1、5.1 幂法幂法5.2 逆幂法逆幂法5.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法n矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量n特征值：特征值：n特征向量特征向量n特征多项式：特征多项式：0)det()(AIPAAxxi)det()(AIPAn5.1.1 幂法的基本思想幂法的基本思想n1.根据（根据（）满足关）满足关系式：系式：，故任取非零初始向量，故任取非零初始向量x(0)，作迭，作迭代序列：代序列：n2.再根据再根据k增大时增大时 x(k)各分量的变化规律，求出矩各分量的变化规律，求出矩阵阵A的按模最大特征值与特征向量。的按模最大特征值与特征向量。,1,0)()1(kAxxkk
2、n例例1 对对A作迭代计算作迭代计算(P80页页)1221An考察迭代序列考察迭代序列x(k)的相邻向量的相应分量比值，可的相邻向量的相应分量比值，可见：随见：随k的增大而趋向于一个固定值。的增大而趋向于一个固定值。n(该值该值)=(矩阵矩阵A的按模最大特征值的按模最大特征值)n幂法的要求：幂法的要求：n矩阵矩阵A有有。n幂法的功能：计算按模最大特征值和特征向量幂法的功能：计算按模最大特征值和特征向量n21特征值：特征值：特征向量：特征向量：nuuu 21n幂法计算公式的推导：幂法计算公式的推导：取初始非零向量取初始非零向量x(0)，且：，且：nnuuux2211)0(,1,0)()1(kAx
3、xkk)222111)0()1(nnnuuuAxx则有：则有：)222111)1()(nknnkkkkuuuAxxnknnkkkuuux12122111)(n分三种情况讨论：分三种情况讨论：n(1)为实根，为实根，且且211)(1)()1(1,kkikixuxxn(2)为实根，为实根，且且 及及 32211)(1)1(121)()2(1kkkikixxuxxn(3)复根复根3221,ivuivun用最小二乘法求解方程组：用最小二乘法求解方程组：0)()1()2(kkkqxpxxn再解一元二次方程：再解一元二次方程：02qpxx：n给出初值给出初值x(0)，按迭代公式计算：，按迭代公式计算：x(
4、k+1)=Ax(k)n若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比趋向于常数趋向于常数c），则按情况一处理。），则按情况一处理。n若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按情况二处理。情况二处理。n若序列的各分量表现为其它情况，则结束。若序列的各分量表现为其它情况，则结束。)()1()()()()0(max)1,1,1(kkkkkkiikTAyxxxmxyxxmxn迭代条件：迭代条件：1)1()(kkyyn计算结果：计算结果：km1)(1kyu n幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值:n称其为收敛因子
5、，比值越小，收敛越快。称其为收敛因子，比值越小，收敛越快。n计算实例：计算实例：P85页页 例例212n作用：求矩阵作用：求矩阵A(A-1)的按模最小的按模最小(大大)特征值和特征值和特征向量特征向量n基本思想：基本思想：n1.设设A为非奇异方阵，特征值和特征向量为：为非奇异方阵，特征值和特征向量为：n2.则则A-1的特征值和特征向量为的特征值和特征向量为：n3.可见，可见，A-1的按模最大特征值的倒数即为矩阵的按模最大特征值的倒数即为矩阵A的按模最小特征值。的按模最小特征值。n21nuuu,21n11121nuuu,21n方法：作迭代方法：作迭代 或或 反迭代反迭代 n实际计算公式：实际计算
6、公式：n(1)先对先对A作作LU分解；（分解；（LU分解的要点分解的要点:?）n(2)再解方程组：再解方程组：,1,0,)(1)1(kxAxkk,1,0,)()1(kxAxkk)()1(kkyLUx)()1()()()()()()()()()0()0(max)0,0,1()1,1,1(kkkkkkkkkkkiikTTzUxyLzxxmxyxxmxx或n计算结果：计算结果：km1minn迭代条件迭代条件:1)1()(kkxx)(minkxunP87页页 例例1：在值：在值 附近的附近的A的特征值和特征向量？的特征值和特征向量？：已知方阵：已知方阵A、给定值、给定值n分析：不妨设分析：不妨设 附近
7、的特征值为附近的特征值为 ，则必有，则必有i);,2,1(ijnjji从而，原问题变成求从而，原问题变成求“按模最小特征值按模最小特征值”。n解法：解法：(1)构造矩阵构造矩阵IAB(2)用逆幂法求用逆幂法求B的按模最小特征值的按模最小特征值nP88页页 例例2：n本例所用的思想可以称为本例所用的思想可以称为“原点平移法原点平移法”。与与的特征值有以下关系：的特征值有以下关系：n适当选取适当选取r0，使，使|r1-r0|ri-r0|，这样用幂，这样用幂法计算矩阵法计算矩阵(A-r0)的特征值收敛速度更快。的特征值收敛速度更快。n5.3.1 求实对称三对角阵特征值的对分法求实对称三对角阵特征值的
8、对分法 设实对称三对角阵设实对称三对角阵C，Sturm序列就是序列就是 ，即，即C的特征多项式序列。的特征多项式序列。IC)()()()()()()()()(1)(2211021122110iiiiipbpcppbpcpcpp：(1)仅有实根仅有实根(2)相邻项无公共零点相邻项无公共零点(3)pi(x)=0，则，则 pi-1(x)pi+1(x)0(4)pi(x)全是单根，且具有隔离作用全是单根，且具有隔离作用(5)左邻域同号，左邻域同号，右邻域同号右邻域同号 (1)计算在点计算在点 处处Sturm序列的全部值；序列的全部值；(2)相邻两项若同号，则有相邻两项若同号，则有1个连号数；否则，个连号
9、数；否则，无连号数。无连号数。(3)按顺序数完连号数，则得到按顺序数完连号数，则得到Sturm序列的总序列的总连号数，记为连号数，记为:)(3.Gerschgorin定理定理(圆盘定理圆盘定理)(1)(圆盘圆盘)对对n阶方阵阶方阵A，称，称Di为方阵为方阵A的第的第i个圆盘，其中个圆盘，其中:njijiiiiiijarrazzD1,(2)(圆盘定理圆盘定理)对对n阶方阵阶方阵A，A的全部特征值均在区域的全部特征值均在区域D内内,其中其中:nDDDD21(3)：方阵：方阵A的最小和最大特征值满足的最小和最大特征值满足iiiiiiiiiiiiraramaxmaxminmin(4)：，其特征值必属，
10、其特征值必属于区间于区间m,M，其中：，其中：1111maxminjjjnjjjjnjbbcMbbcmn定理定理2 方阵方阵C在区间在区间a,+内特征值的个内特征值的个数等于其数等于其Sturm序列在点序列在点a处的总连号数。处的总连号数。P91页页 例例1 求三对角阵求三对角阵C的的Sturm序列序列;根据根据Gerschgorin定理确定矩阵定理确定矩阵C全部特征值的上界全部特征值的上界M和下界和下界m;对区间对区间m,M对分，取中点对分，取中点a=(m+M)/2，计，计算点算点a处的连号数，同时区间被对分处的连号数，同时区间被对分;对所得的各子区间继续对分和计算中点处的连号数，对所得的各
11、子区间继续对分和计算中点处的连号数，直到每个小区间至多有一个特征值直到每个小区间至多有一个特征值;继续对有根区间对分，可求出满足精度的特征值。继续对有根区间对分，可求出满足精度的特征值。P92页页 例例21.的的0,2*nTTRvvvvvIH其中2.Hx是是x关于超平面关于超平面H的像的像 (H反射反射/镜面反射镜面反射)xvxvxvxvvvvvxvHxvRxTTTTTTTTn22,3.实对称阵实对称阵A的三对角化的三对角化 (1)令令A1=A，取向量，取向量b1=(A1的第的第1列列)(2)构造向量构造向量u1，使，使nriribbbribunrrii,201)sgn(,2,12211注：注：sgn(br+1)=1,-1，且与，且与br+1反号反号(5)求得求得A2=H1A1H1(3)计算计算v1:111ubv221v(4)计算计算H1:2211112vvvIHT例例96页页 例例3作业：作业：P97页页 2，3，4题题
