(3)不同组状态变量之间可做等价变换不同组状态变量之间可做等价变换线性变换。线性变换。三三.状态变量的选取状态变量的选取 1.状态变量的选取是非唯一的。状态变量的选取是非唯一的。2.选取方法选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。为系统的
15、状态变量。（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流流i、电容电压、电容电压uc、质量、质量m 的速度的速度v 等。等。系统的状态变量选取是不唯一的（对应空间的基不唯一）系统的状态变量选取是不唯一的（对应空间的基不唯一）不同组状态变量对系统的表达形式不同不同组状态变量对系统的表达形式不同变量的个数是唯一的，等于系统的阶数（空间的维度）变量的个数是唯一的，等于系统的阶数（空间的维度）例例7.3 已知系统微分方程组为已知系统微分方程组为 dtiiciR
16、ur)(121111 dticiRdtiic22222111)(1rcudticu 221 其中，其中，ur 为输入，为输入，uc 为输出，为输出，R1、C1、R2、C2为常数。试为常数。试列写系统状态方程和输出方程。列写系统状态方程和输出方程。解：解：dtixdtix2211,rcuxcu 221uRxxCRCRCRCRCRxx 0/1/1/1/1/1/1121221212111121 utxtxCy 212/1022222111)(1xcxRxxc )(121111xxcxRur 选选写成向量写成向量矩阵形式：矩阵形式：dtiiciRur)(121111 dticiRdtiic222221
17、11)(1rcudticu 221 ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111四四.状态空间表达式状态空间表达式 1.单输入单输出线性定常连续系统单输入单输出线性定常连续系统 BuAxx duxcxcxcynn 2211DuCxy SISO系统中，系统中，y和和u是标量是标量MIMO系统中，系统中，y和和u是向量是向量所有状态分量的一阶导所有状态分量的一阶导是其他状态分量与输入是其他状态分量与输入的线性组合的线性组合 2.一般线性系统一般线性系统状态空间表达式（状态空间表达式（p输入输入q输出）输出）utDxtCyu
18、tBxtAx DuCxyBuAxx 3.线性线性定常定常系统系统状态空间表达式状态空间表达式 （t 域）域）（域）域）s1uxy B C D Ab)结构图结构图x 系统系统 A 输入输入 u 输出输出 y 状态状态 X a)结构关系图结构关系图DBCDuCxyBuAxx 不管不管X再怎么状态改变，输出只与状再怎么状态改变，输出只与状态变量有关，与状态变量的改变无关态变量有关，与状态变量的改变无关五五.线性定常系统状态空间表达式的建立线性定常系统状态空间表达式的建立 1.方法方法:机理分析法、实验法机理分析法、实验法 2.线性定常单变量系统线性定常单变量系统(单输入单输入单输出系统单输出系统)(
19、1)由微分方程建立由微分方程建立 ubububyayayayaymmnnnnn011110112211 1121,nnyxyxyx 在输入量中不含有导数项时：在输入量中不含有导数项时：微分方程有几阶，就微分方程有几阶，就有几个状态变量有几个状态变量 11212100nnnnnyayaya ya ybu12231()0 11210nnnnnnxxxxxxxya xa xaxb u 则写成向量写成向量-矩阵形式矩阵形式11221101210010001000010nnnnnxxxxuxxxaaaaxb121y100nxxxx 1121,nnyxyxyx 例例7.4 已知系统微分方程为已知系统微分方
20、程为 uyyyy323 列写系统的状态空间表达式。列写系统的状态空间表达式。yxyxyx 321,解：解：选选 11221101210010001000010nnnnnxxxxuxxxaaaaxb121y100nxxxx21003,3,2,13naaab1122330 1 000 0 101 2 33xxxxuxx 11231 0 0 xyxxx反过来，已知状态空间表达式，求传递函数反过来，已知状态空间表达式，求传递函数21003,3,2,13naaab1122330 1 000 0 101 2 33xxxxuxx 11231 0 0 xyxxxuyyyy323 输入量中含有导数项时：输入量中
21、含有导数项时：转为传递函数法转为传递函数法设控制系统由下列设控制系统由下列 n n 阶微分方程来描述阶微分方程来描述ububububyayayaynnnnonnnn1)1(1)(1)1(1)(这时，不能简单地把这时，不能简单地把 选作状态变量，选作状态变量，即不能即不能采用上述的方法采用上述的方法。因为采用上述方法化成一阶微分方程组。因为采用上述方法化成一阶微分方程组 )1(,nyyyububububxaxaxaxxxxxxxnnnnonnnnnn1)1(1)(121113221这样，最后一个方程中包含了输入信号这样，最后一个方程中包含了输入信号 的各阶导数，的各阶导数，系统将得不到唯一解。系
22、统将得不到唯一解。)(tu 输入量中含有导数项时：输入量中含有导数项时：转为传递函数法转为传递函数法手段：引入变量，改变方程组形式手段：引入变量，改变方程组形式目标：生成的状态方程组右边不能有目标：生成的状态方程组右边不能有u的导数的导数方法：方法：可控规范型实现可控规范型实现 能观测规范型实现能观测规范型实现 对角线规范实现对角线规范实现 约当规范型实现约当规范型实现不同的状态变量选取方法获得的对系统不同的状态变量选取方法获得的对系统不同的表示方式不同的表示方式 01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnn 0122110122111)()()()()()
23、()(,0).bsbsbsbszsyasasasassuszsuszszsysDsNsGbAnnnnnnnnnn zbzbzbzbyuzazazazaznnnnnnnnn012211012211)(可控规范型实现可控规范型实现分子阶数小于分子阶数小于分母阶数分母阶数传递函数传递函数多项式表多项式表达形式达形式反拉普拉斯反拉普拉斯 zbzbzbzbyuzazazazaznnnnnnnnn012211012211)(uxxxxaaaaxxxxnnnnn 10001000100101211110121 nnxxxbbb21110y和前面和前面一致一致 1112,nnxz xzxz令状态变量令状态变量
24、0nb 01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnn susDsNsubsyn B）bn00111012211asasasfsfsfsfbnnnnnnnn sDsNbn nnnnnnnnbabfbabf222111,nnbabfbabf000111,分子分母同阶分子分母同阶与上面做法相同与上面做法相同例例7.5 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 8147158232 ssssssG试求其能控规范型实现试求其能控规范型实现uxxxxxx 1007148100010321321 3211815xxxy解解:由由 bn=b3=0,对照标准型对照标准型,可得
25、实现为可得实现为 uxxxxaaaaxxxxnnnnn 10001000100101211110121 nnxxxbbb21110y例例7.67.6 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 814715882323 sssssssG试求其能控规范型实现试求其能控规范型实现 8147761814715882322323 ssssssssssssGuxxxxxx 1007148100010321321 uxxxy 321167解解:由由 bn=b30,对照标准型对照标准型 susDsNsubsyn 总结：能控标准型实现总结：能控标准型实现写成状态方程和输出方程写成状态方程和输出方程 XAXBuY
26、CXDu 12312101000010,0001nnnnxxXAxxaaaa10100,0001mmn mBCbbb 1011111()()()mmmmnnnnb sb sbsbY sG ssa sasaU s 正常情况下，正常情况下，nm。分母首位系分母首位系数为数为1例例 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 23223()24610ssG ssss 试求出其对应的能控标准型。试求出其对应的能控标准型。解解:首先把首先把G(s)分母中分母中s最高次项系数变成最高次项系数变成1,用用2除除G(s)的分母与分子的分母与分子,得得2321322()235ssG ssss 直接写出系统的能控标
27、准型直接写出系统的能控标准型:11223312301000010532131122xxxxuxxxYxx 与能控规范型关系：与能控规范型关系：能观测规范型实现能观测规范型实现XAXBuYCXDu 11221332011210000100001000000000010nmnnnnnnxxabxxaxxabuxxaxxa 1nm 123100001nnxxxYxx 能控标准型和能观测标准型：其系能控标准型和能观测标准型：其系数矩阵互为转置关系数矩阵互为转置关系,而前者的而前者的b为为后者的后者的CT,前者的前者的CT为后者的为后者的b。具有这种结构关系的称为互有具有这种结构关系的称为互有对偶对偶关
28、系。关系。例例7.7 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为 8147158232 ssssssG试求其能观测规范型实现。试求其能观测规范型实现。1011111()()()mmmmnnnnb sb sbsbY sG ssa sasaU s 11223312300815101480171001xxxxuxxxYxx 反过来，已知状态空间表达式，求传递函数反过来，已知状态空间表达式，求传递函数 niiinnscscscscsusysG12211 niiixcsy1则则 sussxii 1取取uxxxxxxnnn 111000000212121 nnxxxccc2121y 对角线规范实现对角线规范
29、实现()()()iisx su siiixxu重点在于重点在于 ，与传递函数系数之间的关系与传递函数系数之间的关系 iic结构图结构图+nx 1x x1y(t)u(t)1 1c1x22 2c c2xnn nc cn+2x 信号流图信号流图 （t 域）域）（域）域）s1解：解：则对角线规范型实现为则对角线规范型实现为 416121231138421158)(2 sssssssssG 321612338xxxyuxxxxxx 111400020001321321的对角线规范型实现，并画出系统状态图的对角线规范型实现，并画出系统状态图。8147158232 ssssssG 例例7.8 求求 当当G(
30、s)有重极点时，设有重极点时，设-pi中有中有k重极点重极点)()()()()()()()()(11nkkpspspssNsDsNsGsusy nnkkkkkpscpscpscpscpsc 11111211)()(kjsGpsdsdjckjjpsjj ,)()()!1(1lim111nkisGpscipsii ,)()(lim)()()(21sGsGsG 1112111)()()(pscpscpscsGkkk 约当规范型实现约当规范型实现-特征方程有重根时特征方程有重根时 uxxxxxxxxxxxxnrrrnrrnrrr111100112121211112121nnrrrrrscscscscs
31、csUsY11111211)()()()(uxxxxxxxxxxxxnrrrnrrnrrr111100112121211112121xnrrrccccccy2121对角块对角块约当块约当块 nnscscscscscsG 44113211231111312112xxx uxx 13113 uxx 444 uxxnnn 1211111xxx 则则 )(1)(113sussx 令令 )(1)(1)(1312112sxssussx )(1)(1)(1213111sxssussx 约当规范型实现约当规范型实现-特征方程有重根时特征方程有重根时 uxxxxxxxxxxnnn 111000000000000
32、0000100001413121141114131211 141312114131211nnxxxxxcccccy例例7.9)2()1(562254562)(22232 ssssssssssG2111)1(12 sssuxxxxxx 110200010011321321 321111xxxy由状态空间表达式求传递函数由状态空间表达式求传递函数XAXBuYCXDu 已知已知其取拉式变换：其取拉式变换：例如：例如：某系统的状态方程为：某系统的状态方程为：1001030100401 0 1 xxuyx求其传递函数求其传递函数1()()()G sC sIABD U s 线性定常连续系统线性定常连续系统
33、 1.齐次状态方程的解齐次状态方程的解)(自自由由运运动动 Axx 设解为：设解为：02210)(kkkkktbtbtbbbttx)(2)(1011121 tbbbtbtbbbkkkkkkktAAxxkkttxbAb02221 bAbkkk0!1 bAb01)0()!1()0()!121(!121)(00022020200 xkxkAtIkAtAtxkkkkkkktAbbtAtAtbAtbbb )0()(xtxeAt 即即,!10状态转移矩阵状态转移矩阵称为矩阵指数称为矩阵指数定义定义 kkkAttAek 拉氏变换法拉氏变换法由由 两边取拉氏变换，两边取拉氏变换，得得 SX(s)-X(0)=A
34、X(s)(SIA)X(s)=X(0)X(s)=(SIA)-1.X(0)两边取拉氏反变换两边取拉氏反变换 x(t)=L-1X(s)=L-1(SI-A)-1 X(0)=L-1(SI-A)-1 X(0)比较前式，有比较前式，有eAt=L-1(SI-A)-1 Axx 状态转移矩阵的运算状态转移矩阵的运算 (t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+(0)=I初始状态初始状态 AAttA )0(,)()(t)(2)(t1t2)=(t1)(t2)=(t2)(t1)-线性关系线性关系 -1(t)=(-t)，-1(-t)=(t)-可逆性可逆性 x(t)=(t-t0)x(t0)x(t0)
35、=(t0)x(0),则则 x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0)=(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0)（6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A 可分阶段转移可分阶段转移 (t)k=(kt)e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA)e(A+B)teAt.eBteBt.eAt (ABBA)引入非奇异变换引入非奇异变换 后，后，两种常见的状态转移矩阵两种常见的状态转移矩阵 xpx peptAt1)(ttnneetA 00)(,0011 ttttmttmmeteeemtteetA 000)!1()(,00
36、10011 例例7.13 设有一控制系统，其状态方程为设有一控制系统，其状态方程为 Axx 320100010A在在t0=0时，状态变量的初值为时，状态变量的初值为x1(0)x2(0)x3(0),试求该方程的解。试求该方程的解。3201001)(:sssAsI解解)2)(1(20)3(013)1)(2()()(21 sssssssssssAsIAsIadjAsI )2)(1/()2)(1/(20)2)(1/(1)2)(1/()3(0)2)(1(/1)2)(1(/)3(/1ssssssssssssssssss 22112212021112112025.0115.025.0125.1/1sssss
37、ssssssssss ttttttttttttAteeeeeeeeeeeeAsILet222222112220205.05.05.025.11)()()0()2()0()22()0()()0()2()0()5.05.0()0()5.025.1()0()0()0()0()()0()()()()()(3222322232221321321xeexeexeexeexeexeexxxxtxttxtxtxtxtttttttttttt。Axx,11)0(时时x;)(22 tteetx,12)0(时时x。tteetx2)(试求试求A及及(t)。)()()()()(22211211ttttt设设解：解：例例7
38、.14 设系统状态方程为设系统状态方程为 )()()()(11)()()()(222112112221121122tttttttteett )()(2)()(212)()()()(22221121122211211tttttttteett解方程组得，解方程组得，11(t)=2e-t e-2t,12(t)=2e-t2e-2t 21(t)=-e-t+e-2t,22(t)=-e-t+2e-2t tttttttteeeeeeeet22222222)(3120424222)(022220tttttttttteeeeeeeetA例例7.15 设系统运动方程为设系统运动方程为cuuabyybay )(式中式
39、中a、b、c均为实数，试求：均为实数，试求：求系统状态空间表达式。求系统状态空间表达式。求系统状态转移矩阵。求系统状态转移矩阵。bsbabcasabacbsascsabsbascssUsYsG 11)()()()()()1(2解解：xbabcabacyuxbax1100 btateebsasLbsasLAsILt001001)00()()()2(111112.非齐次状态方程非齐次状态方程 的解的解BuAxx 直接法（积分法）直接法（积分法）BueAXxexexAexedtdAtAtAtAtAt )()(dBuextxedxeddtAAttA)()0()()(00 dButxtdBuexetxt
40、ttAAt 00)()()()0()()0()(2)拉氏变换法拉氏变换法 sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则则 x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s)(由由eAt=-1(sI-A)-1可得可得)dButxtdBuexetxtttAAt 00)()()()0()()()0()(例例7.16 在上例中，当输入函数在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态时，求系统状态方程的解。方程的解。11,00)(Beetbtat )0()1(1)0()1
41、(1)0()0(1100)0()0(00)()()0()()(210)()(210)()(210 xeebxeeadeexexedeexxeedButxttxbtbtatatttbtabtatttbtabtatt )()(txbabcabacty 例例7.17 设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下所示。试用状态空间法对系统进行分析所示。试用状态空间法对系统进行分析。解：解：由图由图 111,363,300020001 CBA332613)3)(2)(1(6 ssssss)116(6)()(2 ssssHsG61166)()(1)()()(23 s
42、sssHsGsGsusy 3 2/s 1-电动伺服阀电动伺服阀放大器放大器油缸油缸位移传感器位移传感器11612 ssu(s)y(s)ttteeeAsILt3211000000)(dButxttxt 0)()()0()()(deeetttt 3630000000)(3)(2)(ttttttteeedeee320)(3)(2)(13333363 tttttteeeeeeCxy323233113333111 本章本章主要内容主要内容：线性线性定常定常系统的可控性的系统的可控性的定义定义及及判别判别 线性线性定常定常系统的可观测性的系统的可观测性的定义定义及及判别判别 可控性与可观测性的可控性与可观
43、测性的对偶原理对偶原理 可控标准型和可观测标准型可控标准型和可观测标准型可控性可控性：反映了控制：反映了控制输入输入对系统对系统状态状态的制约能力。的制约能力。输入能否控制状态输入能否控制状态（控制问题）（控制问题）可观性可观性：反映了：反映了输出输出对系统对系统状态状态的判断能力。的判断能力。状态能否由输出反映状态能否由输出反映（估计问题）（估计问题）能控性和能观性是现代控制论中的两个重要的基本概念能控性和能观性是现代控制论中的两个重要的基本概念现代控制论建立在状态空间描述的基础上现代控制论建立在状态空间描述的基础上状态方程：输入状态方程：输入u(t)引起的状态引起的状态x(t)的变化过程的
44、变化过程输出方程：状态变化对输出的影响输出方程：状态变化对输出的影响能控性：分析能控性：分析u(t)对状态对状态x(t)的控制能力的控制能力能观性：分析能观性：分析y(t)对状态对状态x(t)的反应能力的反应能力-（控制问题）（控制问题）-（估计问题）（估计问题）例例2-12-1：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。：已知系统的动态方程，判断其可控性、可观测性。uxxxx21500421212160 xxyuxx114uxx2522 可以控制可以控制 u21,xx 26xy 无法反映无法反映 y1x 系统系统完全可控！完全可控！系统系统不完全可观不完全可观！设线性定常连续系统的状态空间
45、表达式为：设线性定常连续系统的状态空间表达式为：如果存在一个控制如果存在一个控制u u(t t)，能在有限时间间隔，能在有限时间间隔 t to o,t tf f 内，内，使系统从其一初态使系统从其一初态x x(t to o)转移到任意指定的终态转移到任意指定的终态x x(t tf f)，则称，则称此状态此状态x x(t to o)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。一个状态变量不可控，则系统不可控）。)()()()()()(tDutCxtytButAxtx 二、定义二、定义1.可控性可控性定义定义三、可控性与可
46、观测性判据三、可控性与可观测性判据 系统在稳定输入系统在稳定输入u u(t t)作用下，对任意初始时刻作用下，对任意初始时刻t to o ，若能，若能在有限时间间隔在有限时间间隔 t to o,t tf f 之内，根据从之内，根据从t to o到到t tf f对系统输出对系统输出y(t)y(t)的观测值和输入的观测值和输入u(t)u(t)，唯一地确定系统在，唯一地确定系统在t to o时刻的状态时刻的状态x x(t to o)，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能），则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测。（只要有一个状态变量
47、不能（可）观测，则系统不可观测）。观测）。2 2.可观测性可观测性定义定义可控规范型：可控规范型：1000B,aaaa1000001000010A1n2101.可控性判据可控性判据 线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：可控性判别阵：必须满秩。即必须满秩。即 （n为系统维数）为系统维数）判据一判据一：1110ABBQc12BABAABBQnC nrankQc 试判别其状态的可控性。试判别其状态的可控性。u101101xxxx2121 解：解：例例7.18 设系统状态方程为：设系统状态方程为：nrankQc 2系统可控！系统可控！设线性定常
48、系统具有互异的特征值，则系统可控的设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：uxxn 0021中，中，阵不包含元素全为零的行。阵不包含元素全为零的行。判据二判据二:例例7.19 已知三阶二输入系统状态方程已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的试判别其状态的可控性。可控性。21321321100110110010011uuxxxxxx 1211100101011211102cQ解：解：不可控！不可控！uxxxxxx 752100050007)1321321uxxxxxx 7501000500
49、07)2321321 21321321570410100050007)3uuxxxxxx 21321321570400100050007)4uuxxxxxx 例例7.20 试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。可控性。uxJJJxk 21 例例7.21 试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。可控性。uxxxxxx 340200040014)1321321 21321321030024200040014)2uuxxxxxx 中，与每个约当小块中，与每个约当小块 的最后一行相
50、对应的最后一行相对应 的的 阵阵 中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）相同特征值，此结论不成立。）),2,1(kiJi 约当规范型约当规范型 判据三：判据三：判据一判据一:线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵条件为可观测性矩阵:10nCACACQ2.可观测性判据可观测性判据必须满秩，即必须满秩，即 rankQo=n（n为系统维数）为系统维数）可观测规范型：可观测规范型：100,1000100010001210 CaaaaAn)(CBTcQ 例例7
